“雙減”背景下 讓實驗教學走進中職數學課堂
——中職數學圓中最值問題初探

謝小云

(福建省武平職業中專學校 364399)

當下，國家大力發展職業教育，教師面對數學基礎普遍較差，學習數學興趣普遍不高的中職學生，遇到了很大挑戰，為了提高課堂效率，提高學生動手能力、思維能力、探究能力，本人用實驗教學方法探究數學問題，揭示數學問題本質.日常教學中，我們常常把圓看作是靜態的，如果把動點放在圖形上，靜態圓就變成動態圓，這樣就構成了栩栩如生的數學問題，讓學生樂于探究，教學方法也由傳統的滿堂灌教學法變成了研究性學習.

1 點與圓的最值問題探究

實驗一：已知圓C：(x-4)2+(y-2)2=1及點P(-1，0)，在圓C上求一點A，使AP最長或最短.

實驗目的：掌握圓外一點到圓上一點最值求法，培養分析問題和解決問題能力.

實驗用到的公式：兩點間距離公式.

實驗教具：細線、直尺、A4紙、圓規、圖釘.

實驗方法：讓學生在A4紙上畫出圓C及點P位置，用圖釘把細線的一端固定在P點，拉直直線，讓另一端點A在圓C上移動，注意觀察線段PA長度的變化并測出PA的長度.

實驗圖像：動點A以線段PC與圓交點D為出發點順時針方向勻速運動一周，以動點A的運動時間為橫坐標，PA長度為縱坐標畫出圖像.

實驗誤差及分析：所作的圖形不準確以及肉眼觀察與真實數據差異.

圖1 圖2

實驗結論及分析：如圖1，連結線段PC與圓C相交于點A，設點B是圓上異于A點的任意一點，則PB+BC≥PC=AC+PA，因為圓的半徑相等即AC=BC,所以PB≥PA，此時PA最短；如圖2，延長線段PC交圓C于點A，設點D是圓C上異于點A的任意一點，連結CD及PD，在△PCD中，PC+CD≥PD，又因為CD=CA，所以PC+CA≥PD即PA≥PD，此時PA最長.

通過上述實驗教學，學生直觀形象地得出圓外一點到圓上一點最值問題與圓心和半徑有關，即PAmax=PC+r，PAmin=PC-r(r為圓C的半徑)，面對數學基礎較差的中職學生，圓的最值問題既是重點也是難點又往往是會考考點，教學時讓學生自己動手實驗，可起到事半功倍的效果.

2 直線和圓的最值問題探究

實驗二：已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=1，直線L：y=x+5,求圓上一點A到直線L的距離最大值和最小值.

實驗目的：讓學生掌握圓上一點P(x0,y0) 到直線距離最值求法及轉化數學思想.

實驗用到的數學公式：點到直線的距離公式.

實驗誤差分析：所作的圖形不準確以及肉眼觀察與真實數據差異,另外三角板起始刻度不在邊上，要把無刻度這部分重新計算也增加誤差.

實驗用具：A4紙、三角板

實驗過程及方法：讓三角板的一條直角邊緊靠直線L，另一條直角邊與圓C相交于點A，與直線L相交于點P，仔細觀察PA長度的變化規律.

實驗圖像：當直角邊過圓心與圓相交于A、B兩點，動點D從A點出發順時針方向勻速運動一周，以動點D的運動時間為橫坐標，PA長度為縱坐標畫出圖像.

實驗結論：如圖3，當三角板的另一條直角邊過點C時，線段PC的延長線與圓相交于點A，此時PA最長.如圖4，當線段PC與圓相交于點A時.此時PA最短，即PAmax=|PC|+r,PAmin=|PC|-r(r為圓C的半徑)，圓上一點到直線L的距離的最值仍然與圓心和半徑有關.

圖3 圖4

實驗分析：如圖4，設點D是圓上異于A、B點的任意一點，連結PD、DA、DC，在三角形PCD中PD+DC≥PC，又因為PC=PA+AC，DC=AC所以PD≥PA，如圖3，設點D是圓上異于A點的任意一點,在三角形PCD中PC+CD≥PD,又因為CA=CD，所以PC+CA≥PD,即PA≥PD,結論成立.

實驗改進與啟發：可以自制三角板，刻度從邊上開始計算.

