沒有什么不能用數學表達

☉郝景芳

數學是一種語言。

數學是宇宙世界使用的語言，唯一的語言。我們什么時候找到一件事的底層數學語言，就算是真正理解了這件事。

數學是世界的原理，萬物只是表象。

數學是簡單的

先給大家講一個小故事。

2020年，我們的教研老師做了一版教“微積分”的教研稿。當時，她們是中規中矩按照教科書和網絡上查到的資料寫的，介紹了定義、歷史發展和重要的數學家。

我說：“這太難太枯燥了，6歲的小孩看不懂。”教研老師說：“6 歲的小孩本來就沒法懂微積分。”

我說：“微積分就是直尺量曲線，6歲的小孩怎么能不懂？”

后來，我們做了一個小游戲，讓小朋友嘗試用一把直尺測量曲線，以此理解微積分的概念，小孩子都能玩通關。我女兒說：“微積分也挺容易的嘛！”

不久之后，當我在餐桌上跟其他人笑談這段往事時，在座的一位女士恍然大悟，她說：“微積分就是直尺量曲線嗎？你這么一說，我好像有點明白了。那么，直尺量曲線該怎么量呢？”

我說：“你自己想想啊，你覺得怎么量？”

她想了想說：“一小段一小段地量，再加起來？”

我說：“對啦！恭喜你推導出了微積分！分成小段，叫微分；加起來，叫積分。”

她說：“所以，那一小段得特別小。”

我說：“這叫求極限，微分就是無限小。”

她說：“今天才明白！原來是這樣。”

我說：“是啊，所有微積分，都是某種形式的‘直尺量曲線’，只是算的東西千變萬化。微積分是一種思想，是把一個大問題拆分到一個極為微小的局部，把局部算出來，再加總為整體。其余的都是計算技巧。”

很多數學概念，其實都是思維方法。微積分是“直尺量曲線”，這是最直觀的數學概念。它的實際思想是把大問題拆分為小問題，再加總得到大問題的答案。這個思想能解決很多問題。不僅對物理問題有用，對我們在生活里思考問題也有幫助。

有時候，我們的老師并不重視對數學基礎概念的理解，就讓學生直接做題。很多學生沒有完全理解數學概念，做題就會陷入云里霧里，覺得數學好難啊！

其實，數學概念本身是簡單的，很多都是為了把這個世界更清晰地表達出來，并且發現其中的終極規律。如果發現了，帶著數學規律去看世界，會發現千變萬化的世界也變得簡單清晰了。

萬事皆通數學

給別人講過微積分的故事之后，有人問我：“那線性代數怎么理解呢？”

我說：“線性代數就是找男朋友的分數對比。”

這是什么意思呢？其實，線性代數處理的就是多維度向量問題。

以找男朋友為例，維度，是你找男朋友要看的標準。例如，長相、身高、智商、家庭條件等。維度必須要求是“正交”的，也就是相互之間不能有相關性。例如，“家庭條件”和“慷慨程度”就是有相關性的，這就不能算成兩個維度。“智商”和“畢業院校”是有相關性的，也不能算兩個維度。“長相”“智商”和“家庭條件”基本上是各自獨立的因素，就可以算是不同維度。

向量是什么呢？就是你給候選人打的分數，例如，長相=7 分，身高=8 分，智商=5 分，家庭條件=9 分，人品靠譜=3 分，做家務=1 分，對你的感情=5分，那么向量就是：

候選人1=〔7，8，5，9，3，1，5〕

如果有另一個人選：

候選人2=〔4，6，9，2，9，7，8〕

那這樣兩個候選人該怎么比較呢？能把分數直接加總，算總分嗎？我們知道，相互正交的維度數值是不能直接相加的。例如，長方形的長和寬，不能直接相加算大小。但是我們可以定義一個“長度”，就是把每個數值平方相加開根號，這就能算是“向量長度”，也叫“內積”，也就是你的兩個男朋友候選人的總分。算一下就知道：

候選人1=15.9分

候選人2=18.2分

現在看到候選人2 分數高，是不是說明你就想選擇候選人2 呢？很可能不是。你還是覺得自己被候選人1 深深吸引，即使明知道他不靠譜，對自己也不夠好，但就是覺得被他的某種莫名的魅力深深吸引，于是怎么都不肯和候選人2在一起，偏偏要愛候選人1。這又是為什么呢？

原因在于，你在選擇的時候，“人品靠譜”和“做家務”這兩個維度，你心里覺得是不重要的，甚至智商也不太重要，反正你看到的這個人的慷慨和風度，主要來源于他的家庭，也不是他自己的本事，但這些你都忽略不計了。

其實，你內心真正的向量是四個維度：〔長相，身高，家庭條件，對你的感情〕

這么一算，兩個候選人的打分就不一樣了：

候選人1=〔7，8，9，5〕

候選人2=〔4，6，2，8〕

誰高誰低，一目了然。你心目中所有衡量維度組成的空間叫“內積空間”，你就是在自己的內積空間里給每個候選人打分，再比較分數。最初7個維度的內積空間叫7維空間，后來經過一番思考，發現你真正在乎的只有四個維度：高、富、帥和愛你，所以你心里的內積空間是4維空間。

當你的內積空間從一開始就沒有“靠譜”這個維度的時候，遇見渣男也就不足為奇了。這是你自己的空間，過濾進來的就有大量不靠譜的人。

希望所有人，都能愛上數學。