基于聯(lián)合小波域深度學(xué)習(xí)的地震數(shù)據(jù)規(guī)則化方法

張 巖 李 杰 王 斌 李新月 董宏麗

(①東北石油大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，黑龍江大慶 163318；②東北石油大學(xué)人工智能能源研究院，黑龍江大慶 163318；③黑龍江省網(wǎng)絡(luò)化與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江大慶 163318)

0 引言

在理想情況下，地震數(shù)據(jù)的采樣規(guī)則且密集。但是，受復(fù)雜地表、地下地質(zhì)條件、采集因素等的影響，易出現(xiàn)空間采樣不足、地震數(shù)據(jù)缺失等不規(guī)則的問題，影響后續(xù)地震資料的處理、解釋結(jié)果，因此地震缺失數(shù)據(jù)的規(guī)則化重建非常重要。

從二十世紀(jì)八十年代起，學(xué)者們就開始研究地震數(shù)據(jù)規(guī)則化重建方法[1]。目前常用的方法大致分為兩類：一類是基于傳統(tǒng)模型；另一類是基于深度學(xué)習(xí)。

基于傳統(tǒng)模型的地震數(shù)據(jù)規(guī)則化方法主要分為五種，即：①基于相干傾角插值的方法[2-4]，通過掃描時(shí)空窗內(nèi)同相軸的傾角，然后沿著若干個(gè)傾角方向通過加權(quán)和的形式產(chǎn)生內(nèi)插的地震道。此類方法處理過程復(fù)雜且易受噪聲干擾，難以應(yīng)用到實(shí)際場(chǎng)景中。②基于變換域的方法，利用地震數(shù)據(jù)在某個(gè)變換域的稀疏性進(jìn)行重建[5-10]，如利用Fourier變換[6]、Con-tourlet變換[7]、Ridgelet變換[8]、Curvelet變換[9]、快速離散曲波變換(Fast Discrete Curvelet Transform，F(xiàn)DCT)算法[10]等，可以較好地進(jìn)行地震數(shù)據(jù)規(guī)則化。③基于波場(chǎng)延拓算子的方法[11-13]，把缺失道作為零道，結(jié)合波動(dòng)方程部分偏移對(duì)疊前地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。該類方法可將傾角時(shí)差處理(Dip-Moveout Processing，DMO)與反DMO相結(jié)合實(shí)現(xiàn)地震數(shù)據(jù)重建，但在地質(zhì)信息缺失的情況下，存在重建精度低和運(yùn)算量大的缺點(diǎn)。④基于濾波器的方法[14-16]，通過褶積插值濾波器實(shí)現(xiàn)不規(guī)則數(shù)據(jù)重建，通常把某類插值濾波器應(yīng)用于待規(guī)則化的數(shù)據(jù)，進(jìn)行褶積操作。此類方法往往具有較高的計(jì)算復(fù)雜度。⑤基于壓縮感知(Compressed Sensing，CS)[17-21]的規(guī)則化技術(shù)，將不規(guī)則地震數(shù)據(jù)作為完整地震數(shù)據(jù)的少量信號(hào)投影值，在處理端通過稀疏性約束正則化方法實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的近似重建，從而突破奈奎斯特采樣定理的瓶頸。上述方法共同的問題是所建立的復(fù)雜模型通常求解困難，且僅適用于某個(gè)特定情況，模型的泛化能力較差。此外，部分模型在缺少地震數(shù)據(jù)先驗(yàn)知識(shí)(如偏移速度、均方根速度、疊加速度等)的情況下，地震數(shù)據(jù)規(guī)則化處理的質(zhì)量會(huì)受到影響。

