基于單目視覺和扭擺法原理的剛體轉動慣量測量技術研究

孫天龍，李鴻基，汪 睿，魯承煒，張烈山

(浙江理工大學 機械與自動控制學院, 杭州 310018)

0 引言

轉動慣量是表征剛體轉動慣性大小的特征量,與質量、質心、慣性積等參數共同構成了剛體的質量特性參數。轉動慣量是航天飛行器、航空器、汽車、機器人等裝備進行姿態控制、運動學分析的重要設計參數，凡涉及到轉動行為的裝備一般都需要通過慣性參數的測試來驗證它們的轉動性能以及質量布局設計的合理性[1-4]。

實際工程中，多采用復擺法[5-6]、多線擺法[7-8]和扭擺法[9-10]等來實現剛體轉動慣量的測量，這類方法統稱為諧振法(Oscillation method)。它們的基本原理都是通過振動傳感器記錄諧振運動，并計算出諧振運動的周期，利用被測剛體繞中心軸的轉動慣量與運動周期的平方成正比來計算轉動慣量的值。目前來說，扭擺法因其安全性好、測量精度高等優勢，已被更多的應用于諸如衛星[11]、彈箭[12-13]等高技術裝備的慣性參數的測試中。

針對扭擺法轉動慣量測量技術，國內外學者都展開了豐富的研究，總的來說目前國內外轉動慣量測量技術的研究多聚焦于扭振運動阻尼作用及其補償技術、質量特性多參數融合測量方法等方面。例如，在國內，穆繼亮[14]等人研究了扭擺運動過程中線性內阻尼對轉動慣量測量的影響；郭志榮[15]等人則研究了空氣阻尼對復雜外形物體轉動慣量測量的影響；Zhao[16]等人則研究了扭擺運動的非線性阻尼作用，提出了補償方法；Teng[17]等人針對微小衛星的質量特性參數一體化測量進行了研究，研制測量設備；王超[18]、邊志強[19]等人則對某型彈箭的質量特性參數融合測量技術方案進行了研究。在國外，Brancati[20]等開發了一套針對于大尺寸大慣量裝備的慣性參數一體化測量系統，該系統采用3個增量式編碼器和扭振測量單元能夠實現靜態或動態地測定大型物體的慣性參數，并給出了一輛汽車的慣性特性測量實例；Olmedo[10]等人也基于扭擺法原理研究了機器人的質量特性參數實驗測試方法，研制了一套扭振測試平臺；Previati[21]等人也針對大質量物體的慣性參數測量研制了類似的一體化測量設備，并通過數值方法分析了設備結構變形對慣性參數測量的影響。

目前轉動慣量測量系統中扭振運動的記錄方法的研究很少被關注，然而扭振運動的準確記錄是實現慣性參數精確測量的前提。在精度要求不高的場合，常常采用光電開關[22]、慣性傳感器[23]等實現扭振運動參數的識別。在高精度測量系統中，為了精確識別扭擺運動的阻尼，轉動慣量測量系統往往需要裝備高精度的振動測量傳感器，例如光柵位移傳感器等，這不僅增加了系統的復雜性，也大大增加了系統的成本。由工業相機、鏡頭以及光源等構成的視覺測量系統具有精度高、成本低的特點，已被廣泛應用于尺寸測量、缺陷檢測等領域[24-27]。視覺測量技術同樣適用于振動位移的檢測，為了兼顧成本和精度，本文將視覺測量技術應用到剛體轉動慣量的測量中，利用它對測量臺運動過程中的扭擺角度進行定時記錄，最終得到扭振運動曲線。這種方法在精確測定出扭振運動周期的同時還可以完整記錄扭振運動的振幅衰減過程，通過數值分析得到扭振運動的阻尼參數。利用該阻尼參數和扭振運動周期來精確計算被測物體的轉動慣量，有效解決阻尼對轉動慣量測量的影響。

1 扭擺法原理

典型的扭擺法轉動慣量測量臺的結構如圖1所示，其核心部件是驅動扭擺運動的彈性元件，例如扭簧、扭桿等。

圖1 扭擺系統原理圖

測量時，將被測物體安裝至載物臺上，被測物體在彈性元件初始勢能的作用下繞中心轉軸進行往復扭擺運動，其運動過程受到來自空氣摩擦阻力、軸承摩擦阻力等阻尼作用的影響。若不考慮阻尼的作用，轉動慣量的測量將產生較大的誤差。

根據阻尼狀態下物體扭擺運動的力學分析可知，扭擺角θ與時間t存在如下關系：

(1)

式中，θ0為初始擺角，ζ為扭振系統的阻尼比，ωn為無阻尼振動頻率。根據式(1)可知扭擺曲線將以指數形式衰減。

轉動慣量的計算公式為：

(2)

