改進(jìn)蝴蝶優(yōu)化算法及其在冗余機(jī)械臂逆運動學(xué)求解中的應(yīng)用＊

孟廣雙 高德東

（①唐山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北 唐山 063299；②青海大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，青海 西寧 810016）

蝴蝶優(yōu)化算法[1]（butterfly optimization algorithm,BOA）是Arora 等于2019 年根據(jù)蝴蝶的覓食行為而提出的一種智能優(yōu)化算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)設(shè)置少及容易實現(xiàn)等特點，目前已在很多優(yōu)化問題的求解領(lǐng)域得到了應(yīng)用[2-4]。雖較其他一些智能算法性能更優(yōu)，但BOA 算法同樣存在有其他智能優(yōu)化算法共性的缺點，即容易陷入局部最優(yōu)、后期收斂精度不高等。為此，一些學(xué)者也針對上述缺點對BOA 進(jìn)行了一系列的改進(jìn)研究和實際應(yīng)用工作[5-8]，在提高BOA 算法性能和增強(qiáng)實際應(yīng)用效果方面具有重要意義。

冗余機(jī)械臂逆運動學(xué)求解是實現(xiàn)機(jī)械臂運動控制、軌跡規(guī)劃和動力學(xué)分析等問題的前提，但求解過程具有高耦合、非線性等特點，數(shù)值法、幾何法和迭代法等常規(guī)解法對其進(jìn)行準(zhǔn)確的求解較為困難[9-10]。隨著智能優(yōu)化算法的發(fā)展，一些學(xué)者將機(jī)械臂逆運動學(xué)求解問題轉(zhuǎn)化為復(fù)雜函數(shù)的極值優(yōu)化問題，而后通過智能優(yōu)化算法進(jìn)行問題求解，如相繼提出的機(jī)械臂逆運動學(xué)求解的動態(tài)變步長果蠅優(yōu)化算法[11]、混合變異克隆選擇算法[12]、自適應(yīng)動態(tài)查分進(jìn)化算法[13]和改進(jìn)人工蜂群算法[14]等，都實現(xiàn)了求解精度和求解速度的雙提升。

由于每一種優(yōu)化策略都有自身的優(yōu)勢和不足，實現(xiàn)不同優(yōu)化策略的融合和優(yōu)勢互補(bǔ)，是提升智能優(yōu)化算法性能的有效途徑。本文在研究BOA 算法的基礎(chǔ)上，以冗余機(jī)械臂逆運動學(xué)求解為工程應(yīng)用背景，從動態(tài)轉(zhuǎn)換概率、最優(yōu)鄰域擾動和隨機(jī)慣性權(quán)重這3 個角度對BOA 進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計，提出了改進(jìn)蝴蝶優(yōu)化算法（improved butterfly optimization algorithm,IBOA）。IBOA 算法采用動態(tài)轉(zhuǎn)換概率策略來控制蝴蝶進(jìn)入全局搜索階段還是局部搜索階段；在全局搜索階段采用最優(yōu)鄰域擾動策略來擴(kuò)大搜索范圍，提升收斂精度和跳出局部最優(yōu)；在局部搜索階段采用隨機(jī)慣性權(quán)重策略來增強(qiáng)局部搜索能力。典型測試函數(shù)測試結(jié)果和冗余機(jī)械臂逆運動學(xué)求解工程應(yīng)用結(jié)果均顯示了IBOA 的性能更優(yōu)。

1 改進(jìn)蝴蝶優(yōu)化算法

在BOA 算法中，蝴蝶的移動方式可分為兩種，一種是在給定的范圍內(nèi)隨機(jī)移動，另一種是向香氣更濃的蝴蝶所在位置移動。這兩種移動方式分別被看成是局部搜索階段和全局搜索階段。BOA 算法雖然在性能上比其他一些優(yōu)化算法更優(yōu)，但同樣存在有陷入局部最優(yōu)、后期收斂精度不高等問題，為提高BOA 算法的性能，本文從3 個方面對BOA 進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計，提出IBOA 算法。

