具有非線性剛度邊界的桿梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性分析

許文峰， 唐 斌， BRENNAN Michael J.， MANCONI Elisabetta， GON?ALVES Paulo J. Paupitz

(1.大連理工大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.圣保羅州立大學(xué) 工程學(xué)院，伊利亞索泰拉 15385-000；3.帕爾馬大學(xué) 工程和建筑系，帕爾馬 43100；4.圣保羅州立大學(xué) 工程學(xué)院，巴魯 17033-360)

在工程領(lǐng)域中，很多實(shí)際結(jié)構(gòu)都可以簡(jiǎn)化為線性連續(xù)結(jié)構(gòu)的組合，例如弦、殼、桿和梁等[1-2]。道路維修時(shí)常用的鉆地機(jī)通過(guò)桿狀沖擊鉆不斷沖擊混凝土地面，達(dá)到迅速破壞路面的效果。渦輪機(jī)的葉片受到流體的沖擊帶動(dòng)葉輪轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生動(dòng)力。隨著工程技術(shù)的發(fā)展，非線性邊界對(duì)線性連續(xù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的研究逐漸提上日程，因?yàn)榈湫偷木€性剛度邊界與理想約束邊界[3]已經(jīng)不能夠滿足工程需求。非線性因素的產(chǎn)生有許多原因，如接觸碰撞中的間隙、干摩擦、材料彈塑性、構(gòu)件大變形等。這些非線性因素的存在會(huì)使結(jié)構(gòu)在較小的動(dòng)態(tài)激勵(lì)下產(chǎn)生線性系統(tǒng)所沒有的現(xiàn)象，如分岔[4]、混沌[5]、超(亞)諧共振[6]等。除了受動(dòng)態(tài)激勵(lì)外，結(jié)構(gòu)還有可能受到其他載荷，如重力、裝配缺陷等引起的預(yù)載，這使結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出非常復(fù)雜的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，其中最為典型的頻域特征是隨著激勵(lì)頻率的變化而產(chǎn)生“頻率漂移[7]”和“跳躍[8]”現(xiàn)象。在復(fù)雜工況下，由過(guò)載引起的頻漂將會(huì)導(dǎo)致非常嚴(yán)重的后果，這已引起工程技術(shù)人員的重點(diǎn)關(guān)注。

關(guān)于非線性剛度邊界條件對(duì)連續(xù)桿梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，在近半個(gè)世紀(jì)里也有一些研究進(jìn)展。Tabaddor[9]從試驗(yàn)和理論兩方面研究了懸臂梁在簡(jiǎn)諧外力激勵(lì)下的單模態(tài)動(dòng)力學(xué)特性。Gudmundson[10]用諧波平衡法分析了由非線性轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧支承的均質(zhì)梁的動(dòng)力特性，確定了諧波和次諧波解是頻率、激勵(lì)幅值和材料阻尼的函數(shù)。Mei等[11]研究了波在Timoshenko梁中的反射和傳播，導(dǎo)出了梁中各種不連續(xù)點(diǎn)的透射和反射矩陣。Mace[12]充分考慮了在梁的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)分析中，近場(chǎng)波與相鄰不連續(xù)面相互作用的影響。Chouvion等[13-14]提出了一種用于三維波導(dǎo)結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的基于射線追蹤法的通用波傳播方法。Kovacic等[15]研究了非對(duì)稱杜芬振子的主共振響應(yīng)，對(duì)表明跳躍現(xiàn)象發(fā)生的多值解進(jìn)行了理論計(jì)算和數(shù)值驗(yàn)證。Tang等[16-17]介紹了一種估算類達(dá)芬系統(tǒng)三次非線性剛度的試驗(yàn)研究方法，并對(duì)激振器-壓縮梁耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。Cremer等[18]提出了一種解決非線性邊界問(wèn)題行之有效的方法，即相位閉合原理。它的基本概念是：在一個(gè)完整的波傳播回路中，一維結(jié)構(gòu)中行波的總相變是2π的整數(shù)倍。

