杠桿式隔振器的理論模型及隔振特性研究

王志豪， 潘俠圭， 武傳宇， 嚴(yán) 博

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動控制學(xué)院，杭州 310018)

機(jī)械振動響應(yīng)已是高、精、尖裝備研發(fā)和先進(jìn)制造領(lǐng)域前沿技術(shù)中的共性問題，也是亟需解決的關(guān)鍵技術(shù)問題。因此，為了降低振動響應(yīng)，隔振[1-5]、吸振[6]、阻尼減振及振動主動控制[7-8]等方式得到廣泛應(yīng)用。此外，也可以通過力電轉(zhuǎn)化機(jī)制，將有害振動轉(zhuǎn)化為電能，供低功耗電子器件使用[9]。

隔振是一種應(yīng)用較為廣泛的可在較寬頻率范圍內(nèi)抑制振動的方式。線性隔振器原理簡單，易于加工，因此，得到了極為廣泛的應(yīng)用。隨著結(jié)構(gòu)輕量化、輕質(zhì)復(fù)合材料的應(yīng)用，系統(tǒng)的固有頻率呈現(xiàn)下降趨勢。傳統(tǒng)線性隔振器需要降低剛度，以滿足隔振帶寬的需要。然而，這也導(dǎo)致了隔振系統(tǒng)靜支撐能力不足，位移響應(yīng)增大。基于以上原因，在過去二十年間，利用非線性特征拓寬隔振帶寬得到廣泛關(guān)注和深入研究。例如，Carrella等[10]利用兩個斜拉彈簧和豎直彈簧構(gòu)建了一種準(zhǔn)零剛度隔振器，極大的提高了隔振帶寬。嚴(yán)博等[11]利用永磁體構(gòu)建了等效負(fù)剛度，實現(xiàn)了大幅值激勵下的高性能隔振。楊凱等[12]提出了適用于空間環(huán)境的非線性消振器結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了空間環(huán)境下航天器結(jié)構(gòu)的振動抑制。目前研究較多的是“三彈簧”結(jié)構(gòu)[13]和一些基于永磁結(jié)構(gòu)的非線性隔振[14-16]。此外，還可以根據(jù)仿生構(gòu)型實現(xiàn)高靜剛度低動剛度隔振，如剪刀型結(jié)構(gòu)[17]，滾球型結(jié)構(gòu)[18]， X形結(jié)構(gòu)[19]，仿骨架結(jié)構(gòu)[20]。但由于強(qiáng)非線性，系統(tǒng)可能產(chǎn)生混沌及跳躍現(xiàn)象，會影響隔振性能[21]。

傳統(tǒng)的線性/非線性隔振器通過增加質(zhì)量、減小剛度或者引入非線性等方法來拓寬隔振帶寬。杠桿結(jié)構(gòu)可通過杠桿效應(yīng)放大質(zhì)量-彈簧組合來產(chǎn)生反共振頻率[22-23]。當(dāng)通過杠桿放大的質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力抵消彈簧力時，會出現(xiàn)反共振。基于此，將杠桿與傳統(tǒng)線性隔振器結(jié)合，用產(chǎn)生的慣性力增大隔振器的質(zhì)量，從而增大了隔振帶寬。Yilmaz等[24]根據(jù)杠桿支點位置設(shè)計了兩種杠桿式反共振隔振器，并進(jìn)行了理論建模。隨后Yilmaz等[25]又討論了多杠桿型反共振隔振器，可實現(xiàn)單自由度系統(tǒng)的最低阻帶頻率。Liu等[26]將混合杠桿嵌入一個X形結(jié)構(gòu)中，結(jié)果表明，該系統(tǒng)可在多頻和隨機(jī)激勵下有很好的隔振性能，并且對低頻區(qū)被動隔振系統(tǒng)的設(shè)計有一定的指導(dǎo)意義。Zang等[27]將杠桿系統(tǒng)加入到非線性能量阱中，結(jié)果表明，杠桿型非線性能量阱在具有相同質(zhì)量、阻尼和非線性剛度情況下性能優(yōu)于常規(guī)非線性能量阱。Yang等[28]研究了杠桿與雙穩(wěn)態(tài)耦合非線性能量收集器，該裝置可提高能量回收性能。