式中，K為彈性元件的剛度系數，可由實驗標定得到。ζ為扭振系統的阻尼比，Td為有阻尼扭擺振動周期。

若已知被測物體的扭擺運動曲線如圖2所示，假設曲線上升(或下降)零點為Ti，扭擺角的極大值為θi，其中i=0, 1, 2, …,n，則阻尼比ζ和有阻尼振動周期Td可通過如下公式求解：

圖2 扭擺運動曲線示意圖

(3)

(4)

因此，為了精確測量被測剛體的轉動慣量，需要準確記錄扭擺臺的扭振運動曲線。本文采用視覺測量方法來記錄扭振運動。

2 視覺測量原理

2.1 坐標系定義與轉換

根據相機小孔成像模型可知，成像面上的每一個像點都對應于視野范圍內的一個物點，因此根據圖像處理后得到的像點位置變化可推知其實際運動軌跡，為建立兩者的關系模型，引入如下4個坐標系，如圖3所示。

圖3 視覺測量坐標系示意圖

1)世界坐標系Ow-XwYwZw，是客觀三維世界的絕對坐標系。該坐標系原點Ow被相機光軸經過，而Xw軸與經過載物圓盤中心且垂直于其表面的直線重合；

2)相機坐標系Oc-XcYcZc，以相機光心Oc為原點，Xc和Yc軸分別與世界坐標系的Xw和Yw軸平行，且正方向一致，Zc軸與光軸重合；

3)像平面坐標系Oi-XiYi，原點Oi為光軸與像面的交點，即圖像的中心點，Xi和Yi軸分別與世界坐標系的Xw和Yw軸平行，且正方向一致；

4)像素坐標系O0-UV，原點O0位于圖像的一角，該坐標系沒有物理單位，表示圖像中像素的排列情況，U和V軸分別與圖像兩邊平行，正方向與像平面坐標系中Xi軸和Yi軸一致。

設圖中物距即物點與相機光心連線在光軸上投影的長度為U。鏡頭的焦距為f。

記某一物點A的世界坐標為(xw，yw，zw),其分別對應相機坐標為(xc，yc，zc)，像平面坐標為(xi,yi),像素坐標為(u,v)。根據上述4個坐標系的關系可知：

世界坐標(xw，yw，zw)與相機坐標(xc，yc，zc)的轉化關系式為：

(5)

根據相機小孔成像模型和三角形相似定理可知，相機坐標(xc，yc，zc)與像平面坐標(xi,yi)存在如下關系：

(6)

設像素坐標系原點O0的坐標為(u0，v0)，而單一像素塊沿X軸和Y軸的長度分別為dx、dy。dx、dy可分別由相機分辨率計算得到。則像平面坐標(xi,yi)和像素坐標(u,v)轉換關系式為：

(7)

聯合公式(5)～(7)可得物點世界坐標A(xw，yw，zw)與其對應像素坐標A”(u,v)最終存在的關系為：

(8)

即：

(9)

2.2 扭振運動角位移曲線的記錄

為了能夠及時記錄扭振運動的角位移，本文采用如圖4所示的黑白格標記物。將該標記物粘貼到扭擺測量臺載物盤的邊緣，使得黑白格分界線與扭擺臺中心軸線平行，也即與世界坐標系Xw軸相平行。測量時，利用視覺系統對標記物進行攝像得到檢測視頻。對視頻中每一幀圖像進行處理，提取出標記物黑白格分界線的中心點，該點在圖像中的位置變化直接反映了扭振運動的角位移變化。

圖4 扭振運動角位移追蹤標記物示意圖

為求得扭振運動角位移θ，以載物圓盤圓心為原點O，建立二維坐標系O-XY，如圖5所示。其中y軸穿過鏡頭光心Oc，且與像平面交于中心點Oi。平面XOY與載物圓盤表面平行。

圖5 扭擺角計算示意圖

圓O為轉動慣量測量臺投影于坐標系得到的圓，其半徑為r。圓O的直線方程為：

x2+y2=r2

(10)

由圖5坐標關系示意圖可以看出，載物圓盤的標記物在像面上的成像表現為右半部分為純黑色矩形，左半部分為純白色矩形。其中黑色與白色的交界線便是后續圖像操作需要捕獲的特征線。

記特征線中心點投影在二維平面坐標系中的坐標為A(x,y)，則(A″u,r+m+n)為該點對應于相面中的投影，m，n的定義如圖5所示。而A′(xw,r)為A(x,y)和A″(u,r+m+n)所在直線與像面的交點。將圖像處理后的像點A″(u,r+m+n)進行坐標轉換得到物點A′的坐標為(xw,r)。A″與A′的坐標轉換關系滿足公式(9)。

(11)

因此根據A(x,y)、O(0, 0)和Ow(0,r)三點坐標，可計算扭擺角θ，計算公式如下：

(12)

