基于Melnikov法的雙擺系統(tǒng)混沌特性研究

劉丁楊， 蹇開林,2， 張 亮,2

(1. 重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶 400044；2. 重慶大學(xué) 非均質(zhì)材料力學(xué)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

雙擺系統(tǒng)廣泛的存在于生活與工程中，包括人手腳的運(yùn)動(dòng)、機(jī)械臂、機(jī)械足、高爾夫球手的揮桿、吊車、起重機(jī)、受電弓以及各種各樣的雙擺角主軸頭和旋轉(zhuǎn)雙擺系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化為雙擺模型，因此雙擺的混沌研究具有十分重要的意義[1-9]。雖然雙擺是由兩個(gè)簡(jiǎn)單擺耦合而成的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，但其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)卻表現(xiàn)出極為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，具體表現(xiàn)為第二擺的運(yùn)動(dòng)軌跡雜亂無序。雙擺作為不可積二自由度Hamilton系統(tǒng)，雖然運(yùn)動(dòng)方程可以通過Euler-Lagrange方程得到，但對(duì)運(yùn)動(dòng)混沌性的研究一直沒有什么定論。

凌復(fù)華和徐如進(jìn)通過Birkhoff級(jí)數(shù)形式的正則變換研究系統(tǒng)的可積性，當(dāng)系統(tǒng)處于較低能級(jí)時(shí)，系統(tǒng)是近可積的，其近似積分具有大量代表擬周期解的封閉曲線以及代表周期解的離散點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并非混沌；當(dāng)系統(tǒng)處于較高能級(jí)時(shí)，系統(tǒng)是不可積的，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是混沌的[10]。Martynyuk等[11]通過系統(tǒng)對(duì)稱性喪失判斷出軌跡中出現(xiàn)非周期解，進(jìn)而產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，利用動(dòng)態(tài)對(duì)稱原理分析對(duì)稱性喪失的條件，證明了雙擺質(zhì)量比較大時(shí)，雙擺存在有條件的周期性軌跡和混沌軌跡。Stachowiak等[12]通過Poincaré截面圖研究雙擺，表明隨著能量的增加，雙擺將從周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。Calvao等[13]不僅比較了分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)譜圖、功率譜圖、傅里葉變換圖、時(shí)間歷程圖等不同方法在混沌研究中的優(yōu)缺，而且研究了兩擺初始角度對(duì)雙擺混沌的影響。Mukul等[14]著眼于質(zhì)量比與擺長(zhǎng)比對(duì)混沌的影響，比較不同情況下，雙擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，得到雙擺隨質(zhì)量和長(zhǎng)度的增加而傾向混沌的結(jié)論。Yang等[15-19]鉆研拓?fù)漶R蹄理論，基于拓?fù)漶R蹄的存在條件編寫了一個(gè)MATLAB工具箱Horseshoe Tool；通過相空間“降維-升維”的思想設(shè)計(jì)四維時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)尋找算法，使尋找馬蹄的工作變得簡(jiǎn)單高效；將理論應(yīng)用于雙擺模型，在系統(tǒng)某一能量面的Poincaré截面上選取適當(dāng)?shù)那嫠倪呅危l(fā)現(xiàn)四邊形經(jīng)過Poincaré映射呈馬蹄狀，從而在理論上證明了雙擺系統(tǒng)的混沌性。

上述文獻(xiàn)對(duì)雙擺系統(tǒng)的混沌研究具有重要意義，但大多停留在數(shù)值層面，本文將雙擺的Hamilton系統(tǒng)視為上級(jí)系統(tǒng)，運(yùn)用近似方法得到兩個(gè)下級(jí)的擬Hamilton系統(tǒng)，下級(jí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況較上級(jí)系統(tǒng)更為簡(jiǎn)單，因此下級(jí)系統(tǒng)混沌為雙擺系統(tǒng)混沌的必要條件；應(yīng)用雙自由度的Melnikov法[20-21]構(gòu)建擬Hamilton系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)來分析橫截同宿點(diǎn)的存在條件，立足于能量本身，從理論上找出擬Hamilton系統(tǒng)混沌的能量閾值，從而給出雙擺混沌的必要條件，并用隨參數(shù)變化的最大Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖和Poincaré截面圖驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性；同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了因模型局限而產(chǎn)生的兩種例外情況，并從理論角度對(duì)產(chǎn)生例外的原因進(jìn)行分析。