以上研究表明，有效利用杠桿結(jié)構(gòu)可以提高隔振器的隔振性能與隔振帶寬。相比于傳統(tǒng)拓寬隔振帶寬的方法，杠桿結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單，效果可調(diào)，易于加工等優(yōu)點。本文設(shè)計了一種新型杠桿式隔振器，將杠桿結(jié)構(gòu)與隔振器結(jié)合，通過杠桿結(jié)構(gòu)來提高隔振性能與隔振帶寬，并通過研究杠桿自由端質(zhì)量、杠桿比以及非線性阻尼對隔振器隔振性能和隔振帶寬的影響進(jìn)一步揭示了杠桿式隔振器的隔振性能。

1 新型杠桿式隔振器結(jié)構(gòu)

圖1為杠桿式隔振器的3D模型，包括杠桿子結(jié)構(gòu)和質(zhì)量-彈簧-阻尼單元。杠桿子結(jié)構(gòu)通過轉(zhuǎn)動副與負(fù)載板相連，杠桿自由端為一大小可調(diào)節(jié)的配重，中間鉸支座固定在基板上。杠桿可繞轉(zhuǎn)動支點轉(zhuǎn)動，通過調(diào)節(jié)連桿的位置調(diào)節(jié)杠桿比。在軸向使用了4個直線軸承以減小摩擦帶來的影響。

圖1 杠桿式隔振器3D模型Fig.1 Three-dimensional model of lever-type vibration isolator

2 杠桿式隔振器的理論模型

圖2為杠桿式隔振器的簡化模型。圖2中：mu，mb和ml分別為負(fù)載板、杠桿自由端配重及杠桿的質(zhì)量；k為四個線性彈簧剛度的總和；c為系統(tǒng)的等效黏性阻尼；l1和l2分別為負(fù)載板支點和質(zhì)量塊到杠桿轉(zhuǎn)動支點O的水平距離。與螺旋彈簧相比，杠桿的剛度足夠大，因此，本文忽略了杠桿的彈性變形和轉(zhuǎn)動帶來的影響。由圖2可知，杠桿自由端配重的位移zb和負(fù)載板的位移z滿足

zb=-αz

(1)

圖2 杠桿式隔振器簡化模型Fig.2 Simplified model of lever-type vibration isolator

假設(shè)隔振器受到u=U0sin(ωt+θ)的基礎(chǔ)加速度激勵。其中：U0為激勵幅值；ω為激勵頻率。系統(tǒng)的動能為

(2)

記ρl為單位長度的杠桿質(zhì)量，則杠桿的質(zhì)量為

ml=ρll1(1+α)

(3)

考慮到杠桿的轉(zhuǎn)動角度φ=z/l1較小，將式(1)和式(3)代入式(2)，可得

(4)

系統(tǒng)的勢能和非保守力所做的虛功分別為

式中,K是關(guān)于參數(shù)θc的協(xié)方差矩陣,[K]i,j=k(xi,xj)θc,N(z|μ,Σ)表示向量z服從均值為μ,方差為Σ的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

(5)

(6)

因此，根據(jù)拉格朗日方程

(7)

(8)

記

(9)

(10)

式中，M和m分別為慣性耦合項和激勵耦合項，則式(8)可以簡化為

(11)

等式(11)中包括非線性項，可以用諧波平衡法進(jìn)行求解，設(shè)方程的解

z=asin(ωt)+bcos(ωt)

(12)

將等式(12)代入等式(11),忽略高次諧波，可得

(13)

式中，r2=a2+b2。

從中可得

(14)

(15)

則隔振器的總位移為

x=z+u=

u0cos(ωt+θ)+rcos(ωt)

(16)

根據(jù)傳遞關(guān)系，可知系統(tǒng)的位移傳遞函數(shù)為

(17)

3 數(shù)值仿真

本節(jié)著重探討杠桿自由端配重mb、杠桿比α及非線性阻尼對杠桿式隔振器隔振性能的影響規(guī)律。表1為杠桿式隔振器參數(shù)，基于理論建模結(jié)果可計算傳遞率，其中，等效阻尼可由試驗結(jié)果并根據(jù)半功率法獲得。

表1 杠桿式隔振器的參數(shù)