規定實際物點橫坐標值為負時扭擺角θ為負，反之為正。結合每幀圖像的拍攝時間最終得到大量(t,θ)數據組，用平滑曲線連接即得扭擺曲線。

2.3 圖像預處理

由前文可知，為求取扭擺角度需要捕獲像面特征線的坐標。為減小軟件處理過程中可能存在的誤差，后續圖像預處理操作旨在捕獲圖像信息中白色部分輪廓，而后返回白色輪廓右邊即特征線的橫坐標。

圖6 系統捕獲實物圖

為得到受噪音影響小，被測物特征更加明顯的圖像，需對采集得到的數字圖像進行預處理操作。圖像預處理手段主要為高斯模糊、二值化、形態學操作及Canny邊緣處理。

先將得到的圖像信息轉換為灰度圖。由于人眼會對三原色會表現出不同程度的敏感，因此為降低人眼偏差，需對圖像信息進行灰度化處理，即對原有像素值求取加權平均化處理。即：

Gray=0.587G+0.299R+0.114B

(13)

式中，Gray指灰度圖中某點對應的像素值，G、R、B為原三通道圖像中的各像素分量值。

高斯模糊即為用高斯分布權值矩陣與原始圖像矩陣做卷積運算，將結果作為當前像素的新值，有利于過濾噪音。

為便于后續操作，消除圖像信息中可能存在的邊緣陰影等無用信息及保留和突出被測物主體輪廓特征，需對圖像進行二值化處理。二值化處理包括固定閾值處理法、最大類間方差法、迭代閾值、P參數法。此處采用固定閾值法，即在原圖像的基礎上按照某一閾值，得到像素值只為0或255的圖像。

形態學操作是根據圖像形狀進行的簡單操作，如膨脹、腐蝕、開操作和閉操作，該操作需要獲取結構化元素。利用開操作可以有效去除二值圖像中的干擾塊，且不明顯改變原有主體邊界。

運用輪廓信息，可以快速得到被測物的周長、面積等客觀特征。因此邊緣算子的選擇至關重要。此處選用計算量大，但捕獲邊緣性能強、錯誤率低的Canny算子。Canny邊緣處理即多級邊緣檢測算法，用于盡可能多地標識出圖像的實際邊緣。如圖7為經過圖像預處理后得到的實際效果圖。

圖7 Canny算法處理圖

2.4 特征線提取

由前述可知，特征線即為圖像預處理后的輪廓右邊。因此需軟件處理輪廓信息以輸出右邊坐標。為避免實驗環境對輪廓捕獲的影響，首先利用Mat定義一個ROI矩形，使得輪廓位置始終處于其中，同時外界的無用信息盡量最少被包括。

而后，運用findcontours()函數在ROI切割后的圖像中對輪廓進行捕獲。得到金屬載物圓盤標記物白色矩形輪廓后，調用imshow()函數同時展示原圖像和處理得到的邊緣圖像，運用drawContours()函數在原圖像的窗口上畫出輪廓，觀察發現，捕獲得到的輪廓與原圖像白色部分邊緣基本重合，證明處理后得到的輪廓具有較高準確度。

為輸出特征線坐標，運用minAreaRect()函數將輪廓點集矢量化為點集的最小外接矩形。而后輸出矩形右寬上點的橫坐標的平均值。將得到的橫坐標數據代入前文所建立的二維模型，即可求得扭擺角。最后將得到的待測物扭擺角關于視頻幀數的數據集輸出,算法流程圖如圖8所示。

圖8 扭擺角輸出流程圖

3 測量實驗

3.1 測量系統

根據本實驗的測量原理，設計基于機器視覺和扭擺法原理的轉動慣量測量系統如圖9所示。其中扭擺臺用于產生扭振運動，黑色載物臺側面放置有白色直線標簽。利用高分辨率低畸變工業相機捕獲標記線的擺動位置，并將圖像信息上傳至上位機。最后在上位機完成圖像處理和轉動慣量的計算。

圖9 實驗測量系統示意圖

本系統采用工業相機對物體的運動狀態進行捕捉。由于在識別過程中對相機的傳輸速率和動態圖像分辨率有一定要求，因此選擇幀率為211幀/s、分辨率為1 280*1 024的相機進行實驗。

實驗測量時，調節扭擺臺底座使其處于水平狀態，并調整工業相機的支架高度使鏡頭中心正對直線標簽，確保相機視野清晰。由于扭擺臺自身具有一定質量，即存在空載轉動慣量，因此實驗首先對空載時的轉動慣量進行了測量，以下實驗結果均已減去空載轉動慣量。每次測量將被測物體對稱放置在載物圓盤的中心軸線上，使其發生扭振運動，利用相機拍攝和記錄直線標記的位置。