1 Melnikov方法分析雙擺混沌條件

(1)

圖1 雙擺模型Fig.1 Double pendulum model

對(duì)式(1)中的余弦項(xiàng)cos(θ1-θ2)進(jìn)行放縮處理，取cos(θ1-θ2)/g為ε1；對(duì)cosθ2進(jìn)行泰勒展開，取拉格朗日余項(xiàng)的常數(shù)項(xiàng)cosξ/24(0<ξ<θ2)為ε2，得

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〔設(shè)計(jì)意圖：任務(wù)性的字?jǐn)?shù)要求，無體驗(yàn)式的作文指導(dǎo)，造成了中年級(jí)學(xué)生無話可寫或?qū)懥魉~的通病，這也是學(xué)生的煩惱。由學(xué)生的困惑引出作文訓(xùn)練內(nèi)容，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。〕

2 混沌條件的數(shù)值模擬驗(yàn)證

顯然，初速度不影響能量閾值，雙擺存在初速度時(shí)，閾值不變而系統(tǒng)能量較無初速度時(shí)更大，更有可能超越閾值。為方便討論，本章假定雙擺系統(tǒng)無初速度，此時(shí)H=(m1+m2)gl1(1-cosθ1)+m2gl2(1-cosθ2)，同時(shí)考慮2m2gl2和2(m1+m2)gl1兩個(gè)閾值，有

(8)

本節(jié)從兩方面入手： 一方面以m為自變量，固定參數(shù)l=2/9；另一方面以為自變量，固定參數(shù)m=2；角度參數(shù)按假設(shè)條件選擇，通過最大Lyapunov指數(shù)圖、分岔圖、Poincaré截面圖和時(shí)間歷程圖驗(yàn)證上述假設(shè)，進(jìn)而來證明本文理論。最大Lyapunov指數(shù)屬于定量分析法，是目前判斷系統(tǒng)混沌最可靠的標(biāo)準(zhǔn)之一，當(dāng)最大 Lyapunov指數(shù)大于0，可判斷系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)。分岔圖表示系統(tǒng)狀態(tài)隨分岔參數(shù)變化的規(guī)律，可以得到系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的所對(duì)應(yīng)的參數(shù)區(qū)域。Poincaré截面圖和時(shí)間歷程圖反映某一時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律。

2.1 完全混沌

隨參數(shù)m變化的最大Lyapunov指數(shù)圖如圖2所示，圖2(a)中θ1=60°,θ2=120°；圖2(b)中θ1=150°,θ2=120°。當(dāng)m∈[1.1,16]時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)始終大于0，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)。

圖3為隨參數(shù)l變化的最大Lyapunov指數(shù)圖，圖3(a)、圖3(b)的角度參數(shù)與圖2(a)、圖2(b)一致。當(dāng)l∈[0.1,2]時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)始終大于0，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)。可以發(fā)現(xiàn)：圖2(b)、圖3(b)中的Lyapunov指數(shù)顯然大于圖(a)中的Lyapunov指數(shù)，表明在圖(b)的參數(shù)條件下，系統(tǒng)混沌程度更深；與系統(tǒng)能量增加，系統(tǒng)混沌程度也會(huì)增大的一般結(jié)論相符。

圖2 當(dāng)l=2/9時(shí)，隨參數(shù)m變化的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.2 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter m when l=2/9

圖3 當(dāng)m=2時(shí)，隨參數(shù)l變化的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter l when m=2