本文以非線性剛度彈簧固定的桿梁結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，對(duì)比了采用相位閉合原理和分離變量法所得到的骨架曲線，并進(jìn)一步得到結(jié)構(gòu)的頻響曲線，最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論計(jì)算的準(zhǔn)確性。

1 波在具有非線性剛度邊界桿中的反射

圖1為等截面均勻桿，右端通過(guò)非線性剛度彈簧固定。桿的長(zhǎng)度為l，橫截面積為S，楊氏模量為E，線密度為ρ，簡(jiǎn)諧激勵(lì)振幅為Fl。彈簧具有線性和三次非線性剛度，分別為s1與s3。桿的位移為u(x,t)，設(shè)正方向向左，則彈簧力為f=-(s1w±s1w3)，式中：“+”為硬化彈簧；“-”為軟化彈簧。設(shè)x=0處產(chǎn)生的縱向位移為U0，x=l處產(chǎn)生的縱向位移為Ul。

圖1 連接非線性剛度彈簧的桿Fig.1 A rod connected to a nonlinear stiffness spring

1.1 自由振動(dòng)

桿的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

邊界條件是

(2)

入射波UIcos(ωt-kLx)與右端非線性邊界發(fā)生碰撞后，將產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)奇數(shù)倍頻率的反射諧波。由于本文考慮的非線性程度相對(duì)較弱，反射能量主要集中在一次反射諧波，所以在下文分析中，忽略高次反射諧波影響。

采用行波法表示桿中任意一點(diǎn)的縱向位移

u(x,t)=UIcos(ωt-kLx)+URcos(ωt+kLx+φL)

(3)

(4)

為了方便分析，本節(jié)的后續(xù)計(jì)算都以硬化彈簧為例進(jìn)行求解。

聯(lián)立式(2)和式(3)，采用諧波平衡法，無(wú)量綱化得

ΩLtan(φL/2)=1+3γ行波[1+cos(φL)]/2

(5)

式中，ΩL=ESkL/s1為邊界處線性剛度的阻抗模量等于桿的阻抗時(shí)的頻率。

由圖1可知，桿左端是自由邊界，相位變化是0；右端是非線性邊界，設(shè)相位變化是φL。因此根據(jù)相位閉合原理有

2kLl-0-φL=2nπ(n=0,1,2,…)

(6)

式中，kLl=γ1ΩL。

故式(5)可化簡(jiǎn)成

ΩLtan(kLl)=1+3γ行波[1+cos(2kLl)]/2

(7)

采用分離變量法[19]表示桿中任意一點(diǎn)的縱向位移

u(x,t)=U(x)cos(ωt+φ)=

[Acos(kLx)+Bsin(kLx)]cos(ωt+φ)

(8)

式中：U(x)為桿中任意一點(diǎn)x的最大振幅；A和B為根據(jù)邊界條件確定的常數(shù)。

將桿的位移式(8)代入邊界條件式(2)，并注意到cos3(x)=[3cos(x)+cos(3x)]/4，無(wú)量綱化得

ΩLtan(kLl)=1+3γ分離/4

(9)

比較式(7)和式(9)，可以得出行波法與分離變量法之間的聯(lián)系

(10)

圖2 桿的骨架曲線Fig.2 The backbone curves of the rod

1.2 強(qiáng)迫振動(dòng)

在桿的自由端施加一個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)Flcos(ωt+φ)，采用分離變量法表示桿中任意一點(diǎn)位移。

此時(shí)的邊界條件為

(11)

將桿的位移表達(dá)式(8)代入邊界條件式(11)，無(wú)量綱化得

(12)

