題型定位突破 過程分析總結
——以二次函數與角度問題為例

江蘇省蘇州高新區實驗初級中學 周 濤

1 引言

二次函數與角度問題屬于典型問題，通常以拋物線為背景，引入幾何圖形構建幾何角，問題解法較為特殊，具體探究如下.

2 引例探究，分步突破

2.1 引例呈現

圖1

(1)求b的值及點M的坐標；

(2)將直線AB向下平移，得到過點M的直線y=mx+n，且與x軸的負半軸交于點C，取點D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM-∠ACM=45°；

(3)點E是線段AB上一個動點，點F是線段OA上一個動點，連接EF，線段EF的延長線與線段OM交于點G.當∠BEF=2∠BAO時，是否存在點E，使得3GF=4EF？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

2.2 分步突破

第一步——突破角度差.

第(2)問對直線AB進行了向下平移，然后設定點C，通過連線形成了幾何角∠ADM、∠ACM.基于問題構建的過程，可分兩階段來證明：第一階段，確定平移后的直線的解析式；第二階段，確定∠ADM與∠ACM的角度關系，可進行等角轉化，將角度差化為具體的角.

階段二：∠ADM可視為△CDM的一個外角，則∠ADM-∠ACM=∠DMC.只需確定∠DMC的大小即可，可將其放置在三角形中.

圖2

第二步——突破倍角關系.

第(3)問有兩個動點——點E和F，分析∠BEF=2∠BAO時，是否存在點E，使得3GF=4EF，可歸結為與倍角相關的線段關系存在性問題.采用假設順推的方式，第一階段處理其中的倍角關系，分析幾何性質；第二階段構建線段關系，論證點E是否存在.

階段一：假設存在點E滿足3GF=4EF.分別過點G和E作x軸的垂線，垂足分別為點H和K，如圖3所示.

圖3

因為∠BEF=2∠BAO，由∠BEF=∠BAO+∠EFA，可得∠EFA=∠BAO，即△EFA為等腰三角形，進一步可得∠EFA=∠GFH.

3 過程分析，方法總結

上述考題的第(2)(3)問是關于二次函數與幾何角的問題，處理其中的角度問題與條件是突破的關鍵.下面深入分析思考過程，并總結方法.

3.1 過程評析

第(2)問屬于角度和差問題.上述解析中采用等角代換的策略，將角度和差變換為具體的幾何角，后續再探究該角的大小.由于問題的條件中沒有設定具體角度，故由幾何性質來提取特殊圖形，確定特殊角.而第(3)問涉及倍角關系，充分利用了三角形的外角性質，結合倍角條件推導出了等角關系，進而提取了等腰三角形，實現了倍角條件向特殊圖形的轉化.

3.2 方法總結

上述第(2)問和第(3)問是關于角的數量關系問題，依托拋物線的同時，賦予了角度“數”的特性，這是該類問題的特殊所在.問題解析時，需要建立幾何特性與二次函數間的關聯，數形結合突破.下面總結兩大問題的解析方法.

角度和差問題：角度和差涉及角度之間的加減運算，基本策略是利用幾何性質轉化為具體的角，去除運算符號.可利用三角形內角和定理、外角定理等進行角度換算.

倍角關系問題：倍角關系問題雖引入了角度系數，但本質上還是關于角度關系的推理.可利用幾何中與倍角相關的定理，如角平分線的性質、等腰三角形性質，或構建對稱關系，引入輔助圓來分析轉化.

3.3 關聯拓展

實際上，角的數量關系問題可分為三大類，除了上述所涉及的角度和差、倍角關系問題，還有等角問題.該類問題的突破同樣需要借助特殊的幾何性質，如全等特性和相似特性，可構造圓，利用圓周角性質轉化角度關系.下面以一個實例進行探究.

例題已知拋物線y=ax2-2ax+c過點A(-1，0)和C(0，3)，與x軸的另一交點為B，其頂點為D.

(1)求拋物線的解析式，以及點D的坐標.

(2)如圖4，點E是線段BC上方的拋物線上一點，且EF⊥BC，垂足為點F，EM垂直于x軸，垂足為點M，與BC的交點為G.當BG=CF時，求△EFG的面積.

圖4

(3)如圖5，AC與BD的延長線相交于點H，分析在x軸上方的拋物線上是否存在一點P，使得∠OPB=∠AHB？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖5

解析：第(1)(2)問解答略.下面主要探究第(3)問等角關系問題.

圖6

過點P作x軸的垂線，設垂足為點R.在x軸上取點S，使得RS=PR，則∠RSP=45°.設P(n，-n2+2n+3)，則S(-n2+3n+3，0).

評析：上述第(3)問是關于二次函數與等角關系的問題，所涉角中其中一角為定角，可直接由幾何性質確定為特殊的45°角，后續圍繞點P構建特殊的等腰直角三角形，并借助三角形相似的性質確定動點P的位置.整個過程思路明確，按照“角度確認→圖形構造→特性定點”的思路整合信息，構形求坐標.

4 解后反思，教學建議

4.1 歸類題型，總結方法

二次函數與幾何角問題屬于初中數學重點和難點問題.根據角度條件，可將角度關系分為三類，包括等角問題、倍角問題和角度和差問題.上述結合實例對其加以探究，并總結了思路構建的基本策略，有助于學生后續突破類型問題.復習教學中，建議參考該種模式，引導學生定位問題類型，全面歸納題型，總結破題的基本策略.必要時，可開展對比探究，引導學生探究不同題型的特征、解法特點，從根本上掌握解題方法.

4.2 過程探究，思維培養

過程探究是解題教學的重要環節.過程探究中，可引導學生充分體驗讀題、審題、條件轉化、模型構建、關聯提取、思路形成、問題解答等重要過程，培養學生系統解題的良好習慣，促進數學思維的發展[1].以上述問題探究為例，確定問題屬性，根據條件及問題進行分步解題，然后構圖建模，串聯條件形成思路.教學中，需關注兩點：一是學生的思維活動，充分調動學生思考，可采用設問引導的方式；二是數形結合的過程，直觀呈現問題，降低思維的難度，培養學生的思維習慣.

4.3 滲透思想，素養提升

解題教學還需注重數學思想培養，即教學中合理滲透數學思想方法，讓學生在解題中掌握方法，感悟思想精髓，逐步提升數學素養[2].二次函數與角度類問題常涉及數形結合、化歸與轉化、方程思想、數學建模、分類討論等，教學中，可立足具體的內容開展思想方法教學，感知思想方法在解題中的具體運用.如函數與圖象內容滲透數形結合，二元一次方法組內容滲透方程思想，等等，將無形的思想滲透到具體的內容中，逐步提升學生的綜合素養.