等幾何分析細化收斂性研究

謝宇洋，卜寧遠

(上海理工大學機械工程學院，上海 200093)

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1 引言(Introduction)

現階段各個領域的物理性能研究大多根據有限元分析(FEM)軟件仿真計算，如溫度、變形和應力等性能。有限元方法在實現分析優化時，CAD數據與CAE數據的相互轉換會造成模型數據特征丟失，同時點的離散性會導致優化模型的邊界曲線外輪廓無法精確表達。在產品的研發中沒有設計方法可滿足從設計到分析在同一個模型數據下進行，而等幾何方法的提出則滿足了CAD模型和CAE模型的統一表達和計算。

等幾何分析(IGA)是HUGHES等人基于等參單元思想提出的分析方法，它提供了計算的可能性，將分析方法集成到計算機輔助設計(CAD)工具中。等幾何模型都是由非均勻有理B樣條(NURBS)參數化表示的，其幾何模型與分析模型不需要轉化，避免了模型數據轉換誤差，其好處是從設計到分析所花費的時間減少，從而節省了工業生產中的時間成本。在等幾何分析中，CAD和CAE的緊密耦合需要這兩個領域的知識，即計算幾何和計算力學，可以解決有限元優化中邊界運動所導致的模型邊界不規則、網格扭曲等問題，目前已應用于板殼分析、流體力學、接觸分析、優化設計、電磁場等。

本文介紹了等幾何分析的理論，使用體參數化造型方法生成三維幾何模型。最后，通過與有限元方法的變形和應力分布等分析結果對比驗證等幾何分析算法的正確性，以及計算結果的收斂性差異。

2 幾何模型構建(Geometric modeling)

2.1 NURBS曲面

NURBS曲面的定義：

2.2 多片分析模型

同理，NURBS實體表達式定義為：

各參數所代表的含義同NURBS曲面定義的參數。

NURBS實體基函數表達式為：

圖1 圓筒幾何模型圖Fig.1 Cylinder geometry model diagram

3 等幾何分析理論(Theory of isogeometric analysis)

3.1 等參思想

在CAD中，實體實際上只是邊界的表面，而不是內部的建模，而在FEM中是一個三維實體，因此從CAD實體到FEM實體的過渡需要一個CAD的步驟邊界表示法轉化為有限元實體表示法。在實際應用中，很多情況下幾何模型比較復雜，此時選用曲邊單元代替直邊單元來進行幾何域的逼近。為了積分求解的簡便，要在規整單元域中進行，必須在規整單元域和曲邊單元域之間建立參數映射，稱之為參數域和物理域之間的參數變換，即為等參變換，單元為等參單元。

在等幾何分析中，需要用到兩級映射，第一是母單元到參數空間映射，第二是參數空間到物理域映射。

母單元到參數空間映射公式：

參數空間到物理域映射公式：

雅可比矩陣行列式公式：

3.2 線彈性力學分析

式中，左端為等效力，為剛度矩陣，為控制點位移。其中，在等幾何分析中的單元剛度K和矩陣的表達式為：

3.3 等幾何分析流程

(1)針對復雜幾何模型無法直接進行整體網格劃分的特點，采用剪裁操作或劃分子域。

(2)在各個子域內進行體參數化處理。利用NURBS建模技術，通過表面控制點的體參數化得到內部控制點，然后根據網格評判標準對控制點網格進行優化，最后得到可用于分析的控制點網格模型。

(3)選擇合適的網格細分策略進行模型網格細分操作，以提高分析的結果精度，可以對關鍵受力點進行局部細分操作。

(4)進行單元剛度矩陣的列式求解，選用合適的高斯積分點，引入等參概念，將位移、應力等要求解的未知量表示為與幾何模型相同的基函數表達形式。

(5)根據FEM中對號入座裝配原則，將單元剛度矩陣組裝成總體剛度矩陣。

(6)將實際載荷與約束進行等效，轉移到控制點上，對總體剛度矩陣形成的方程組進行求解，然后求出控制點位移的值，進而求出其他未知變量的值。

(7)分析完成后，顯示各種結果云圖，并進行相應后處理。

等幾何分析流程圖如圖2所示。

圖2 等幾何分析流程圖Fig.2 Flow chart of IGA

4 數值結果對比(Comparison of numerical results)