2.2 局部擬周期

本節(jié)取參數(shù)θ1=60°,θ2=90°，由本文得到的混沌條件可推測(cè)：若系統(tǒng)l=2/9，在m<3和m>9處必然混沌；若系統(tǒng)m=2，在1/l<1和1/l>3處必然混沌。

圖4為的最大Lyapunov指數(shù)圖。圖4(a)可見：當(dāng)m<3時(shí)，系統(tǒng)雖然處于混沌運(yùn)動(dòng)，但最大Lyapunov指數(shù)逐漸下降，最終趨近于0； 當(dāng)m>9時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)大于0，且緩慢上升，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。圖4(b)為圖4(a)中m∈[3,9]的放大圖，圖中大部分?jǐn)?shù)值低于0.005，卻很少為0，有一些甚至為負(fù)數(shù)，而對(duì)于Hamilton系統(tǒng)，Lyapunov指數(shù)的和為0[22]，可以推測(cè)最大Lyapunov指數(shù)應(yīng)始終大于等于0。可見Lyapunov指數(shù)終究是通過數(shù)值方法計(jì)算得出，不可避免的存在一些誤差，無法很好判斷擬周期狀態(tài)，因而需要引入分岔圖、Poincaré截面圖和時(shí)間歷程圖來說明。

圖4 當(dāng)θ1=60°,θ2=90°,l=2/9時(shí)，隨參數(shù)m變化的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.4 The graph of the largest Lyapunov exponent that varies with the parameter m when θ1=60°,θ2=90°,l=2/9

圖5為分岔圖，圖5(a)以為分岔參數(shù)，圖5(b)以1/l為分岔參數(shù)，描述了系統(tǒng)從混沌態(tài)到擬周期態(tài)再到混沌態(tài)的轉(zhuǎn)變，系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的所對(duì)應(yīng)的參數(shù)區(qū)域滿足理論推導(dǎo)結(jié)果。

圖5 當(dāng)θ1=60°,θ2=90°時(shí)，以m和1/l為分岔參數(shù)的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram with m and 1/l as bifurcation parameter when θ1=60°,θ2=90°

圖6為Poincaré截面圖，可見：圖6(a)、圖6(c)、圖6(d)、圖6(f)中存在明顯的片狀區(qū)域，周邊還有一些的離散截點(diǎn)，表明在相應(yīng)參數(shù)條件下，系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)；圖6(b)、圖6(e)圖中存在有限個(gè)封閉曲線狀和直線狀的點(diǎn)集，表明在相應(yīng)參數(shù)條件下，系統(tǒng)為擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖6 當(dāng)θ1=60°,θ2=90°時(shí)，Poincaré的截面圖Fig.6 Poincaré section when θ1=60°,θ2=90°

圖7為時(shí)間歷程圖，可見系統(tǒng)在圖7(a)、圖7(c)、圖7(d)、圖7(f)圖的參數(shù)條件下，響應(yīng)混亂、不規(guī)則、無周期；圖7(b)、圖7(e)圖的參數(shù)條件下，系統(tǒng)響應(yīng)平穩(wěn)、規(guī)律且具有一定周期。圖6、圖7表明系統(tǒng)在推測(cè)區(qū)域確為混沌運(yùn)動(dòng)，且在某些區(qū)域存在擬周期運(yùn)動(dòng)，驗(yàn)證了理論的正確性。

圖7 當(dāng)θ1=60°,θ2=90°時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.7 The graph of time series when θ1=60°,θ2=90°

(m1,m2,l1,l2)4個(gè)物理量同時(shí)影響能量與閾值，因此不能簡(jiǎn)單通過能量大小判斷系統(tǒng)狀態(tài)。若m2為定值1，則m=1+m1；若其余參數(shù)條件相同，則m1的大小將決定系統(tǒng)能量的大小，圖4～圖7顯示：當(dāng)m=2時(shí)系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； 當(dāng)m=6時(shí)系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可見即便系統(tǒng)能量較低，也有可能產(chǎn)生混沌。

