有關中點基本圖形的分類及輔助線的加法

武漢市光谷實驗中學 劉姜濤 康柳燕

1 引言

中點問題在中學階段的地位舉足輕重，與中點密切相關的線段[1]主要有兩種：中位線和中線.這兩個知識點貫穿整個初中幾何，題目難度往往較大，學生解題沒有方向.為此，筆者總結了7類有關中點的基本圖形及做題方法，以供參考.

2 有關中點的基本圖形的分類及解法

7類有關中點的基本圖形及做題方法總結如表1：

表1

中位線一般出現在三角形和四邊形的圖形中，中線則在三角形的題型中經常使用，所以無論是分析圖形還是構造輔助線，這兩種線段都是我們的重要解題工具.下面展示這兩者在具體圖形中的妙用.

2.1 角分線+垂直→中位線

圖中出現角平分線和一個直角，可以考慮構造等腰三角形，利用等腰三角形三線合一的性質得到中點，再連接其它中點得中位線.

圖1

略證：延長BE交AC于點D.

AB=AD，BE=DE(三線合一)，

2.2 動點問題中的中位線

在變化中尋找不變是動點問題的基本思路，要確定動點的軌跡關鍵是找到不變的重要點、起點、終點，其中中點是常用解題工具[2].

基本圖形2：如圖2，已知P為線段AB上的動點，以AP，BP為邊在AB同側作等邊三角形ACP和等邊三角形PDB，G為CD中點.求當點P從點A運動到點B時，點G移動路徑的長.

圖2

略解：延長AC，BD交于點H.

當點P在點A時，CD=AH；當點P在點B時，CD=BH.

∵四邊形CHDP是平行四邊形，

∴CD與PH互相平分.

∴點G為PH中點.

2.3 三角形中的1個中點

三角形中出現中點，作中位線是常用的輔助線作法之一.

基本圖形3：已知點D為線段AB的中點，DE平分△ABC的周長，求線段DE的長度.

方法1提示：如圖3，取三角形另一邊的中點，連接兩個中點構造中位線.

圖3

略解：在BC上取中點H,連DH.

根據△EHD中的線段關系求DE.

方法2提示：如圖4，將已有線段視作中位線，構造新的三角形.

圖4

略解：倍長BE至點H,連AH.

求出AH的長度(三角形線段關系).

2.4四邊形中的2個中點

除了三角形，在四邊形中也經常需要用到中位線這種輔助線，解題時需要利用中位線進行線段關系的轉化.

基本圖形4：如圖5，已知E為AB的中點，F為CD的中點，尋求EF與AC，BD的關系.

圖5

提示：取另一邊的中點，分別連接得到兩條中位線.

略解：在BC上取中點H，連接HE,HF.

基本圖形5：如圖6，已知E為AB的中點，點F為CD的中點，尋求EF與AD，BC的關系.

圖6

提示：在對角線上取中點.

略解：連AC，取AC的中點H，連EH，FH.

2.5四邊形中的4個中點

若四邊形中出現多個中點時，將中點連接形成的線段集中在一個三角形中考慮.

基本圖形6：如圖7，已知點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

圖7

略證：連AC(或BD) .

由HG(中位線) ，

得HG∥EF，HG=EF.

因此，四邊形EFGH為平行四邊形.

2.6共斜邊的直角三角形

中點出現在直角三角形的斜邊上時，要注意運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質.

基本圖形7：如圖8，已知AC⊥AB，DC⊥BD，H為BC的中點，求證：∠AHD=2∠ABD.

圖8

提示：公共斜邊取中點.

略證：AH=BH=CH=DH.

∠ABD=y-x，

∠AHD=∠AHC-∠DHC=2y-2x

=2(y-x)=2∠ABD.

基本圖形8：如圖9，已知AC⊥AB，DC⊥BD，H為BC的中點，求證：∠AHD=2∠ABD.

圖9

提示：公共斜邊取中點.

略證：AH=BH=CH=DH.

∠ABD=x+y，

∠AHD=∠AHC+∠DHC=2x+2y

=2(x+y)=2∠ABD.

2.7 “T”字形

若復雜圖形中有一條線段AB及過AB中點C的另一條線段DC，且滿足AC=BC=DC，對于這樣的“T”字形，常考慮利用中位線，反過來構造三角形.

基本圖形9：如圖10，C為AB的中點，連接端點A，D并倍長，構造出以CD為中位線的三角形；

圖10

或者如圖11，連接端點B，D并倍長，構造出以CD為中位線的三角形；

圖11

或者如圖12，以AB為直角三角形的斜邊構造出直角三角形ADB.

圖12

3 應用舉例

圖13

略證：如圖14，連DN并延長交AC于點H，連BH.

圖14

在△EDN和△CHN中，

∴△EDN≌△CHN(ASA).

∴ED=EA=CH.

易證△CAE≌△BCH(SAS),

∴CE=BH=2MN.

對于例題，還可以用下面三種方法添加輔助線，如圖15～17，證明思路與上面類似從略.

圖15

圖16

圖17

4 結束語

本文中給出了7類有關中點基本圖形的分類及輔助線的加法及應用.中點問題看似復雜多變，實則掌握了基本圖形及其對應解法，便可逐一攻克，讓中點問題不再困難.