借助波利亞解題思想發揮數學錯題資源的價值

重慶師范大學數學科學學院 何 柳

1 引言

《基礎教育課程改革綱要》指出，改革的具體目標之一是“使獲得基礎知識和基本技能的過程同時成為學會學習和形成正確價值觀的過程”[1].這就需要教師轉變傳統“唯分數論”思想觀念，多關注學生的學習興趣與經驗，引導學生學會學習.

2 錯題資源化

在學習過程中，學生無可避免會出現錯誤.教師此時應當引導學生對錯誤進行歸納總結，從而將錯題資源的價值最大化.

2.1 錯題的分類及成因

2.1.1 知識型結構型錯誤

2.1.2 非知識結構型錯誤

(1)計算錯誤.隨著知識難度提升，對學生運算能力的要求也相應提高.計算過程不只是單純的運算，還需要對概念、公式和法則等進行靈活運用.(2)粗心錯誤.注意力分散、粗心，也是學生解題時錯誤頻出的關鍵原因.部分學生由于粗心導致錯誤理解題目，混淆所需要求解的問題.精神不集中，導致代值計算時出現看錯、抄錯、寫錯等情況.(3)思維定勢式錯誤.思維定式是根據內化的知識經驗和已有的思維規律，在反復使用中養成的一種思維習慣.思維定式在數學學習中有其積極的一面，如掌握某類題型的“套路”，可以簡化認知程序，節省解題時間.但更多的是消極的一面，其大大減少學生的創造能力和靈活變通意識[2].當題型稍加改變，學生易受思維定式影響而錯解題目.

2.2 錯題資源的利用

2.2.1 整理錯題，培養歸納能力

在信息爆炸的時代，如何提取有用信息成為必需的技能.錯題的整理可以培養學生歸納能力.從題目本身進行分類，深度挖掘題中考點，并由小及大引申出其他知識點；從錯題產生原因進行分類，起到提醒作用，減少出錯概率；從題目類型進行分類，總結方法規律，尋找高效解題方式，節省答題時間.也可以借助思維導圖概括總結，加深知識點的掌握度和熟練度.

2.2.2 分析錯題，找到薄弱點

教師要以包容的心態面對學生出現的錯誤.數學題目旨在考查學生對概念的理解、以及運算、邏輯等能力.引導學生對錯題進行分析，找到存在的薄弱點，彌補自身不足，進行針對性復習.

2.2.3 結合錯題，鍛煉思維能力

數學是一門邏輯性極強的科學，由于思維能力的欠缺，做題過程中就易出現錯誤.例如一次函數y=kx+b的圖象與k，b有關，部分學生由于概念混淆而導致思維混亂，因此不能根據函數圖象性質解決問題.結合錯題，教師可以引導學生理解數學中的內在邏輯結構，鍛煉數學思維，形成數學邏輯；可以發散思維，將某一知識點進行擴充，體會知識點之間的聯系.

2.2.4 訂正錯題，提升運算能力

運算能力薄弱也會導致學生錯誤頻出.如在-18-(-3+5)-8+|8|的有理數混合運算中，面對多個負號、括號和絕對值，學生可能會出現計算邏輯混亂的情況.在訂正錯題的過程中，教師可以引導學生分析錯解，梳理運算邏輯，養成嚴謹思維，不斷提升運算能力.

2.2.5 回顧錯題，加強反思能力

知識需要在不斷回顧的過程中獲得新啟示.對錯題進行回顧，可以起到警示作用，避免錯誤再發生.回顧運算錯誤，有利于梳理運算邏輯；回顧概念理解錯誤，有利于強化理解；回顧思維定式錯誤，有利于發散思維.

3 借助波利亞解題思想發揮錯題資源的價值

匈牙利數學家波利亞在《怎樣解題》中將解題劃分為理解問題、擬定方案、執行方案、回顧四個步驟.這四個步驟環環相扣，指引著問題解決的方向.將波利亞解題思想融入到錯題反思的全過程可以起到錯誤資源再開發的作用.

3.1 發揮價值的前提

中學數學更強調思維能力、辯證意識的培養，強調自主學習、學會學習.華應龍老師在化錯教學中提出要充分挖掘并利用差錯資源的多方面價值，培養學生直面錯誤、超越錯誤的求真人格，將教學活動引向學生內心深處，而不僅僅是促進認知的發展[4].師生需要轉變以往對錯誤的偏激態度，以更加科學的眼光對待錯誤，關注對錯誤處理的過程，即看重從“錯”到“對”這個思考分析的過程，并將錯誤作為一種促進學生發展的資源，提升學生的思辨能力.

3.2 發揮價值的具體步驟

3.2.1 再次審題，分析錯誤類型

通過波利亞解題思想可以得知，解題最主要的就是理解題目.因此，在回顧錯題時，應重新理解題目，對錯誤類型進行分析.首先，判斷是否由題目理解而導致解題錯誤；其次，判斷是否由馬虎而導致的錯誤；然后，推理整個分析過程，檢驗推理過程是否有不合理因素，判斷是否有概念模糊等情況.根據錯誤的不同類型，采取不同側重點，加深學生的印象.

3.2.2 制定方案，訂正錯題

對較復雜的幾何推理題，引導學生從需要求解的問題入手，逆推證明條件.例如：如圖1，已知AC⊥AB，DB⊥AB，CE⊥ED，AC=BE，猜想線段CE與DE的大小關系，并證明你的結論.學生由于缺少證明全等的條件，而無法解決此題目.首先分析題目，我們可以得到，△CAE與△DBE均為直角三角形，明晰考查的是全等三角形證明的知識點，借助輔助問題引導學生回顧SSS,SAS,ASA,AAS,HL五種證明方法.題目中已有一邊和一角對應相等，因此,我們可以從AAS,ASA和HL這三種方法考慮,再結合已知條件∠CED=90°，所以優先考慮AAS,ASA這兩種證明方法.確定方法之后，就需要去尋找證明條件∠CEA=∠EDB或∠ECA=∠DEB.此時僅?！螩ED=90°這一條件，根據等量代換，可得到∠ECA=∠DEB.最后得到證明全等的三項條件，因此△CAE≌△EBD,所以CE=DE，并總結歸納此類一線三垂直模型.

圖1

在尋找錯題的解決方案過程中，教師可以指導學生從所求問題入手，借助波利亞解題過程中的輔助問題，將問題細分，結合已有的知識經驗和已知條件，選取最合適的解決方案.方案制定完成后，嚴謹執行方案，避免錯誤的發生，真正做到大膽猜想小心求證.

3.2.3 反思回顧，總結規律

錯題訂正后，學生可以將正確與錯誤的解題方案進行比較，總結思想方法.首先,對錯題的解決過程進行反思，例如錯題類型、考查的知識點、滲透的思想方法等；其次，將錯題按照單元或者錯誤類型等進行分類整理，并將錯解和正解用不同顏色的筆謄抄完整，提高復習鞏固效率.在階段性學習結束后，要引導學生用思維導圖的形式，復習所學內容，構建知識網絡，培養學生舉一反三的能力.