1.1 動態(tài)轉(zhuǎn)換概率策略

在BOA 算法中，蝴蝶進(jìn)入全局搜索階段或是局部搜索階段是由轉(zhuǎn)換概率p決定的，一般情況下，它為一個事先設(shè)定的固定值，這就使得算法后期的收斂速度得不到保證。因此，本文將轉(zhuǎn)換概率p調(diào)整為一個動態(tài)變化的值，從而提高算法后期的收斂速度。本文設(shè)計的動態(tài)轉(zhuǎn)換概率公式為

其中：Tmax和t分別表示最大迭代次數(shù)和當(dāng)前迭代次數(shù)。

由式（1）可知，轉(zhuǎn)換概率p實現(xiàn)了隨迭代次數(shù)的增加而動態(tài)調(diào)整，p大于生成的[0,1]之間隨機(jī)數(shù)r時，則進(jìn)入全局搜索階段；反之，則進(jìn)入局部搜索階段。

1.2 最優(yōu)鄰域擾動策略

在BOA 算法中，蝴蝶進(jìn)入全局搜索階段時，其位置更新方式?jīng)Q定了所有蝴蝶會朝著最優(yōu)蝴蝶所在位置方向飛去，這就容易導(dǎo)致蝴蝶種群的多樣性降低，因此，在全局搜索階段，需要對最優(yōu)位置進(jìn)行鄰域擾動，加強(qiáng)對鄰域空間的搜索，確保能夠跳出局部最優(yōu)。最優(yōu)鄰域擾動策略公式為

對位置進(jìn)行擾動后，相當(dāng)于在原最優(yōu)位置附近做了一次局部搜索。如果得到的新位置比原來位置更優(yōu)（即適應(yīng)度值更好），則利用新位置對原位置進(jìn)行替換；反之，如果得到的新位置比原來位置更差，則最優(yōu)位置不發(fā)生變動。通過鄰域擾動，就實現(xiàn)了對鄰域空間的搜索，確保真實的最優(yōu)位置能夠被找到，從而跳出局部最優(yōu)。

1.3 隨機(jī)慣性權(quán)重策略

在BOA 算法中，蝴蝶進(jìn)入局部搜索階段后，雖是隨機(jī)搜索，但仍主要是受前一位置影響且影響程度保持不變，這就容易導(dǎo)致在后期易容陷入局部最優(yōu)，因此，在局部搜索階段，需要通過隨機(jī)慣性權(quán)重來改變前一位置對當(dāng)前位置更新的影響。本文設(shè)計的隨機(jī)慣性權(quán)重計算公式為

其中：μmax和 μmin為慣性權(quán)重的上下限；rand為隨機(jī)數(shù)，在[0,1]范圍內(nèi)取值。這樣，就可以將局部搜索階段中蝴蝶的位置更新方式調(diào)整為

由式（4）可知，ω實現(xiàn)了蝴蝶前一位置對擬更新位置的調(diào)控，ω取值較大時，蝴蝶擬更新位置受前一位置影響就較大；ω取值較小時，蝴蝶擬更新位置受前一位置影響就較小。

1.4 IBOA 流程步驟

通過在BOA 算法中引入上述3 個改進(jìn)策略，即可得到IBOA 算法，其主要流程如圖1 所示，具體步驟如下：

圖1 IBOA 流程圖

（1）設(shè)置蝴蝶種群的規(guī)模N、搜索空間的維度D、最大迭代次數(shù)Tmax、為慣性權(quán)重上下限 μmax和μmin等參數(shù)。

（2）在搜索空間范圍內(nèi)隨機(jī)確定種群的初始位置。

（3）計算每只蝴蝶的適應(yīng)度值，選出本次迭代中最優(yōu)適應(yīng)度值即對應(yīng)的蝴蝶位置。同時，在[0,1]范圍內(nèi)生成隨機(jī)數(shù)r。

（4）計算動態(tài)轉(zhuǎn)換概率p，當(dāng)p＞r時，進(jìn)入全局搜索階段，按照最優(yōu)鄰域擾動策略進(jìn)行位置更新；當(dāng)p≤r時，進(jìn)入局部搜索階段，按照隨機(jī)慣性權(quán)重策略進(jìn)行位置更新。