近年來，深度學(xué)習(xí)理論與方法逐漸用于地震數(shù)據(jù)重建。基本原理是通過學(xué)習(xí)大量的地震數(shù)據(jù)樣本，得到目標(biāo)區(qū)塊地震數(shù)據(jù)分布特征的非線性映射函數(shù)，預(yù)測(cè)相應(yīng)位置上缺失地震道的實(shí)際值，以達(dá)到恢復(fù)數(shù)據(jù)中缺失道、規(guī)則化地震數(shù)據(jù)的目的。常見的深度學(xué)習(xí)重建規(guī)則化地震數(shù)據(jù)的方法包括卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Convolutional Neural Networks, CNN)、生成對(duì)抗神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Generative Adversarial Networks，GAN)和自編碼器(Auto-Encoder, AE)三類。其中：①基于CNN的規(guī)則化方法中，Wang等[22]提出了一種基于ResNets網(wǎng)絡(luò)的地震資料插值算法，在網(wǎng)絡(luò)層數(shù)較深時(shí)效果較好，但需要事先對(duì)缺失的數(shù)據(jù)做預(yù)插值處理；Wang等[23]提出利用格林函數(shù)的空間互易性重建數(shù)據(jù)，降低了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過程中對(duì)樣本多樣性的依賴，但同樣需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)輸入的地震數(shù)據(jù)缺失部分做預(yù)插值；高靜懷等[24]通過交替迭代求解地震數(shù)據(jù)重建的最小二乘法問題和預(yù)訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建，同樣需要在迭代初始以及輸入網(wǎng)絡(luò)前對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。王鈺清等[25]提出了一種基于數(shù)據(jù)生成和增廣的CNN，可用于小樣本的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。②基于GAN的規(guī)則化方法中，Chang等[26]等提出了一種基于GAN的地震數(shù)據(jù)插值重建技術(shù)；Oliveira等[27]利用GAN對(duì)疊后地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。這兩種方法均取得了較好的效果，但GAN網(wǎng)絡(luò)主要存在的問題是訓(xùn)練過程不穩(wěn)定，結(jié)果收斂困難。③基于AE的規(guī)則化方法中，鄭浩等[28]利用卷積AE，學(xué)習(xí)完全采樣地震數(shù)據(jù)與缺失重建數(shù)據(jù)的映射關(guān)系，通過殘差學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)缺失數(shù)據(jù)并進(jìn)行重建輸出，在測(cè)試模型上取得了較好的效果；Jia等[29]利用支持向量機(jī)重建規(guī)則欠采樣的地震數(shù)據(jù)，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行預(yù)插值；宋輝等[30]提出了一種基于卷積降噪AE，可以對(duì)地震數(shù)據(jù)以無監(jiān)督的方式去噪。

上述深度學(xué)習(xí)規(guī)則化地震數(shù)據(jù)重建方法利用樣本數(shù)據(jù)時(shí)域均方誤差(Mean Square Error，MSE)信息損失作為約束，通過網(wǎng)絡(luò)輸出的規(guī)則化數(shù)據(jù)逼近實(shí)際完全采樣的地震數(shù)據(jù)，可以達(dá)到較好的信噪比評(píng)價(jià)結(jié)果。Zhu等[31]考慮頻域特征的提取，利用短時(shí)Fourier變換將時(shí)域的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到頻域，將實(shí)部和虛部傳入CNN，通過逆變換得到時(shí)域的重建地震數(shù)據(jù)。此方法可以在頻域上消除混疊效應(yīng)，但在能量較弱區(qū)域效果不理想。基于深度學(xué)習(xí)的方法不需要建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，相對(duì)于傳統(tǒng)的基于模型的方法，它能得到數(shù)據(jù)深層的特征信息，在缺少地下介質(zhì)先驗(yàn)知識(shí)的條件下也可以取得較好的效果。但是，目前基于深度學(xué)習(xí)的方法還存在一些問題：①通常只關(guān)注地震數(shù)據(jù)單一域特征信息的提取，未挖掘數(shù)據(jù)聯(lián)合域的特征信息；②在時(shí)域上重建地震數(shù)據(jù)的方法容易出現(xiàn)細(xì)節(jié)模糊或過于平滑的現(xiàn)象，丟失紋理信息，影響后續(xù)地震數(shù)據(jù)的解釋；反之，若僅關(guān)注頻域的特征信息，在地震數(shù)據(jù)能量較弱的區(qū)域重建的數(shù)據(jù)質(zhì)量較差，無法反映實(shí)際的數(shù)據(jù)特征。