在測量系統上，與采用氣浮軸承減小轉動慣量測量過程中的阻尼方法[28]相比，本實驗的測量成本低，系統構成也更為簡單；而與采用光電計數裝置進行扭擺形態的捕獲相比，利用高幀率的工業相機使系統具有更高的時間分辨率，能夠獲取精確的扭擺角數據，從而實現高精度轉動慣量測量。

3.2 測量結果

3.2.1 重復性測量實驗

對于質量均勻的實心圓柱標準件，其質量為m=0.510 kg,直徑為D=0.088 m。根據圓柱體轉動慣量定義式：

(14)

計算可得其繞中心軸線的轉動慣量為49.980×10-5kg·m2，以該值為測量的相對真值。

采用本文搭建的轉動慣量測量系統對上述標準件進行實驗，經坐標轉換和圖像處理后得到的扭擺曲線如圖10所示。根據公式(3)(4)可計算得到周期T為0.885 s，阻尼比ζ為0.014 3。因此根據公式(2)的計算結果減去空載值后，得被測轉動慣量測量值為48.987×10-5kg·m2。

圖10 標準件扭擺曲線

為驗證測量的重復性，在相同的實驗條件下對10個不同質量的標準件分別進行了10次測量實驗，結果如圖11所示。其中單次測量的最大誤差的絕對值為：2.513 7×10-5kg·m2。

圖11 多個標準件轉動慣量測量結果

表1 多個標準件重復性實驗結果

繪制10次實驗的絕對誤差Δ和標準差δ折線圖如圖12所示。

圖12 絕對誤差和標準差折線圖

實驗結果表明，本文所采用的轉動慣量測量系統精度高，10次測量結果的平均值相對于真值的絕對誤差不超過1.00×10-5kg·m2；在重復性上，多次實驗的測量結果波動幅度小，且基本穩定在相對真值附近，其標準差不大于1.80×10-5kg·m2。

與其他測量方法相比較，同樣是針對微小物體進行轉動慣量的測量，文獻[29]基于復擺法原理，利用光電計時模塊獲得復擺周期從而計算剛體轉動慣量，其測量精度為1.0%, 重復性精度為1.0%。文獻[30]基于懸掛法和復擺法，利用圖像分析得到的轉動慣量相對誤差可控制在2%以內。而本實驗基于扭擺法原理，利用高分辨率工業相機捕獲扭擺運動，并對測量過程中的阻尼誤差進行補償，在0-5×10-3kg·m2范圍內，單次測量誤差小于量程的0.50%，重復性精度則優于0.40%，有效證明了該方法的準確性和可行性，為工程上應用機器視覺技術測量剛體轉動慣量提供了新思路。

3.2.2 阻尼對轉動慣量測量的影響

本實驗系統采用機械軸承來支撐回轉軸，扭振運動過程中受到機械摩擦阻尼的影響較大。為了研究阻尼作用對扭擺法轉動慣量測量結果的影響，對10個不同轉動慣量、不同外形特點的不規則被測物體進行實驗測試，對比考慮阻尼比前后的計算結果，如表2所示。

表2 阻尼比對轉動慣量的影響

根據表3結果，在同一坐標系下繪制10種被測物分別在考慮阻尼比和忽略阻尼比情況下的相對偏差折線圖如圖13所示。

圖13 考慮阻尼比前后相對偏差折線圖

根據上述測量結果和圖13可知，被測物體的轉動慣量越大，忽略阻尼比導致的相對偏差也越大，結合公式(2)，當阻尼比超過0.2時，忽略阻尼比導致的相對偏差將超過4%。

因此，實際應用扭擺法對大轉動慣量剛體進行測量時，阻尼比的準確獲取尤為重要，而本文所述的測量方法通過精確測量阻尼比對轉動慣量值進行修正，提高了測量精度。

4 結束語

本文提出基于機器視覺和扭擺法原理的剛體轉動慣量測量技術，對物體進行實驗測量分析以驗證此技術的可行性，并在此基礎上研究阻尼比在測量過程中對實驗數據的影響并得到如下結論：

1)本文給出了大阻尼條件下物體轉動慣量的計算公式，精確表達了阻尼比對物體轉動慣量測量值的影響。結合機器視覺的方法，得到了被測物的扭擺運動曲線進而求取相關數據。

2)本文提出的轉動慣量測量技術，經實驗驗證測量準確性高，誤差較小，10次測量平均值的絕對誤差不超過1.00×10-5kg·m2，且基于扭擺法使用低成本普通軸承的實驗，更大大降低了測量成本。

3)實驗中通過對同一物體進行多種重復實驗，各組數據的標準差小于1.80×10-5kg·m2，驗證了系統實驗的可重復性。

4)對實驗數據分析中，發現在不考慮阻尼比情況下，物體轉動慣量測量值的相對偏差將隨著被測物轉動慣量的增大而增加。