淺談矩陣的初等行變換在線性代數中的應用

張亞龍

(北京科技大學天津學院基礎部 301830)

目前，《線性代數》這門課程是理工科和經管類必開設的一門課程，主要內容包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等.矩陣的初等行變換貫穿在整個線性代數的內容中，為了方便學生學習，下面歸納總結了關于矩陣初等行變換在線性代數中的應用.

1 矩陣中的應用

1.1 求矩陣的逆

解作一個3×6的矩陣(A，E)，并對其做矩陣的初等行變換.

1.2 求矩陣的秩

矩陣秩的定義是非零子式的最高階數，我們知道初等變換不改變矩陣的秩，對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣B，由行列式的性質可知，矩陣A和矩陣B的非零子式最高階數相同，所以矩陣A與矩陣B的秩相等.

解對矩陣A做初等行變換化為行階梯形矩陣.

因為矩陣B中有三個非零行，即R(B)=3，所以R(A)=3.

2 在向量組中應用

2.1 求向量組的秩

由于任何矩陣A，它的行秩=列秩=R(A)，因此我們只需將向量組中的向量均按列構成一個矩陣A，向量組的秩就等于矩陣A的秩.

例3求向量組α1=(1，-2，2)，α2=(1，-4，0)，α3=(1，-2，2)的秩.

2.2 求向量組的極大無關組

由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關系，因此可由初等行變換求解向量組的極大無關組.

例4求向量組α1=(1,2,3,0)，α2=(-1,-2,0,3)，α3=(2,4,6,0)，α4=(1,-2,-1,0)的一個極大線性無關組.

非零行首非零元1所在的列作極大線性無關組，因此向量組α1,α2,α3,α4的一個極大線性無關組為α1,α2,α4.

3 在線性方程組中的應用

通過一系列的初等行變換，將系數矩陣或增廣矩陣化為行最簡形矩陣，判斷方程組是否有解，有解的情況下，求出通解.

3.1 解齊次線性方程組

例5求解齊次線性方程組

3.2 解非齊次線性方程組

解對增廣矩陣B進行初等行變換，化為行最簡形矩陣.

4 在矩陣特征向量中的應用

上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程組，計算矩陣的特征向量就會涉及到解齊次線性方程組.

矩陣的初等行變換貫穿于整個線性代數章節中，熟練應用初等行變換是學好線性代數的基礎，學生要在平時學習中，學會歸納總結，使每個知識點建立聯系.