小波具有多尺度分析、多方向性的特點(diǎn)，在圖像恢復(fù)領(lǐng)域取得了較好的效果。Anbarjafari等[32]提出了利用小波變換將圖像從頻域分解為平滑子圖與細(xì)節(jié)子圖的方法，并利用細(xì)節(jié)子圖輔助恢復(fù)高質(zhì)量的圖像；Gao等[33]提出了一種混合小波的卷積網(wǎng)絡(luò)，將輸入數(shù)據(jù)分解成稀疏特征圖譜，然后用另一個(gè)卷積網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行稀疏編碼、恢復(fù)圖像；張巖等[34]考慮其他物理約束信息，提出了一種聯(lián)合傅里葉域的去噪CNN，取得了較好的紋理保持效果和較高的信噪比；Wang等[35]引入阻抗域的損失，提出了一種基于閉環(huán)CNN測(cè)井約束地震反演方法，應(yīng)用于真實(shí)地震數(shù)據(jù)，獲得了較好的效果。

據(jù)此，本文提出基于聯(lián)合小波域深度學(xué)習(xí)的地震數(shù)據(jù)規(guī)則化方法。首先，建立聯(lián)合深度CNN學(xué)習(xí)地震數(shù)據(jù)在時(shí)域與小波域的分布特征，得到規(guī)則化數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)模型，將不規(guī)則地震數(shù)據(jù)的重建轉(zhuǎn)化為CNN小波系數(shù)的預(yù)測(cè)；其次，設(shè)置結(jié)合時(shí)域與小波域的損失函數(shù)，通過地震數(shù)據(jù)的整體特征和局部細(xì)節(jié)信息約束網(wǎng)絡(luò)模型，調(diào)節(jié)聯(lián)合損失函數(shù)的平衡系數(shù)以調(diào)整網(wǎng)絡(luò)模型學(xué)習(xí)的注意力。模型測(cè)試和實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用均表明，該方法具有很好的細(xì)節(jié)保持效果，更具魯棒性。

1 方法原理

1.1 不規(guī)則地震數(shù)據(jù)重建模型

假設(shè)完整的地震數(shù)據(jù)為x。實(shí)際上，在缺道或稀疏采樣等條件下，采集到的不規(guī)則地震數(shù)據(jù)y可以表示為

y=Rx

(1)

式中R為采樣矩陣，表示從M道地震數(shù)據(jù)中采樣得到M1道(M>M1)。基于深度學(xué)習(xí)的地震數(shù)據(jù)規(guī)則化重建過程，就是通過學(xué)習(xí)樣本特征從y中重建得到完全采樣地震數(shù)據(jù)的近似估計(jì)x′(x′≈x)，利用多次迭代使訓(xùn)練結(jié)果趨于穩(wěn)定，并逐漸逼近x。

1.2 基于小波變換的地震數(shù)據(jù)規(guī)則化

以樣本x作為時(shí)域的標(biāo)簽。通過濾波器組對(duì)x進(jìn)行二維小波分解，即

(2)

式中：hψ為低通濾波器；hφ為高通濾波器；下標(biāo)中的“-”表示卷積操作中的翻轉(zhuǎn)操作；⊕表示卷積運(yùn)算；j=0,1,2,…,J-1，J為最大尺度因子；m=n=0,1,2,…,2j-1；A、V、H和D分別表示低頻分量、水平高頻分量、垂直高頻分量和對(duì)角高頻分量，對(duì)應(yīng)小波域的標(biāo)簽C=(C1,C2,C3,C4)。

