例析幾何問題中靈活變換線段的方法

天祝藏族自治縣教育和科學(xué)技術(shù)局 王 斌

1 引言

圖形轉(zhuǎn)換出現(xiàn)在初中幾何問題中時，通常表示該題對學(xué)生的解題要求較高，因為只有學(xué)生在靈活轉(zhuǎn)換線段的前提下，才能更快地找到解題突破口.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，變換圖形中的線段通常有構(gòu)造平行四邊形、等腰三角形等方法.接下來，本文中結(jié)合幾道例題談一談如何實現(xiàn)圖形中線段的靈活變換.

2 圖形中靈活變換線段的主要方法

有些圖形的線段比較“散亂”，而要求解或證明這些線段之間的數(shù)量關(guān)系，無疑對學(xué)生產(chǎn)生了巨大困難[1].根據(jù)實際教學(xué)經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)圖形中靈活變換線段的方法主要有以下幾種.

2.1 構(gòu)造平行四邊形

例1如圖1所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA延長線上的點，BE與AD相交于點P.BD=AC，AE=CD.試求∠APE的度數(shù).

圖1

分析：本題要求∠APE的度數(shù)，從圖中觀察這明顯比較困難.但是，題中給出了“BD=AC，AE=CD”兩個條件，提示解題者需要構(gòu)造出全等三角形.然而，這些線段比較“散亂”，所以考慮構(gòu)造平行四邊形，將相關(guān)線段“集中”起來.本題構(gòu)造平行四邊形有兩種方式，如下圖2、圖3.不難發(fā)現(xiàn)，圖2中通過構(gòu)造平行四邊形之后，就將原本“散亂”的線段變換成關(guān)系更明朗的線段，在證明兩個三角形全等之后易得等腰直角三角形ADQ，最后得到∠APE的度數(shù)為45°.圖3中構(gòu)造平行四邊形的方式與圖2相同，也是最終利用等腰直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)得到∠APE的度數(shù)為45°.詳細(xì)解答過程如下：

圖2

圖3

解法1：將BD，BE分別平移至EQ，DQ，使EQ，DQ相交于點Q，連接AQ，如圖2所示.易得四邊形BEQD為平行四邊形.

∴CD//EQ，BD=EQ.

∵∠C=90°，

∴∠AEQ=90°.

∵BD=AC，

∴AC=EQ.

∵AE=CD，

∴△AEQ≌△DCA(SAS).

∴AQ=AD，∠AQE=∠CAD.

∴△AQD是等腰三角形.

∵∠AEQ=∠C=90°，

∴∠EAQ+∠AQE=90°.

∴∠EAQ+∠CAD=90°.

∴∠QAD=90°.

∴△AQD是等腰直角三角形.

∴∠ADQ=45°.

∵EB//QD，

∴∠APE=∠ADQ=45°.

解法2：將AD，AE分別平移至EQ，DQ，使DQ，EQ相交于點Q，連接BQ，如圖3所示.易得四邊形AEQD為平行四邊形.

∴CE//DQ，AE=DQ.

∵∠C=90°，

∴∠BDQ=90°.

∵BD=AC，DQ=AE=CD，

∴△QDB≌△DCA,

∴BQ=AD.

∴BQ=EQ.

∴△EBQ是等腰三角形.

∵∠CDA+∠CAD=90°，∠QBD=∠CAD,

∴∠CDA+∠QBD=90°.

∵AD//EQ，

∴∠EQB=90°.

∴△EQB是等腰直角三角形，

∴∠EBQ=45°.

∴∠BPD=45°=∠APE.

2.2 構(gòu)造等腰三角形

構(gòu)造等腰三角形的方法比較多，常見的有旋轉(zhuǎn)法、垂直平分線法等[2].下面結(jié)合例題對這兩種不同的構(gòu)造方法分別進(jìn)行分析和說明.

2.2.1 旋轉(zhuǎn)法

旋轉(zhuǎn)法通常是將一邊旋轉(zhuǎn)至另一邊，然后這邊與所求證的邊產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，進(jìn)而得到最初兩邊之間的關(guān)系[3].這里仍以例1為例進(jìn)行分析、說明.

圖4

2.2.2 垂直平分線法

垂直平分線法是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到兩條線段長度相等，可間接視為將一條邊實現(xiàn)了變換.如下面的例2.

例2如圖5所示，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，試求△ADE的周長.

圖5

分析：本題中兩條垂直平分線非常重要，因為可以借助它們將AD變換到BD，將AE變換到EC，進(jìn)而將△ADE的周長問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫€段BC的長，這樣一來問題就簡單許多.具體過程如下：

解：∵AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，

∴AD=BD，AE=CE.

∴△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8.

3 變換線段時應(yīng)注意的問題

線段變換是靈活解決初中幾何中線段數(shù)量關(guān)系問題的重要方法，對學(xué)生的解題要求比較高.所以，在變換線段時需注意以下幾個方面的問題：

首先，牢固掌握與變換線段有關(guān)的知識點，如平行四邊形的性質(zhì)和判定、垂直平分線的性質(zhì)和判定、圖形變換的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等.同時，要在此基礎(chǔ)上多訓(xùn)練，不斷提升解題效率.

其次，變換線段位置的過程中，可能會產(chǎn)生更多的線段，會使原本的圖形變得更加復(fù)雜[4].為了讓學(xué)生分析得更加清楚，不至于在復(fù)雜的線段中“迷失”，可以借助彩色筆描繪的方法進(jìn)行初步訓(xùn)練，將需要的線段或相等的線段、角等用彩色筆描繪，提高圖形的辨識度.

4 結(jié)語

綜上所述，靈活變換線段的位置，是有效解決一些復(fù)雜線段問題的重要方法.但是，這方面對學(xué)生的解題要求比較高.所以，作為一線數(shù)學(xué)教師，不僅要重視靈活變換思維的培養(yǎng)，而且要注意上述幾個方面的問題，讓學(xué)生擁有更強、更靈活的問題解決能力.