聚焦教材經(jīng)典問題 明確幾何教學方向
——2021年北京中考幾何題研題體會

江蘇省揚州市江都區(qū)實驗初級中學 韓 艷

1 引言

每年全國各地中考試卷多達幾百份，而北京市中考試卷有著鮮明的首都風格.比如，重視“雙基”，關(guān)注能力，善于創(chuàng)新，而且試題大氣、新穎，沒有偏題、怪題或者網(wǎng)絡上流行的幾何技巧、“大法”能夠快速解決的“模型題”．筆者認真研習了2021年北京中考數(shù)學試卷，對該卷中的幾何題有了一些初步思考和研題體會，梳理成文，與各為同仁研討.

2 2021年北京中考幾何題解讀

題1如圖1，PA，PB與⊙O相切于A，B兩點．若∠APB=50°，則∠AOB的度數(shù)為.

圖1

解讀：這個圖形取材于教材中切線長定理的基本圖形，該題屬于考查“雙基”的測試題．引導師生備考時重視教材上重要定理的基本圖形，不需大量刷題就能掌握這類基礎問題.

題2如圖2，四邊形ABCD是矩形，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且AF=EC．添加一個條件(寫出一個即可)即可證明四邊形AECF是菱形.

圖2

解讀：本題的圖形也源于教材，以矩形為問題背景，讓學生添加條件，使得平行四邊形AECF強化為菱形.這是一個開放式問題，需要考生熟悉菱形的不同判定方法(需要先確認四邊形AECF為平行四邊形)，然后就可添加不同的條件.

圖3

解讀：這道題綜合了平行四邊形的性質(zhì)、“3，4，5”直角三角形、角平分線的性質(zhì)等知識點，容易獲得思路，關(guān)鍵是幾何語句的規(guī)范表達.

題4如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點E．連接BO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長.

圖4

解讀：前面幾道幾何題都不需要添加輔助線即可解決問題，從本題開始，所給圖形中的線段并不完整，需要結(jié)合題意補出圖形(如圖5)并求解(求解時，并不需要另外構(gòu)造輔助線).作為圓的一道小綜合題，涉及垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、相似三角形等知識點，屬于一道中檔題.

圖5

題5如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，M為BC的中點，點D在MC上，以點A為中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE．過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖6

解讀：這是處于全卷倒數(shù)第二題的位置的幾何綜合題，是承載著選拔功能的一道大題．原題共兩小問，第(1)問比較簡單；限于篇幅，這里僅摘引了第(2)問，畫出草圖之后，容易猜想(直觀看出)：點N是DE的中點．結(jié)合等腰三角形ADE的“三線合一”性質(zhì)，解題的關(guān)鍵可轉(zhuǎn)化為“證AN是△ADE的高”，結(jié)合圖7，可證出∠AMN=∠ADN，從而確認A，D，M，N四點在同一個圓上，于是問題獲得重要進展∠AND=∠AMD=90°.

圖7

此外，如圖8、圖9所示的構(gòu)造輔助線也可以解決問題，限于篇幅，這里不再給出思路說明.

圖8

圖9

3 北京中考幾何題的教學導向之思

3.1 重視課本例題、習題的教學功能

由于網(wǎng)絡技術(shù)、信息化的普及，每年全國各地幾百份中考試卷及各地“名校”模考題往往在考試之后快速得到傳播.一些搜題網(wǎng)站、APP及各類復習備考的教輔資料中，大量選用來自全國各地的這些考題，使得教材被“邊緣化”.常常看到學生的教材基本不用，上課時只使用“集體備課”后的學案(習題集)，這種現(xiàn)象并不在少數(shù)，值得我們思考．從北京卷幾何題的命題風格可以看出，北京中考幾何題并沒有那些偏題、怪題，也沒有網(wǎng)傳的很多模型或需要較高構(gòu)造技巧的最值問題，這給我們帶來的教學導向就是，要重視課本例題、習題的教學，不論是新授課還是復習課，都要扎實做好教材上例題、習題的教學與研究.

3.2 圍繞經(jīng)典圖形問題教深教透

深度教學是近年來很多專家倡導的教學追求．比如，南京大學哲學系鄭毓信教授認為深度教學要追求教學內(nèi)容的深度、廣度和貫通度．具體到解題教學，就是要努力讓學生做一題，會一類，通一片[1]．從北京卷出現(xiàn)的以上幾何圖形來看，全部都是經(jīng)典圖形，即不管教材幾經(jīng)修訂，這些經(jīng)典圖形幾十年來始終出現(xiàn)在課本中，我們在教學中要十分重視它們的教學價值，教師本人不能誤認為自己太熟悉了，沒有什么可講的，就帶領學生“一閃而過”，接著刷大量的所謂變式題、同類題．學生對一些經(jīng)典圖形的“標準問題”還沒能深刻理解，就急于變式、刷題，往往事倍功半．順便提及，《中學數(shù)學》(初中版)近年來刊發(fā)了不少圍繞經(jīng)典圖形問題研發(fā)的“一圖一課”課例文獻，也是將經(jīng)典問題教深教透的積極實踐，值得我們學習和踐行[2].

3.3 解后回顧、揭示深層結(jié)構(gòu)

針對經(jīng)典圖形的深度教學需要有解后回顧反思的環(huán)節(jié)，這是波利亞解題理論的重要環(huán)節(jié)．根據(jù)教學經(jīng)驗，在一個典型問題教學設計中，能否預設有效的解后小結(jié)往往能鑒別初任教師和專家教師的解題教學的專業(yè)基本功[3]．就本文中關(guān)注的經(jīng)典圖形問題來說，解題教學不只是關(guān)注一題多解，更重要的是思考“多解歸一”，并善于幫助學生揭示問題的“深層結(jié)構(gòu)”.比如，上文題5講評之后，要讓學生多看幾眼圖7，并想清辨明圖7是如何畫圖、漸次生成的，能否由這幅圖出發(fā)，寫出它的題設或條件，然后證出哪些結(jié)論，這些結(jié)論中哪些是“等價”結(jié)論(可以快速“成果擴大”得出).

3.4 解題教學要讓學生學會解題

涂榮豹教授指出：數(shù)學解題教學的任務，實際上是要教學生“學解題”[4]．所謂“學解題”，就是要讓學生學會思考如何解題，而不只是滿足于獲得某一道具體例題、習題的解法或答案．這就要求我們精選好的問題、經(jīng)典圖形問題，從習題教學走向問題驅(qū)動，“拉長”學程，讓學生對某類經(jīng)典問題的求解從“快思”走向“慢想”.只有平時對某一經(jīng)典問題“長時間思考”，獲得這類問題的深刻理解，學生將來在考場上再遇到這類問題或同類問題時，才能用較短時間識別或看清問題本質(zhì)，快速轉(zhuǎn)化為自己熟悉的“等價問題”，從而獲得思路的貫通.

4 寫在后面

中考命題是以國家課程標準為命題原則，追求試題育人，指向課堂，回歸教材，特別是注重從教材中挖掘和選用背景材料，讓重視教材的師生“沾光”，讓過度選用課外資料大量刷題的師生事倍功半．從這個角度看，本文關(guān)注的北京卷的幾何題基本達到了上述要求，值得我們深入研習.對于很多承擔著區(qū)域命題任務的老師來說，是不是也應該以北京卷作為一面鏡子，“照照”自己命制的試卷，看看我們的命題方向、命題立意是否合適，是否出現(xiàn)了“喜好偏向”呢？