接下來根據前述等幾何分析理論，通過編程實現結構的靜力學分析，以證明該方法的正確性。梁結構在工程中應用廣泛，在機械、土木行業的大規模承載結構和電子元件等微結構設計中發揮著重要作用。梁結構采用有限元方法進行仿真分析時，需要將幾何模型剖分為網格模型，對曲梁結構采用以直代曲的方式生成有限元模型，這個過程中引入了幾何誤差，用等幾何分析方法保證邊界曲面模型精度，對其進行仿真提高計算精度。在下述算例中，變量均采用國際單位制，長度的單位采用m，力的單位采用N，應力和彈性模量的單位采用Pa。梁模型尺寸如圖3所示，梁左側邊完全固定，右側施加力44,480 N。模型的材料屬性楊氏模量和泊松比分別設為2.1018E10 Pa和0.3。

圖3 梁模型邊界示意圖Fig.3 Boundary diagram of beam model

等幾何分析結果圖如圖4(a)所示，K細化兩次后的結果如圖4(c)所示，在相同材料屬性和約束載荷的工況下有限元分析結果如圖4(d)所示。基于等幾何分析的三維懸臂梁算例與有限元結果對比，從位移對和應力對比的結果看出分布基本一致。

圖4 梁分析結果Fig.4 Beam analysis results

分析位移收斂曲線如圖5(a)所示，應力收斂曲線如圖5(b)所示，等幾何分析使用更少的單元數細化兩次結果收斂。

圖5 梁細化收斂曲線Fig.5 The refined convergence curve of the beam

根據表1的數據顯示，IGA算法分析結果和FEM分析軟件對比結果誤差很小，其中位移誤差為3.8%，應力誤差為0.25%，僅使用單片幾何模型結果已接近真值，使用多片模型分析時其收斂速度更快。這驗證了三維等幾何分析算法的正確性，使用等幾何分析算法保證了模型的高階連續，提高了邊界的精度，且不需要劃分很多網格。根據表2中IGA和FEM的節點數與單元數大小可以看出，有限元分析的剛度矩陣明顯比等幾何分析的剛度矩陣規模大，計算量更加煩瑣，因此等幾何分析的計算效率高。

表1 數值精度誤差Tab.1 Numerical accuracy error

表2 結果細化收斂對比Tab.2 Comparison of results refinement convergence

5 結論(Conclusion)

等幾何分析采用描述幾何形狀的NURBS函數作為基函數，具有幾何精確特性，且離散的幾何形狀不隨單元的稀疏而改變，這意味著即使是比較稀疏的網格劃分，也能精確描述研究對象的幾何形狀，具有很高的數值精度。NURBS本身就具有網格，一個NURBS實體包含若干個NURBS單元，分析時這些單元成為精確描述幾何形狀的實體單元。NURBS單元也可以細分，基函數的次數也可提高，保證了模型的光滑，計算結果更加精確。等幾何分析在設計分析優化中也具有很大的優勢，使用NURBS曲線來擬合模型外輪廓以保證邊界精度，將控制點坐標作為設計變量進行迭代優化，完成形狀優化，有效減少優化中設計變量的數目來提高優化效率。在優化后采用等幾何分析算法分析體參數化后的三維模型，避免模型數據轉化，提高力學分析的計算效率和精度。

等幾何分析同時存在一定的局限性，一方面，對模型單元的剖分以及模型質量要求高，一些不規則圖形如點陣材料等還無法通過簡單的掃描、拉伸、旋轉、放樣等體參數化映射方法得到，一些細微的特征如倒角、圓角和小孔等也無法完全保留;另一方面，使用直接和迭代線性代數方程解算器直接解算，對于剖面結構及殼結構通常比迭代的對角預處理共軛梯度解算更有效。但是對于NURBS實體來說，為保證收斂，細化模型多次后雖然網格精細，卻無法直接用求解器計算，因為超出內存，元素的長寬比非常大，求解的方程數量也大。研究等幾何分析后續需要對數值計算算法進行更深入的研究，保證在提高精度的同時計算速度快。