3 模型局限性分析

該結(jié)論雖然能處理絕大多數(shù)情況，但在數(shù)值模擬中依然可以發(fā)現(xiàn)兩種例外情況。下面分別對(duì)兩種情況進(jìn)行分析。

3.1 θ1≈θ2

Calvao等通過各種數(shù)值方法，研究了在無初速度，m=2,l=1,θ1=θ2的參數(shù)條件下的系統(tǒng)狀態(tài)，得到系統(tǒng)混沌閾值為θ1≥80°，而通過本文理論得到的閾值為θ1≥70.5°，相差了約10°。

3.2 l2?l1或l1?l2

若m較大，在l1?l2的情況下，系統(tǒng)的能量主要集中在第一擺上，第二擺對(duì)系統(tǒng)的影響極為有限；而在l2?l1的情況下，兩擺間難以相互影響，與其說兩擺耦合在一起，不如說一個(gè)單擺系統(tǒng)加上第二擺產(chǎn)生的微小擾動(dòng)。因此，上述兩條件下，系統(tǒng)在參數(shù)m較大的區(qū)域進(jìn)行擬周期運(yùn)動(dòng)，而非混沌運(yùn)動(dòng)。本節(jié)取固定參數(shù)θ1=60°,θ2=90°，圖8(a)是l=1/9的分岔圖，圖8(b)為l=9時(shí)的分岔圖。

圖8 當(dāng)θ1=60°,θ2=90°時(shí)，以m為分岔參數(shù)的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram with m as bifurcation parameter when θ1=60°,θ2=90°

圖8體現(xiàn)出系統(tǒng)從混沌態(tài)到擬周期態(tài)的轉(zhuǎn)變。對(duì)比圖8(a)、圖8(b)可知，兩種情況下系統(tǒng)有著相似的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。雖然具體參數(shù)有所差異，但隨著參數(shù)m增加，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)階段：第一階段，分岔圖顯示完全離散的點(diǎn)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，與理論相符；第二階段，離散的點(diǎn)逐漸組成模糊的線，此時(shí)m2較大，雖然第二擺可以當(dāng)作微小擾動(dòng)，但依然可以影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；第三階段，圖中顯示清晰的線相互交錯(cuò)，此時(shí)m2足夠小，第二擺作為微小擾動(dòng)已不能影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)無法重回混沌狀態(tài)。當(dāng)m=50時(shí)系統(tǒng)能量遠(yuǎn)超閾值，卻處于擬周期狀態(tài)，可見系統(tǒng)處于較高能級(jí)時(shí)，也有可能不產(chǎn)生混沌。

4 結(jié) 論

(1) 本文研究了雙擺的混沌運(yùn)動(dòng)，建立了雙擺運(yùn)動(dòng)的擬Hamilton模型，根據(jù)雙自由度的Melnikov法提出擬Hamilton系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的能量閾值，雖然因模型局限產(chǎn)生了兩種例外情況，但在一般情況中，得到Hamilton系統(tǒng)混沌的必要條件。

(2) 研究表明閾值大小與擺長(zhǎng)、擺重密切相關(guān)，而擺長(zhǎng)、擺重又影響能量大小，意味著其他參數(shù)相同的條件下，初速度越大的系統(tǒng)越可能超越閾值，進(jìn)行混沌運(yùn)動(dòng)；對(duì)無初速度雙擺系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到了與必要條件等價(jià)的兩個(gè)公式，運(yùn)用數(shù)值方法驗(yàn)證其正確性。

(3) 詳細(xì)討論了混沌運(yùn)動(dòng)和能量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)即便系統(tǒng)能量較低，也有可能產(chǎn)生混沌；利用理論與數(shù)值相結(jié)合的方法解釋結(jié)論的局限性，發(fā)現(xiàn)某些極端情況下即便能量遠(yuǎn)超閾值，也有可能不產(chǎn)生混沌。可見，能量與系統(tǒng)混沌之間存在復(fù)雜的聯(lián)系，而不是一般認(rèn)為的“低能級(jí)擬周期、高能級(jí)混沌”這么簡(jiǎn)單。