圖3為當(dāng)α=1時的位移傳遞率曲線對比圖，未控制曲線是指隔振器未安裝杠桿子結(jié)構(gòu)，則隔振器為傳統(tǒng)的線性隔振器。mb=0是指隔振器的杠桿子結(jié)構(gòu)未安裝配重。可以看出，通過引入杠桿子結(jié)構(gòu)隔振器的傳遞率降低，峰值頻率左移。當(dāng)mb=0.083 kg時，相比于未控制的傳遞率16.7和固有頻率7.97，傳遞率和固有頻率分別降低到了10.84和6.97，隔振性能提高了35.1%，固有頻率下降了12.5%。可以看出，杠桿式隔振器體現(xiàn)出了良好的隔振特性。圖中陰影面積及之后代表隔振帶，當(dāng)有附加質(zhì)量mb時，起始點逐漸前移，可以看出系統(tǒng)出現(xiàn)了反共振頻率，拓寬了隔振器的隔振帶寬。

圖3 當(dāng)α=1時的位移傳遞率曲線Fig.3 Displacement transmissibility curve when α=1

3.1 杠桿自由端配重mb

圖4為慣性耦合項和激勵耦合項隨mb變化的曲線圖。圖5為當(dāng)α=1時mb對隔振器傳遞率的影響曲線圖。由式(8)～式(11)可知，mb影響系統(tǒng)的慣性耦合項，從而改變系統(tǒng)的傳遞率，隨著mb的增大，系統(tǒng)的峰值頻率和傳遞率減小。由圖4和圖5也可以看出，隨著mb的增大，慣性耦合項M緩慢增大，激勵耦合項m逐漸下降；而系統(tǒng)的峰值頻率前移，傳遞率減小。因此，在一定范圍內(nèi)可通過適當(dāng)增大mb來提高隔振性能與隔振帶寬。

圖4 質(zhì)量隨mb變化的曲線圖Fig.4 Variation of mass with respect to mb

圖5 當(dāng)α=1時不同mb下的傳遞率曲線Fig.5 Transmissibility under different mb when α=1

3.2 杠桿比α

圖6為慣性耦合項和激勵耦合項隨α變化的曲線圖。圖7為當(dāng)mb=0.083 kg時mb對隔振器傳遞率的影響曲線圖。由式(8)～式(11)可知，改變α同樣可以改變系統(tǒng)的慣性耦合項與激勵耦合項，從而改變隔振器的傳遞率。由圖6和圖7可知，與改變mb相反，慣性耦合項M比激勵耦合項m變化更劇烈。杠桿子結(jié)構(gòu)可以降低傳遞率，此外，隨著α的增大，固有頻率逐漸左移。傳統(tǒng)的線性隔振器要達(dá)到這樣的效果只能通過增大質(zhì)量或降低剛度的方式來實現(xiàn)，準(zhǔn)零剛度隔振器則需要引入非線性。然而，本文提出的杠桿式隔振器僅需通過調(diào)節(jié)杠桿比即可達(dá)到所需的隔振性能。

圖6 質(zhì)量隨α變化的曲線圖Fig.6 Variationof mass with respect to α

圖7 當(dāng)mb=0.083 kg時不同杠桿比α下的傳遞率Fig.7 Transmissibility with respect to the lever ratio α when mb=0.083 kg

3.3 非線性阻尼

圖8為隔振器傳遞率隨c0變化的曲線。由式(11)可知，改變c0可以影響阻尼系數(shù)。隨著c0增大，隔振系統(tǒng)的傳遞率不斷降低而峰值頻率和反共振頻率不變。相比于c0的變化，杠桿比與末端質(zhì)量的變化會更有利于減振。

圖8 不同c0下的傳遞率Fig.8 Transmissibility under different c0

圖9為阻尼系數(shù)隨c1變化的曲線。圖10為隔振器傳遞率隨c1變化的曲線。由圖中可以看出，阻尼系數(shù)會隨著c1的變化發(fā)生巨大的變化。但是隨著c1不斷增大，系統(tǒng)的傳遞率會發(fā)生較小的降低，該變化與c0的變化相比可以忽略不計。

