基于方箱的氣浮工作臺控制系統穩定性分析＊

朱思達 盧志偉 劉 波 張君安

（西安工業大學機電工程學院，陜西 西安 710021）

隨著現代科技的飛速進步，精密與超精密加工技術在各國科技產品競爭和軍事裝備競爭中扮演著越來越重要的角色。精密與超精密加工技術既是國家現代高新技術的重要發展方向，也對現代基礎科學技術的發展提供了保障。如今各國對精密及超精密加工設備的需求量在不斷增加，而這其中精密和超精密運動導軌和運動工作臺為超精密加工、光學精密測量及半導體等領域提供了重要的技術支撐，是眾多高技術產業的基礎保障。精密二維工作臺是實現精密加工和精密加工的重要功能載體，它的性能直接影響了零部件的加工精度和效率。現如今能實現精密運動的高性能二維氣浮工作臺應用領域越來越廣泛，因而對氣浮工作臺的性能提出了更高的要求[1]。

氣浮工作臺是由復雜的機械運動學以及伺服控制學所集成的系統。對于氣浮工作臺而言，最終要實現的目標為：能夠按照給定軌跡精密運動以及精準定位。其實現精密運動，不僅僅需要依靠精密運動導軌以及高精度電機，還需要擁有穩定且精準的伺服控制系統[2]。由于氣浮工作臺采用氣浮導軌支承技術，使得整個工作臺阻尼小、慣性力大，易造成控制系統的不穩定，最終可能導致機械設備壽命減少、性能降低，甚至設備損壞的后果。因此需要對伺服控制系統的穩定性進行分析研究，以避免造成嚴重后果。

安徽大學王立軍采用離散的李雅普諾夫函數去選擇滿足系統穩定的自適應增益，充分抑制系統擾動，提高系統的魯棒性[3]。西安理工大學尹忠剛構建基于永磁同步直線電機數學模型的無差拍電流預測控制算法，得到了算法的穩定域，使控制算法在電機參數攝動范圍內穩定[4]。哈爾濱工業大學陳偉通過控制無功電流恒定調節輸出電壓來抑制電機振蕩，提高系統的穩定性[5]。西安電子科技大學蘇玉鑫采用波波夫判據對閉環控制系統進行穩定性分析，確保非線性閉環控制系統穩定的非線性增益的有效取值范圍[6]。

本文以二維氣浮工作臺伺服控制系統為例，采用伯德圖穩定性分析法，建立各環控制器開環傳遞函數，利用Matlab 計算出伯德圖，根據工程指標進行穩定裕度分析，對于出現不穩定狀態進行了參數修正，并建立實驗單元驗證了控制系統的穩定性。為各類氣浮工作臺伺服控制系統的參數設計和穩定性分析打下了基礎。

1 二維氣浮工作臺及驅動控制系統

課題組研制的一種基于精密計量方箱的精密二維氣浮靜壓平面運動平臺主要由機械結構系統、氣動系統和驅動控制系統組成。機械結構部分主要由精密計量方箱、X軸氣浮導軌、Y軸氣浮導軌、直線電機、光柵尺位移傳感器以及伺服驅動器、控制卡所構成。二維氣浮工作臺如圖1 所示[7]。

圖1 二維氣浮工作臺

二維氣浮工作臺各軸向的控制系統均采用全閉環控制，全閉環控制系統是由電流環、速度環、位置環構成，其中電流環為最內環，采用PI 調節方式；速度環為中環，同樣采用PI 調節方式；位置環為最外環，采用P 調節方式。驅動控制系統結構如圖2 所示。

圖2 驅動控制系統結構圖

2 驅動控制系統數學模型

2.1 直線電機數學模型

直線電機的運行原理與旋轉電機的運行原理相類似。在理想條件下，建立直線電機在d-q模型下電流模型方程如下。

式中：Ud、Uq分別是直線電機動子電壓d、q軸分量，V；id、iq分別是直線電機動子電流d、q軸分量，A；Ld、Lq分別是直線電機動子電感d、q軸分量，H；R為電樞繞組的電阻，Ω；ω為直線電機等效轉子角速度，rad/s，且 ω=(π/τ)PnV，V為動子運動速度，m/s；τ為磁極距，mm；Pn為動子線圈的極對數，φf為永磁體磁勢，Wb。