以y作為網(wǎng)絡(luò)輸入，利用網(wǎng)絡(luò)G訓(xùn)練得到各頻率分量的小波系數(shù)

(3)

式中：GA、GV、GH、GD分別為低頻分量、水平高頻分量、垂直高頻分量、對(duì)角高頻分量對(duì)應(yīng)的映射；A′、V′、H′、D′分別表示為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練所得小波系數(shù)不同方向低頻分量、水平高頻分量、垂直高頻分量、對(duì)角高頻分量，對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的預(yù)測(cè)小波系數(shù)C′=(C′1,C′2,C′3,C′4)。

小波反變換后得到重建時(shí)域數(shù)據(jù)x′。聯(lián)合計(jì)算時(shí)域與小波域的誤差，設(shè)置全局損失函數(shù)ltotal作為約束，并通過正向傳遞和反向傳播調(diào)整網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。經(jīng)過多次迭代，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果趨于穩(wěn)定，得到最終網(wǎng)絡(luò)模型，將地震數(shù)據(jù)規(guī)則化問題轉(zhuǎn)化為小波系數(shù)預(yù)測(cè)問題。

損失函數(shù)采用在數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)處x與x′的均方誤差，即

(4)

1.3 小波域特征提取

地震數(shù)據(jù)的波前信息在時(shí)域上表現(xiàn)為復(fù)雜的紋理狀曲線，盡管多層CNN具有較強(qiáng)的特征提取能力，但僅利用時(shí)域信息提取特征時(shí)具有很大的局限性。小波變換通過縮、放母小波的寬度獲取信號(hào)的頻率特征，平移小波基獲取信號(hào)的時(shí)間信息[36]。信號(hào)的小波變換相當(dāng)于利用母小波的縮、放和小波基的平移，并與原始信號(hào)卷積，得到小波系數(shù)(圖1)。

圖1 小波變換示意圖

選擇haar小波作為小波基，根據(jù)二維快速小波變換(Fast Wavelet Transform，F(xiàn)WT)[37]計(jì)算haar小波系數(shù)，圖2為地震數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解的實(shí)例。由小波變換的系數(shù)分布特性可知，低頻小波系數(shù)的預(yù)測(cè)可以保留地震數(shù)據(jù)全局的主要特征信息，高頻小波系數(shù)的預(yù)測(cè)有利于地震數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)的恢復(fù)。

圖2 時(shí)域(a)與小波域(b)地震數(shù)據(jù)對(duì)比

為了充分利用小波域的特征，本文設(shè)計(jì)了小波預(yù)測(cè)損失和紋理損失兩種損失函數(shù)。前者是小波域均方誤差的加權(quán)形式，定義為

(5)

式中：λk是平衡不同小波子帶重要性的權(quán)重系數(shù)；n為小波系數(shù)分量數(shù)。賦予高頻系數(shù)較大的權(quán)重，可以將訓(xùn)練注意力集中在局部高頻細(xì)節(jié)重建上，生成細(xì)節(jié)效果較好的規(guī)則化地震數(shù)據(jù)。為了防止過擬合導(dǎo)致高頻小波系數(shù)收斂到0，定義紋理損失為

(6)

式中：q為約束高頻小波系數(shù)的初始子帶序號(hào)，本文采用一級(jí)小波分解，生成的低頻分量子帶保留數(shù)據(jù)主要信息分量，其余三個(gè)子帶為不同方向的高頻分量；γk、α和ε均為平衡系數(shù)，其中γk為各高頻分量的權(quán)重，α略大于1，ε略大于0。ε保證了ltexture不為0，從而使高頻小波系數(shù)非零，防止小波高頻系數(shù)訓(xùn)練過擬合。

1.4 聯(lián)合小波域深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的聯(lián)合學(xué)習(xí)CNN模型G如圖3 所示，由嵌入層網(wǎng)絡(luò)、小波系數(shù)預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)和聯(lián)合損失計(jì)算3個(gè)子網(wǎng)組成。