圖3 桿的頻響曲線Fig.3 The frequency response curve of the rod

1.3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

采用有限元方法對(duì)上述理論分析得到的頻響曲線進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。設(shè)細(xì)長(zhǎng)圓桿的參數(shù)為l=1 m，R=0.01 m，ρ=7 850 kg/m3，E=2×1011Pa，S=3.14×10-4m2。簡(jiǎn)諧激勵(lì)的幅值為Fl=6.28×106N，邊界處的非線性剛度參數(shù)為s1=6.28×107N/m，s3=6.28×109N/m3。將桿離散為100個(gè)單元。在跳頻點(diǎn)附近進(jìn)行正掃頻與負(fù)掃頻，掃頻頻率間隔最小為0.05 Hz。

理論解與有限元方法得到的仿真解，如圖4所示。由圖4可以看出，兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本吻合。

圖4 桿的頻響曲線對(duì)比圖Fig.4 Comparison of the frequency response curve of the rod

2 波在具有非線性剛度邊界梁中的反射

圖5為等截面均勻梁，其右端通過(guò)非線性剛度彈簧固定。梁的長(zhǎng)度為l，橫截面積為S，楊氏模量為E，線密度為ρ，簡(jiǎn)諧激勵(lì)振幅為Fl。彈簧具有線性和三次非線性剛度，分別為s1與s3。梁的位移為w(x,t)，設(shè)正方向向上，則彈簧力為f=s1w±s1w3，式中：“+”為硬化彈簧；“-”為軟化彈簧。設(shè)x=0處產(chǎn)生的橫向位移為W0，x=l處產(chǎn)生的橫向位移為Wl。

2.1 自由振動(dòng)

梁的運(yùn)動(dòng)微分方程

(13)

圖5 連接非線性剛度彈簧的梁Fig.5 A beam connected to a nonlinear stiffness spring

邊界條件為

(14)

(15)

入射傳遞波WIPcos(ωt-kFx)與右端非線性邊界發(fā)生碰撞后，將產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)反射傳遞波與反射近場(chǎng)波。考慮到反射能量主要集中在一次反射諧波，因此忽略高次反射諧波的影響。

設(shè)梁中任一點(diǎn)處的橫向位移為

w(x,t)=WIPcos(ωt-kFx)+WPPcos(ωt+kFx+φPP)+
WNPekFxcos(ωt+φNP)

(16)

式中：WIP為入射波振幅；WPP為反射傳遞波振幅；WNP為反射近場(chǎng)波振幅；φPP為反射傳遞波相位；φNP為反射近場(chǎng)波相位；kF=ω1/2(ρA/EI)1/4為橫波波數(shù)。

聯(lián)立式(14)、式(15)和式(16)，無(wú)量綱化得

(17)

使用一階諧波平衡法求解式(17)可得

tan(φNP)=sin(φPP)/[1+cos(φPP)]

(18)

RNP=sin(φPP)/sin(φNP)

(19)

(20)

記h(x)=cos(x)+RPPcos(x+φPP)+RNPcos(x+φNP)，采用包絡(luò)線的計(jì)算方法，由梁的位移式(16)可得

(21)

聯(lián)立式(18)～式(21)，可以得到傳遞波入射時(shí)，硬化與軟化邊界條件下非線性邊界對(duì)梁振動(dòng)的影響[20]。

2kFl-(-π/2)-φPP=2nπ(n=0,1,2,…)

(22)

令η1=10，η3±1 000將相位閉合原理與分離變量法(計(jì)算公式見2.2節(jié))得到的骨架曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示。其中，實(shí)線為相位閉合原理計(jì)算結(jié)果，虛線為分離變量法計(jì)算結(jié)果。由于相位閉合原理忽略了近場(chǎng)波，低頻時(shí)近場(chǎng)波幅值衰減得相對(duì)更慢，因此在低頻(低于自由-鉸支梁的第一階固有頻率)范圍內(nèi)存在一定誤差。

入射近場(chǎng)波WINe-kFxcos(ωt)與右端非線性邊界發(fā)生碰撞后發(fā)生反射。同樣地，忽略高次反射諧波。

設(shè)梁中任一點(diǎn)處的橫向位移為

w(x,t)=WINe-kFxcos(ωt)+WPNcos(ωt+kFx+φPN)+
WNNekFxcos(ωt+φNN)