（5）判定是否達(dá)到了迭代停止條件，如是，則結(jié)束結(jié)束，如否，則范圍步驟（3）繼續(xù)迭代。

2 IBOA 性能測試

為驗證本文IBOA 的性能，本文通過表1 所示的3 個基準(zhǔn)測試函數(shù)對其性能進(jìn)行測試。同時，將IBOA 算法和標(biāo)準(zhǔn)BOA 算法以及幾種改進(jìn)型BOA算法進(jìn)行對比分析。幾種改進(jìn)型BOA 算法分別來源于文獻(xiàn)[5-7]，在本文中依次稱為IBOA-5、IBOA-6 和IBOA-7。在所有方法中，蝴蝶種群的規(guī)模和最大迭代次數(shù)分別設(shè)置為50 和500，IBOA-5、IBOA-6和IBOA-7 需要的其他參數(shù)均按照原文獻(xiàn)進(jìn)行設(shè)置。

表1 測試函數(shù)

分別利用上述5 種方法對3 個基準(zhǔn)測試函數(shù)在30 維和50 維下進(jìn)行50 次獨立的極值求解，得到相關(guān)統(tǒng)計結(jié)果如表2 所示。分析表2 中結(jié)果可知，對于3 個基準(zhǔn)測試函數(shù)，無論是在30 維或是100 維下，IBOA 算法在50 次獨立計算中都找到了其理論極值且標(biāo)準(zhǔn)差為0，而其余4 種方法中沒有一種方法求到了理論極值，這說明本文的IBOA 算法在收斂精度和計算穩(wěn)定性上均比其余3 種改進(jìn)型BOA算法和標(biāo)準(zhǔn)BOA 算法要好，體現(xiàn)了IBOA 尋優(yōu)精度高、計算穩(wěn)定的優(yōu)點。

表2 5 種方法求解結(jié)果

圖2 給出了5 種方法對3 個函數(shù)在30 維下理論極值的搜索迭代過程（對適應(yīng)度值取以10 為底的對數(shù)），從中可以看出，與另外4 種算法相比，本文所提IBOA 算法速度更快、收斂精度更高，特別是對于Rastrigin 和Griewank 這兩個多峰值函數(shù)，其曲線呈現(xiàn)出明顯的線性下降趨勢，在迭代次數(shù)較少的情況下就完成了收斂，這也進(jìn)一步說明IBOA沒有陷入局部最優(yōu)且搜索能力極強(qiáng)。

圖2 搜索迭代曲線

3 冗余機(jī)械臂逆運動學(xué)求解實例

3.1 逆運動學(xué)求解模型建立

本文以YuMi-14000-ABB 型機(jī)械臂為研究對象，建立逆運動學(xué)求解模型。該機(jī)械臂左臂的D-H 連桿坐標(biāo)系如圖3 所示，D-H 連桿坐標(biāo)系的參數(shù)如表3所示。

圖3 YuMi-14000-ABB 機(jī)械臂

表3 D-H 參數(shù)

對于關(guān)節(jié)i，根據(jù)表1 中的相關(guān)D-H 參數(shù)，可得其齊次變換矩陣為

其中：sθi和 cθi分別表示 sinθi和 cosθi；sαi和 cαi分別表示 sinαi和 cosαi。根據(jù)正運動學(xué)，可得機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位姿矩陣與各關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系為

由此可知，該型7 自由度機(jī)械臂的正運動學(xué)方程是與7 個關(guān)節(jié)變量為自變量的復(fù)雜函數(shù)。在機(jī)械臂逆運動學(xué)求解中，需要對 θ1～θ7等7 個關(guān)節(jié)角進(jìn)行求解，假設(shè)期望的機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位姿矩陣為

由于方向誤差與角度有關(guān)、位置誤差與長度有關(guān)，二者不是同一量綱，在實際求解過程中就會造成兩種誤差收斂不平衡，為均衡兩種誤差的收斂，引入調(diào)整因子 λ，可得修正后的逆運動學(xué)求解適應(yīng)度函數(shù)為