圖3 網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)

1.4.1 嵌入層網(wǎng)絡(luò)

不規(guī)則的地震數(shù)據(jù)輸入嵌入層網(wǎng)絡(luò)后，經(jīng)過多層卷積特征提取，將得到的特征圖譜傳遞給后續(xù)網(wǎng)絡(luò)。輸入的不規(guī)則地震數(shù)據(jù)尺寸為128×128，嵌入層網(wǎng)絡(luò)的所有卷積核尺寸均為3×3，步長(zhǎng)為1。通過補(bǔ)“0”操作使特征圖譜尺寸與輸入數(shù)據(jù)相同。卷積后的特征圖譜經(jīng)過歸一化和激活函數(shù)，再進(jìn)入下一層操作。卷積層、歸一化層和激活函數(shù)構(gòu)成一個(gè)殘差塊，前、后殘差塊之間設(shè)置殘差連接，可以加速收斂和防止梯度消失。每層卷積核的數(shù)量沿前向遞增，分別是128、256、512、1024，為小波系數(shù)預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)提供足夠的特征信息。

1.4.2 小波系數(shù)預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)

小波系數(shù)預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)由4個(gè)獨(dú)立的并行子網(wǎng)絡(luò)組成，它利用嵌入層網(wǎng)絡(luò)提取的特征圖譜學(xué)習(xí)、預(yù)測(cè)不同頻率分量的小波系數(shù)。地震數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的曲線紋理特征。以一級(jí)小波分解為例，將小波預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)分成4個(gè)獨(dú)立的小波預(yù)測(cè)子網(wǎng)絡(luò)；再通過CNN單獨(dú)處理對(duì)應(yīng)方向子帶的小波系數(shù)，重建規(guī)則化的地震數(shù)據(jù)。每層網(wǎng)絡(luò)的卷積核的尺寸為3×3，步長(zhǎng)為1，網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的小波系數(shù)尺寸與不規(guī)則地震數(shù)據(jù)輸入的尺寸相同。由于每個(gè)子網(wǎng)預(yù)測(cè)的小波系數(shù)相對(duì)獨(dú)立，因此網(wǎng)絡(luò)更具魯棒性。

1.4.3 聯(lián)合損失計(jì)算

聯(lián)合損失計(jì)算是對(duì)地震數(shù)據(jù)小波域和時(shí)域的損失進(jìn)行評(píng)價(jià)。網(wǎng)絡(luò)將各個(gè)獨(dú)立小波預(yù)測(cè)子網(wǎng)的小波系數(shù)反變換為時(shí)域的規(guī)則化地震數(shù)據(jù)，使其與完全采樣的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比、計(jì)算損失，再反向傳遞到網(wǎng)絡(luò)中，從而更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù)權(quán)重。

1.5 聯(lián)合損失函數(shù)

網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)合損失函數(shù)由三部分組成，即全局信息預(yù)測(cè)損失、小波系數(shù)預(yù)測(cè)損失和紋理細(xì)節(jié)預(yù)測(cè)損失。其中，全局信息損失是計(jì)算重建的時(shí)域規(guī)則化地震數(shù)據(jù)與完全采樣地震數(shù)據(jù)之間的損失，以均方誤差作為約束條件；小波系數(shù)預(yù)測(cè)損失是利用完全采樣地震數(shù)據(jù)的小波系數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)子網(wǎng)得到的小波系數(shù)施加約束；紋理細(xì)節(jié)預(yù)測(cè)損失是計(jì)算輸入數(shù)據(jù)與標(biāo)簽之間小波變換高頻分量的誤差，加強(qiáng)此部分的約束可改善地震數(shù)據(jù)規(guī)則化的紋理細(xì)節(jié)效果。