(23)

圖6 梁的骨架曲線Fig.6 The backbone curves of the beam

聯(lián)立式(14)、(15)和式(23)，無(wú)量綱化得

(24)

使用一階諧波平衡法求解可得

RPN=2sin(φPN)

(25)

tan(φNN)=RPNsin(φPN)/[RPNcos(φPN)-1]

(26)

RNN=RPNsin(φPN)/sin(φNN)

(27)

Ω3/2=[2+24γFNsin(φPN)2]/[1-cot(φPN)]

(28)

聯(lián)立式(25)～式(28)，可以得到近場(chǎng)波入射時(shí)，硬化與軟化邊界條件下非線性邊界對(duì)梁振動(dòng)的影響。

2.2 強(qiáng)迫振動(dòng)

在梁的自由端施加一個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)Flcos(ωt+φ)，采用分離變量法表示梁中任意一點(diǎn)的位移。

設(shè)梁中任一點(diǎn)處的橫向位移為

w(x,t)=W(x)cos(ωt+φ)

(29)

式中，W(x)=c1cosh(kFx)+c2sinh(kFx)+c3cos(kFx)+c4sin(kFx)，而c1,c2,c3,c4需要根據(jù)邊界條件確定。

此時(shí)的邊界條件為

(30)

(31)

將位移式(29)代入以上邊界條件中，可以解得系數(shù)c1,c2,c3,c4。此時(shí)可得處的最大橫向位移為

W0=W(0)=c1+c3=

(32)

記M=cos(kFl)sinh(kFl)-cosh(kFl)sin(kFl)，N=cos(kFl)cosh(kFl)-1，則式(32)可整理成關(guān)于W0的三次多項(xiàng)式

(33)

將式(33)的三次項(xiàng)系數(shù)化簡(jiǎn)為1，得

(34)

若Fl=0，則式(33)轉(zhuǎn)變?yōu)榱旱墓羌芮€

(35)

2.3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

采用有限元方法對(duì)上述理論分析得到的頻響曲線進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。設(shè)梁的參數(shù)為l=1 m，R=0.01 m，ρ=7 850 kg/m3，E=2×1011Pa，S=3.14×10-4m2。簡(jiǎn)諧激勵(lì)的幅值為Fl=1 570.80 N，邊界處的非線性剛度參數(shù)為s1=1.57×104N/m，s3=1.57×106N/m3。將梁離散為100個(gè)單元。在跳頻點(diǎn)附近進(jìn)行正掃頻與負(fù)掃頻，掃頻頻率間隔最小為0.05 Hz。

理論解與有限元方法得到的仿真解，如圖8所示。由圖8可以看出，兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本吻合。

圖8 梁的頻響曲線對(duì)比圖Fig.8 Comparison of the frequency response curve of the beam

3 結(jié) 論

本文以具有非線性剛度邊界的桿梁結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，建立了行波法與分離變量法的聯(lián)系，確定了結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)無(wú)量綱頻率、振幅和反射系數(shù)等參數(shù)之間的關(guān)系，得到了桿梁結(jié)構(gòu)的骨架與頻響曲線。

通過(guò)理論分析與數(shù)值仿真，得到如下結(jié)論：

(1) 應(yīng)用相位閉合原理與分離變量法得到的桿梁的骨架曲線基本一致；但是，在低頻范圍內(nèi)，由于相位閉合原理忽略了近場(chǎng)波的影響，計(jì)算得到的梁結(jié)構(gòu)的骨架曲線與分離變量法的結(jié)果存在一定差異。

(2) 使用有限元方法進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，進(jìn)而對(duì)非線性跳頻現(xiàn)象進(jìn)行了驗(yàn)證。仿真結(jié)果與分離變量法得到的頻響曲線吻合較好。