在假設沒有任何干擾的情況下，計算直線電機的電磁推力如下。

輸出總功率為

電磁推力表達式為

對于U 型平板式直線電機，Ld、Lq相等，所以簡化電磁推力方程為

根據牛頓第二定律，直線電機機械運動方程為

式中：M為運動部件質量，kg；x為動子位移量，m；f為工作臺與導軌之間的摩擦系數；kx為彈性系數；Fe為 電機電磁推力，N；FL為負載干擾力，N。

對于二維氣浮工作臺，可以將摩擦力忽略。在id=0以及電壓確定的條件下，可以推導出直線電機狀態平衡方程為[8]

在初始值為零時，將式（7）進行拉氏變換，并以電壓作為信號輸入，動子運動速度作為信號輸出。

氣浮工作臺直線電機相關參數如表1 所示。

表1 直線電機參數表

2.2 電流環PI 控制器數學模型

在本系統中，電流環作為控制系統最內環，建立電流環PI 控制器閉環函數GiB(S)以及相應的開環函數Gi(S)。

式中：Koi為電流反饋濾波放大系數，V/A；Kpwm為逆變器放大倍數；τii為 時間積分常數，s；Toi為濾波時間常數，s；Tpwm為 逆變器時間常數，s；Tm為電氣時間常數，s；Kii為電流積分調節系數，V/A。

由式（9）得，Y軸電流環開環傳遞函數：

同樣可以得到X軸電流環開環傳遞函數：

2.3 速度環PI 控制器數學模型

根據控制系統的設計原則，速度環以電流環為內環，采用PI 控制器調節[9]，PI 控制器傳遞函數為

式中：Kvp為 速度環控制器比例系數，As/mm；Tvi為速度環積分時間系數，s。

建立速度環 PI 控制開環傳遞函數

式中：Kvi=Kvp/Tvi；Kov為速度環反饋放大系數；Tov為速度環濾波時間常數，s；M為平臺質量，kg；Kf為推力常數。

將2 個時間常數Tov和Ti’的合并，則式（13）簡化為

在Y軸中，M=59.4 kg，Kf=23.7 N/A。故，Kvp=23.467 As/mm，Kvi=4 084.73。Y軸速度環開環C傳遞函數為

在X軸中，M=121 kg，Kf=35.6 N/A。故，Kvp=31.82 As/mm，Kvi=5 680.78。X軸速度環開環傳遞函數為

2.4 位置環P 控制器數學模型

位置環是以速度環為內環的，本系統位置環采用P 控制。建立位置環開環傳遞函數

式中：KPP為位置環比例系數；GvB(S)為速度環閉環傳遞函數。

式中：Gv(S)為速度環開環函數。

由式（15）與（16）可推導出Y、X軸速度環閉環函數

在位置伺服系統中，為了提高系統的抗干擾性應盡量使比例增益取大值。可以將位置環比例增益作適當修正。取KPPx=40，KPPy=200。由式（17）可推導出Y、X軸位置環開函數

3 驅動控制系統穩定性分析

3.1 電流環穩定性分析

Matlab 的工具箱中提供了Bode()命令，使得求解過程變得簡便。由式（10）與（11）可知Y軸與X軸電流環的開環傳遞函數。根據所推導的傳遞函數繪制伯德圖，控制系統電流環伯德圖如圖3 所示。

對控制系統電流環開環傳遞函數進行穩定裕度分析，從圖3 中可以得知：X軸與Y軸軸相角裕度均為63.5°＞60°，幅值裕度均為18.5 dB＞10 dB，滿足系統穩定裕要求，系統電流環是穩定的。

圖3 電流環伯德圖

3.2 速度環穩定性分析

由式（15）與（16）可知，Y軸與X軸速度環的開環傳遞函數。根據所推導的傳遞函數繪制伯德圖，控制系統速度環伯德圖如圖4 所示。

對控制系統速度環開環傳遞函數進行穩定裕度分析，從圖4 可以得到：X軸與Y軸速度環相角裕度都小于60°，不能滿足穩定裕度要求。

圖4 速度環伯德圖

修正后Y軸：Kvp=15，Kvi=2 713.45。

修正后X軸：Kvp=26.74，Kvi=4 853。

修正前分析造成不滿足穩定裕度的原因：工作臺用氣浮導軌支撐使得工作臺阻尼很小，直線電機直接驅動無緩沖，這些因素都可能造成系統穩定裕度不能這到要求。

對修正后速度環開環傳遞函數進行穩定裕度分析，由圖5 可以得到：修正后Y軸速度環開環傳遞函數相角裕度為63.3°＞60°，幅值裕度為30.4 dB＞10 dB；X軸速度環開環傳遞函數相角裕度為62°＞60°，幅值裕度為28.2 dB＞10 dB，滿足系統穩定裕度要求，系統速度環為穩定的[10]。