設(shè)空間域的均方誤差為全局損失lfull，聯(lián)合誤差函數(shù)為

ltotal=lwavelet+μltexture+νlfull

(7)

式中μ和ν是平衡參數(shù)，可根據(jù)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練目標(biāo)的側(cè)重點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，以改變網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的注意力。

由于小波系數(shù)與不規(guī)則的地震數(shù)據(jù)輸入尺寸相同，因此通過CNN可使每個(gè)特征圖譜的大小保持一致，可以降低訓(xùn)練難度、兼顧地震數(shù)據(jù)的全局拓?fù)湫畔⒑图y理細(xì)節(jié)信息。

2 模型測(cè)試

2.1 參數(shù)設(shè)置

選擇Marmousi模型測(cè)試本文方法。震源和檢波器置于地表，通過中間放炮、兩端接收的方式進(jìn)行正演獲取地震道集數(shù)據(jù)，檢波器采樣間隔為4ms，道間距為10m。完全采樣實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)裁剪尺寸為128×128的切片數(shù)據(jù)x，作為訓(xùn)練樣本時(shí)域標(biāo)簽。從完整地震數(shù)據(jù)抽取比例為r的地震道作為不規(guī)則的地震數(shù)據(jù)樣本，其他道為空道，分別以隨機(jī)抽取和均勻抽取的方式仿真稀疏采樣兩種不規(guī)則情況。

地震數(shù)據(jù)重建效果的衡量指標(biāo)采用信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)

(8)

式中N表示樣本數(shù)量。

將10000組Marmousi模型數(shù)據(jù)按照8∶1∶1比例且不交疊的方式分別劃分為訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和測(cè)試集。在訓(xùn)練階段，使用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練并用驗(yàn)證集評(píng)估網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練效果；當(dāng)驗(yàn)證集結(jié)果趨近收斂時(shí)保存網(wǎng)絡(luò)模型和參數(shù)，并用測(cè)試集數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)訓(xùn)練模型進(jìn)行評(píng)估。

2.2 網(wǎng)絡(luò)模型測(cè)試

針對(duì)均勻采樣和隨機(jī)采樣兩類情況，制作從10%～90%共9組不同采樣率下的樣本(每組采樣率間隔為10%，兩類采樣樣本共18組)，分批次輸入網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。不同采樣率下訓(xùn)練的不同網(wǎng)絡(luò)模型用來測(cè)試相應(yīng)采樣率下的地震數(shù)據(jù)。

由圖4可見，在不同采樣率條件下，本文方法(聯(lián)合小波域的深度學(xué)習(xí)方法)均較好地保留了實(shí)際地震數(shù)據(jù)的特征；隨著采樣率不斷提高，規(guī)則化效果也隨之提升。

圖4 不同采樣率條件下均勻采樣數(shù)據(jù)(上)及其規(guī)則化重建結(jié)果(下)

圖5為本文方法在驗(yàn)證集測(cè)試的評(píng)估結(jié)果。由圖5a可見，隨著迭代次數(shù)增多，SNR逐步提高，重建效果不斷增強(qiáng)；當(dāng)達(dá)到1000次時(shí)，算法取得收斂，SNR基本穩(wěn)定在最大值附近，說明本網(wǎng)絡(luò)模型具有較好的收斂性和穩(wěn)定性。為了使網(wǎng)絡(luò)更好地收斂至最優(yōu)解，防止訓(xùn)練后期學(xué)習(xí)率過大，本文采用指數(shù)衰減算法，設(shè)置初始學(xué)習(xí)率為2×10-4，每次迭代衰減指數(shù)為0.995(圖5b)。迭代初期用較大的學(xué)習(xí)率使結(jié)果快速收斂，所以前期聯(lián)合誤差數(shù)值變化相對(duì)較為劇烈(圖5c)，有助于加速重建地震數(shù)據(jù)；后期減小學(xué)習(xí)率，使目標(biāo)函數(shù)收斂至局部最小值，聯(lián)合誤差變化相對(duì)緩慢(圖5c)，有利于重建規(guī)則數(shù)據(jù)細(xì)節(jié)信息。另外，在訓(xùn)練過程中網(wǎng)絡(luò)調(diào)整參數(shù)導(dǎo)致結(jié)果振蕩，但是網(wǎng)絡(luò)會(huì)根據(jù)損失函數(shù)進(jìn)行調(diào)整，從而使最終結(jié)果趨于穩(wěn)定。