實驗目的：讓學生掌握過圓內一點最短弦長求法及數形結合數學思想.

實驗用具：A4紙、三角板、圖釘、直尺

實驗過程及方法：讓直尺中某一點緊靠P點，繞點P旋轉直尺一周，與圓相交于AB，觀察AB長度的變化規律.

實驗誤差分析：所作的圖形不準確以及肉眼觀察與真實數據差異,另外，A、B兩點都是動點，給測量帶來難度.

實驗創新：鼓勵學生大膽改進實驗，容易測出AB長度.

3 圓與圓的最值問題探究

實驗四：“將軍飲馬”問題，已知點C1(3,4)、C2(-2,2)，在x軸上找一點P，使|PC1|+|PC2|最短.

實驗目的：讓學生掌握直線上一動點到兩定點距離最短求法及數形結合數學思想.

實驗用到的公式：兩點間距離公式及對稱數學思想.

實驗用具：A4紙、圖釘、細線、直尺

實驗過程及方法：在A4紙上畫出所需圖形，用圖釘把細線一端固定于C1點，細線上一動點P在x軸上移動，另一點C2也在細線上移動，仔細觀察|PC1|+|PC2|的長度變化.

實驗結論：如圖5，過點C2作關于x軸的對稱點C0，連結C0C1與x軸交于點P，則點P就是所求的點.

圖5 圖6

分析實驗結果：如圖6，設點P0是x軸上任意一點，因為x軸是C2C0的中垂線，所以C2P0=C0P0,C2P=C0P,即PC2+PC1=PC0+PC1=C0C1，而P0C2+P0C1=P0C0+P0C1≥C0C1,所以P0C2+P0C1≥PC2+PC1，實驗結論是成立的.

實驗五：如圖7，已知點C2(-2，2)及⊙C1：(x-3)2+(y-4)2=1，點A是⊙C1上動點，在x軸上找一點P，使|PA|+|PC2|最小.

實驗用具：硬紙殼兩張，圖釘，膠水，細線，圓規，三角板，滑輪，大頭針.

實驗準備：用硬紙殼制作一個圓及凹形紙槽.

實驗過程與方法：如圖7，在硬紙殼上用大頭針固定坐標軸及圓位置，紙槽固定在x軸，細線穿過滑輪一端固定在⊙C1上，另一點C2也在細線上，滑輪在紙槽上運動，順時針旋轉圓，仔細觀察|PC1|+|PC2|的長度變化.

圖7 圖8

實驗目的：讓學生掌握在直線上找一點到一定點與圓上動點距離最短求法及數形結合數學思想.

實驗誤差分析：所作的圖形不準確以及肉眼觀察與真實數據差異,另外，A、P兩點都是動點，給測量帶來難度.

實驗結論：如圖8，過點C2作關于x軸的對稱點C0，連結C0C1與x軸交于點P，此時|PC2|+|PC1|最小，所以|PC2|+|PA|=|PC2|+|PC1|-r.

分析實驗結論：“以靜制動”分析問題，首先考慮在x軸上找一點P1使|PC1|+|PC2|最短.此時A點就是PC1與⊙C1的交點，從而得出(|PC2|+|PA|)min=|PC2|+|PC1|-r.

實驗改進：本實驗較復雜，學生可以結合所學專業充分發揮想象空間，做出實用、精美教具，這樣數學與所學專業就結合在一起了.

實驗六：如圖9，已知⊙C1(x-3)2+(y-4)2=1，圓C2：(x+2)2+(y-2)2=1,A、B兩點分別為⊙C1及⊙C2上的動點，在x軸上找一點P，使|PA|+|PB|最小.

本實驗可以讓學生親自動手制作，發揮學生主觀能動性，培養學生創新能力.

圖9 圖10

實驗分析:如圖10，首先考慮在x軸上找一點P，使|PC1|+|PC2|最短,則|PA|+|PB|=|PC1|-r1+|PC2|-r2.

數學實驗是探究問題本質非常有效的途徑.數學實驗探究過程要從簡單到復雜，從現象到本質，在課堂上我們應該勤于動手，敢于動腦，勇于探究，大膽創新，在減負的背景下讓實驗教學走進課堂，提高學生核心素養，減輕學生負擔.