動中求靜 巧構相似
——2021年貴州省銅仁市中考數學試題第25題解析

山東省曲阜市田家炳中學 孔琳琳

1 引言

動點問題是中考數學的重要內容,解決這類問題的關鍵是動中求靜,挖掘問題中不變的量或關系.本研究對2021年貴州省銅仁市中考數學第25題進行分析，此題以等邊三角形為基本圖形,考查等邊三角形的性質、三角形的面積、相似三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造直角三角形解決問題.

2 原題呈現

圖1

(1)當點Q落在△ABC內部時,求此時△ABC與△CPQ重疊部分的面積S(用含x的代數式表示,不要求寫x的取值范圍);

(2)當點Q落在AB上時,求此時△ABC與△CPQ重疊部分的面積S的值;

(3)當點Q落在△ABC外部時，求此時△ABC與△CPQ重疊部分的面積S(用含x的代數式表示).

3 解題分析

3.1 第(1)問考查等邊三角形的面積.

圖2

本小題考查學生基本的分析和推理能力,只要分析得出當點Q在△ABC內部時,與△ABC重疊的部分就是△CPQ,即可根據等邊三角形的面積公式求得.

3.2 第(2)問考查相似三角形的性質.

圖3

本小題需要添加輔助線,通過相似三角形的性質,列出關系式,從而求得x的值,進而求解.

3.3 第(3)問考查割補法求圖形的面積以及相似三角形的性質.

如圖4中,當點Q落在△ABC外部時,設CQ交AB于點N,PQ交AB于點M,此時△ABC與△CPQ重疊部分為不規則四邊形CPMN,下面提供四種利用割補法求四邊形CPMN的面積的方法.

圖4

解法一：(S=S△ANC-S△AMP)

如圖4-1,過點N作NH⊥AC于點H,過點M作MJ⊥AC于點J,過點N作NT∥PQ交AC于點T.

圖4-1

由(2)可知,CT=8,又CP=2x,

∴AT=AC-CT=4，

AP=AC-CP=12-2x.

由NT∥PQ，得△AMP∽△ANT,

∴S=S△ANC-S△AMP

解法二：(S=S△CPQ-S△MQN)

如圖4-2,過點N作NT∥PQ交AC于點T.

圖4-2

由NT∥PQ，得△AMP∽△ANT.

∵△CPQ為等邊三角形,且CP=2x,

由(2)可知,CT=8,

∴NT=CN=CT=8，AT=AC-CT=4,

AP=AC-CP=12-2x.

由NT∥PQ，得△AMP∽△ANT,

∴MP=24-4x.

∵PQ=CQ=PC=2x,∠Q=60°,

QM=PQ-MP=6x-24,

QN=CQ-CN=2x-8，

解法三：(S=S△CHN+S梯形HJMN+S△PMJ)

如圖4-3,過點N作NH⊥AC于點H,過點M作MJ⊥AC于點J,過點N作NT∥PQ交AC于點T.

圖4-3

∵CT=8,CP=2x,

∴AT=AC-CT=4,AH=AC-CH=8,

AP=AC-CP=12-2x.

由NH∥MJ,得△AMJ∽△ANH.

∴AJ=24-4x,PJ=AJ-AP=12-2x.

∵CP=2x,CH=4,PJ=12-2x,

∴HJ=CP-CH-PJ=4x-16.

解法四：(S=S△MNI+S梯形CPMI)

如圖4-4,過點M作MI∥CP交CQ于點I,過點N作NH⊥AC于點I、交MI于點O.

圖4-4

由解法二可知,MQ=6x-24,NQ=2x-8,可得

MI=QI=MQ=6x-24,

NI=QI-NQ=4x-16.

由MI∥CP，得△NIO∽△NCH,

本小題所提供的解法都需要添加輔助線,通過相似三角形的性質,求得線段的長度,進而求解.解法一和解法二都是在四邊形CPMN的基礎上補上一個三角形得到一個規則圖形,解法三和解法四都是把四邊形CPMN分割為幾個容易計算面積的圖形.此題有一定計算難度和思維難度，要求學生要有發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.

4 反思再提高

通過以上對2021年貴州省銅仁市中考數學第25題的解析，不難發現對于三角形中的動點問題,解決問題的第一步是挖掘問題中不變的量或關系,化動為靜.其次是添加輔助線構造相似三角形,通過相似三角形的性質,求得線段的長度,進而求解.

處理好動與靜的關系，是解決動點問題的關鍵.運動是永恒的，靜止則是相對的，動中有靜，靜中有動，相互制約，相互統一.