圖5 SNR(a)、學(xué)習(xí)率(b)和ltotal(c)隨迭代次數(shù)變化趨勢(shì)

2.3 紋理細(xì)節(jié)保持效果

為了驗(yàn)證本文方法對(duì)細(xì)節(jié)重建的有效性，測(cè)試樣本在50%均勻采樣條件下，對(duì)比聯(lián)合小波域?qū)W習(xí)網(wǎng)絡(luò)(SNR=19.8550dB)和僅使用時(shí)域?qū)W習(xí)網(wǎng)絡(luò)(SNR=17.2667dB)的結(jié)果(圖6)。由圖可見，聯(lián)合小波域?qū)W習(xí)的網(wǎng)絡(luò)局部細(xì)節(jié)特征更準(zhǔn)確，更接近于真實(shí)地震數(shù)據(jù)。這證明了聯(lián)合小波變換的CNN具有更好的紋理保持性能。

圖6 50%均勻采樣條件下全采樣(a)與未采用聯(lián)合小波(b)、采用聯(lián)合小波(c)的重建波形(上)及其局部(紅框)放大(下)

2.4 算法對(duì)比測(cè)試

將本文方法應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失的情況，并與當(dāng)前較先進(jìn)的重建算法進(jìn)行對(duì)比(圖7)。由圖可見，本文方法重建的地震數(shù)據(jù)波形連續(xù)性好、無突變，更逼近真實(shí)地震數(shù)據(jù)。

圖7 全采樣數(shù)據(jù)與50%隨機(jī)采樣條件下不同算法重建結(jié)果對(duì)比

本文方法是從全局拓?fù)湫畔⒅蓄A(yù)測(cè)小波系數(shù)，因此在低采樣率情況下具有一定的優(yōu)勢(shì)。由圖8可見，在20%的低采樣條件下，空道占據(jù)大部分，很難重建地震數(shù)據(jù)，因此基于物理建模重建的地震數(shù)據(jù)均出現(xiàn)大幅度缺失或失真；數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法重建地震數(shù)據(jù)整體效果得到大幅提升，但與真實(shí)數(shù)據(jù)相比仍存在細(xì)節(jié)缺失或重建精度不夠的問題；在較低采樣率(≤20%)且未考慮采樣數(shù)據(jù)位置的情況下，本文方法重建的地震數(shù)據(jù)較好地保留了原始地震數(shù)據(jù)特征和波形信息，在細(xì)節(jié)處更逼近實(shí)際數(shù)據(jù)。這證明了本文方法對(duì)地震數(shù)據(jù)缺失位置不敏感，在地震數(shù)據(jù)規(guī)則化的過程具有魯棒性。

圖8 全采樣數(shù)據(jù)與20%均勻采樣條件下不同算法重建結(jié)果對(duì)比

表1和表2分別對(duì)比了均勻采樣與隨機(jī)采樣兩種方式不同采樣率條件下本文方法與其他方法測(cè)試集樣本數(shù)據(jù)重建時(shí)SNR的均值對(duì)比。由表可見，本文方法顯著優(yōu)于基于模型的規(guī)則化方法，也優(yōu)于同類基于深度學(xué)習(xí)的規(guī)則化方法。對(duì)于本文方法而言，在高采樣率(>80%)時(shí)，無論是均勻采樣還是隨機(jī)采樣，數(shù)據(jù)整體結(jié)構(gòu)的特征均保持較完整，重建的數(shù)據(jù)效果比較接近；在中等采樣率(20%～80%)時(shí)，均勻采樣比隨機(jī)采樣能更好地保留數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特性，均勻采樣重建的效果要優(yōu)于隨機(jī)采樣；在低采樣率(≤20%)時(shí)，均勻采樣和隨機(jī)采樣嚴(yán)重破壞了實(shí)際地震數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特性，兩種方法重建效果均較差。