圖9 不同c1下的阻尼系數(shù)Fig.9 Damping coefficient under different c1

圖10 不同c1下的傳遞率Fig.10 Displacement under different c1

4 試驗設(shè)計與討論

4.1 試驗系統(tǒng)設(shè)計

圖11為杠桿式隔振器原理樣機(jī)。圖12為試驗裝置及隔振器的照片，其中，杠桿式隔振器的基板固定在激振器。試驗系統(tǒng)由控制器、功率放大器、激振器、計算機(jī)以及兩個加速度傳感器組成。信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦激勵信號經(jīng)控制器傳遞至功率放大器，驅(qū)動激振器。其中，使用兩個加速度傳感器測試隔振器和激勵響應(yīng)，通過兩個加速度傳感器可得到隔振器的傳遞率。試驗掃頻速率為1 Hz/s，其他試驗參數(shù)見表1。

圖11 杠桿式隔振器原理樣機(jī)Fig.11 Prototype of the lever-type vibration isolator

圖12 試驗裝置照片F(xiàn)ig.12 Photograph of experiment setup

4.2 試驗結(jié)果

圖13為測試而來的傳遞率曲線，可知，未控制情況下，隔振器的最大位移傳遞率(T)和峰值頻率(fn)分別為15.81和7.87 Hz。加入杠桿子結(jié)構(gòu)后，最大位移傳遞率降低到13.62，峰值頻率降低到7.60 Hz。在杠桿末端加上質(zhì)量塊后，最大位移傳遞率降低到11.15，隔振效果提高29%，峰值頻率降低到6.98 Hz，峰值頻率降低11%。試驗結(jié)果驗證了杠桿結(jié)構(gòu)可以提高隔振帶寬，并具有良好的隔振性能。

圖13 試驗傳遞率曲線Fig.13 Experimental transmissibility curve

4.2.1 不同mb下的隔振性能

圖14為當(dāng)α=1.5時不同mb下的試驗傳遞率曲線，可知，mb=0.126 kg時隔振器的最大位移傳遞率和峰值頻率分別為5.98和6.03 Hz，相比于mb=0，共振峰值下降了44%，固有頻率降低20%。此外，試驗結(jié)果也證明了隨著mb的增大，固有頻率和最大傳遞率逐漸減小，即隔振帶寬和隔振效果均有所提高，但是，mb的增大也會使隔振器變得笨重，所以應(yīng)合理選擇mb。

圖14 當(dāng)α=1.5時不同mb下的試驗傳遞率曲線Fig.14 Experimental transmissibility under different mbwhen α=1.5

4.2.2 不同α下的隔振性能

圖15為當(dāng)mb=0.083 kg時不同α下的試驗傳遞率曲線，可知，隨著α的增大，隔振器的最大位移傳遞率和共振頻率分別從α=0.75時的11.76和7.24 Hz減小到α=1.50時7.97和6.21 Hz，共振峰值下降了32%，固有頻率降低14%。試驗結(jié)果也驗證了通過改變杠桿比α可以輕松地調(diào)節(jié)隔振器的隔振性能與隔振帶寬，本研究也提供了一種有異于傳統(tǒng)線性或非線性隔振器中提高隔振效果的方法。

圖15 當(dāng)mb=0.083 kg時不同α下的試驗傳遞率曲線Fig.15 Experimental transmissibility under different α when mb=0.083 kg

5 結(jié) 論

(1)本文設(shè)計了一種新型杠桿式隔振器，由杠桿子結(jié)構(gòu)和質(zhì)量-彈簧-阻尼單元組成。建立了杠桿式隔振器的理論模型，基于拉格朗日方程得到了其運(yùn)動微分方程，推導(dǎo)了位移傳遞率表達(dá)式。

(2)研究了杠桿自由端配重、杠桿比及非線性阻尼對隔振器隔振特性的影響規(guī)律，基于此，研制了一種杠桿式隔振器原理樣機(jī)，開展了數(shù)值分析及試驗研究。

(3)研究結(jié)果表明，增大杠桿自由端配重可有效的降低系統(tǒng)固有頻率和共振峰，隨著杠桿比的增大，系統(tǒng)隔振帶寬及隔振性能會進(jìn)一步的提高。增大杠桿橫截面積對隔振器隔振性能影響較小。增大阻尼可有效地降低隔振器傳遞率。本研究對設(shè)計和使用杠桿式隔振器均具有極強(qiáng)的指導(dǎo)意義和參考價值。