圖5 修正后速度環伯德圖

3.3 位置環穩定性分析

由式（21）與（22）可知，Y軸與X軸位置環的開環傳遞函數。根據所推導的傳遞函數繪制伯德圖，控制系統速度環伯德圖如圖6 所示。

對控制系統位置環開環傳遞函數進行穩定裕度分析，從圖6 可以得到：Y軸直線電機位置環開環傳遞函數相角裕度為85.1°＞60°，幅值裕度為26 dB＞10 dB；X軸直線電機位置環開環傳速函數伯德圖如b 圖所示，其相角裕度為63.1°＞60°，幅值裕度為12.8 dB＞10 dB。滿足系統穩定裕度要求，系統位置環為穩定的。

圖6 位置環伯德圖

4 試驗研究

4.1 試驗裝置

以上章節已經通過伯德圖穩定分析法仿真分析了二維氣浮工作臺控制系統的穩定性。本節將通過定位精度實驗從側面對穩定性分析結果進行試驗驗證。定位精度反映了目標位置與實際位置的誤差，其最能反映氣浮工作臺的實際工況[11]。若控制系統穩定性較差，氣浮工作臺出現抖動以及振蕩等現象，由其帶來的誤差會逐步疊加，從而導致定位精度較差。

定位精度試驗步驟：（1）在氣浮工作臺各軸向先后安裝固定干涉鏡和反光鏡。（2）調整光路使測量軸線與直線電機移動方向平行或者重合，并調整實驗環境，靜置24 h。（3）預熱激光干涉儀，輸入環境變量參數。（4）設置運動程序使氣浮工作臺按測量要求運動。（5）運行激光干涉儀軟件，采集數據分析結果。圖7 為二維氣浮試驗平臺。

圖7 二維氣浮試驗平臺

4.2 試驗結果及分析

根據國標GB/T 17421.2-2016 的規定，在X與Y軸100 mm 的行程之中選取5 個數據測量點（20 mm、40 mm、60 mm、80 mm 以及100 mm）。規劃5 次往返運動程序并記錄數據。目標位置軸線雙向定位精度計算公式如式(25)所示。

其試驗結果如圖8 所示。從圖8 中可以看出：X軸定位精度為4.671 μm/100 mm；Y軸定位精度為2.137 μm/100 mm。試驗結果表明：氣浮工作臺各軸向定位精度良好且在整個定位過程中，氣浮工作臺未出現震蕩、抖動等不穩定現象。因此說明，氣浮工作臺擁有良好的穩定性，與仿真分析結果具有較好的一致性。

圖8 定位精度實驗結果

5 結語

（1）對二維氣浮精密運動平臺控制系統進行分析，建立了電流環為內環、速度環為中環和位置環為外環的控制模型，并推導計算各環開環傳遞函數，建立數學模型。

（2）利用Matlab 繪制伯德圖進行仿真分析系統穩定性。Y軸與X軸電流環開環傳遞函數相角裕度、幅值裕度滿足系統穩定裕度要求，具有足夠的穩定性。速度環開環傳遞函數修正前，由于工作臺的支撐方式導致系統的阻尼小，相角裕度及幅值裕度未達到系統穩定裕度要求，適當修改控制參數；修正后，相角裕度、幅值裕度能夠滿足系統穩定裕度要求。位置環開環傳遞函數相角裕度、幅值裕度同樣滿足系統穩定裕度要求。控制系統由內向外，依次分析了控制系統為穩定的，且有足夠的穩定裕度。

（3）實驗結果從側面反映了仿真分析的正確性，二維精密氣浮運動平臺能夠穩定運行，在運行過程中并未出現抖動、震蕩等現象。從而驗證了驅動控制系統設計的合理性，為精密氣浮工作臺的研制提供了研究基礎。