3.2 給定期望位姿的求解結(jié)果分析

為了驗證IBOA 算法在冗余機(jī)械臂逆運動學(xué)求解中的有效性，將IBOA 的優(yōu)化求解結(jié)果同參考文獻(xiàn)[10]中的混合果蠅優(yōu)化算法（HLFOA）、參考文獻(xiàn)[12]中的混合克隆變異算法（HMCSA）、參考文獻(xiàn)[13]中的自適應(yīng)動態(tài)差分進(jìn)化算法（ADDEA）、參考文獻(xiàn)[14] 中的改進(jìn)人工蜂群算法（IABC）以及BOA 算法進(jìn)行對比分析。所有算法的種群規(guī)模和最大迭代次數(shù)分別設(shè)置為50 和500，誤差調(diào)整因子 λ設(shè)置為0.01，HLFOA、HMCSA、ADDEA和IABC等算法的相關(guān)參數(shù)均按照原文獻(xiàn)推薦設(shè)置。

給定YuMi-14000-ABB 型機(jī)械臂一個期望位姿為

利用上述各算法分別進(jìn)行10 次獨立運算，可得各算法得到的最優(yōu)適應(yīng)度值、平均適應(yīng)度值和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計結(jié)果如表4 所示，最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)下的逆解所對應(yīng)的位姿誤差如表5 所示，各算法的最優(yōu)適應(yīng)度值收斂曲線如圖4 所示。

由表4 中可知，IBOA 求得的最優(yōu)適應(yīng)度值、平均適應(yīng)度值和標(biāo)準(zhǔn)差，在5 種方法中均是最優(yōu)的，都達(dá)到了10-18，比其余5 種方法均要高，這說明IBOA 對機(jī)械臂逆運動學(xué)解得求解精度和計算穩(wěn)定性要比其余4 種方法更好。從表5 種可知，IBOA方法得到的最優(yōu)逆解對應(yīng)的位置誤差和方向誤差分量最大分別為10-18和10-17級，是5 種方法中最優(yōu)的，這說明IBOA 得到的最優(yōu)逆解能夠讓機(jī)械臂更趨近于期望位姿，從而減小誤差。從圖4 中可知，IBOA 的適應(yīng)度值迭代曲線的下降速度最快，且在停止迭代后，位置處于最下方，這說明IBOA 的收斂速度和求解精度均優(yōu)于其他算法。

表4 給定期望位姿下各算法計算結(jié)果

表5 各算法位姿誤差

圖4 給定期望位姿下適應(yīng)度值收斂曲線

3.3 任意期望位姿的求解結(jié)果分析

為進(jìn)一步驗證IBOA 在冗余機(jī)械臂逆運動學(xué)求解中的泛化能力，對于YuMi-14000-ABB 型機(jī)械臂位姿空間的10 個任意期望位姿，利用上述算法進(jìn)行求解的結(jié)果如表6 所示，收斂曲線如圖5 所示。

表6 任意期望位姿下各算法計算結(jié)果

圖5 任意期望位姿下適應(yīng)度值收斂曲線

從表6 中可知，對于任意給定的機(jī)械臂期望位姿，IBOA 的計算結(jié)果均可達(dá)到10-18數(shù)量級，是5種方法中最高的，較結(jié)果已經(jīng)很優(yōu)的HLFOA 的10-16數(shù)量級和HMCSA 的10-15數(shù)量級，都有所提高；雖然ADDEA 和IABC 適應(yīng)度值得數(shù)量級也在10-13和10-9，但平均適應(yīng)度值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)并不是很理想，以上結(jié)果說明IBOA 所得結(jié)果對應(yīng)的逆解得到了很高的位姿精度，可以有效減少誤差。從圖5 中可知，對于任意給定的機(jī)械臂期望位姿，IBOA 適應(yīng)度值迭代曲線的下降速度同樣最快且處于最下方，這說明其更適用于冗余機(jī)械臂的逆運動學(xué)求解。

4 結(jié)語

在研究BOA 算法的基礎(chǔ)上，提出一種IBOA算法。IBOA 算法融入了動態(tài)轉(zhuǎn)換概率策略、最優(yōu)鄰域擾動策略和隨機(jī)慣性權(quán)重策略等3 種策略，實現(xiàn)了算法收斂速、收斂精度的提升，克服了BOA算法易陷入局部最優(yōu)、后期收斂精度不高的問題。利用3 個基準(zhǔn)測試函數(shù)對IBOA 的性能進(jìn)行了驗證；將IBOA 算法應(yīng)用于冗余機(jī)械臂的逆運動學(xué)求解中，獲得了更高的收斂精度和求解穩(wěn)定性。