表1 均勻采樣條件下不同方法重建地震數(shù)據(jù)的SNR均值對(duì)比 dB

表2 隨機(jī)采樣條件下不同方法重建地震數(shù)據(jù)的SNR均值對(duì)比 dB

在50%隨機(jī)采樣條件下，比較不同深度學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練效率。不同方法訓(xùn)練迭代1000次的訓(xùn)練完成時(shí)間如表3所示。由表可見，聯(lián)合小波學(xué)習(xí)方法相比于時(shí)域?qū)W習(xí)方法增加了計(jì)算時(shí)間，但增加幅度相對(duì)較小，重建地震數(shù)據(jù)SNR卻得到了較大程度地提高。

表3 不同深度學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練所用時(shí)長(zhǎng)及重建地震數(shù)據(jù)的SNR均值對(duì)比

3 實(shí)際地震數(shù)據(jù)測(cè)試

選取A油田實(shí)際地震數(shù)據(jù)測(cè)試本文方法規(guī)則化處理效果。震源和檢波器置于地表，檢波器采樣間隔為2ms，道間距為12.5m。將實(shí)際樣本數(shù)據(jù)共5000個(gè)按照8∶1∶1分別劃分為訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和測(cè)試集，使用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，再用測(cè)試集測(cè)試網(wǎng)絡(luò)的有效性。任選1個(gè)測(cè)試集樣本，實(shí)際地震數(shù)據(jù)不同方法重建波形對(duì)比如圖9所示。由圖可見，本文方法重建的地震數(shù)據(jù)同相軸光滑、連續(xù)，可較好地重建缺失道和細(xì)節(jié)，具有較好的魯棒性。

圖9 實(shí)際地震數(shù)據(jù)及不同方法重建波形對(duì)比

為了驗(yàn)證本文網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，將B采油廠疊前和疊后地震數(shù)據(jù)各抽取5000組樣本，制成一個(gè)樣本增廣的地震數(shù)據(jù)集，訓(xùn)練集、驗(yàn)證集和測(cè)試集按不交疊的方式劃分比例為8∶1∶1，通過結(jié)合兩種樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。當(dāng)訓(xùn)練收斂時(shí)，分別使用測(cè)試集中疊前和疊后數(shù)據(jù)分別進(jìn)行測(cè)試。當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)為疊前數(shù)據(jù)時(shí)，規(guī)則化地震數(shù)據(jù)SNR=16.0539dB；當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)為疊后數(shù)據(jù)時(shí)，規(guī)則化地震數(shù)據(jù)SNR=16.331dB。這表明本文網(wǎng)絡(luò)具有一定的泛化能力和適用性。

4 結(jié)束語

本文提出的聯(lián)合小波域深度學(xué)習(xí)的地震數(shù)據(jù)規(guī)則化方法有效利用了頻域和時(shí)域的特征。對(duì)比基于模型的方法以及僅在時(shí)域?qū)W習(xí)條件下的重建效果，本文方法具有細(xì)節(jié)保持效果好、對(duì)地震數(shù)據(jù)缺失位置不敏感、在采樣率較低的情況下具較好的重建效果的特點(diǎn)。實(shí)際地震數(shù)據(jù)重建結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性和有效性。需要指出的是，基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法往往需要大量數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)相應(yīng)地震數(shù)據(jù)的特征，所以如何僅在有限量樣本的情況下，提高模型的泛化能力，取得相對(duì)理想的效果，是進(jìn)一步研究的方向。