核心素養視角下高考數學選擇題評析及解題建議
——以2021年高考數學全國卷為例

羅 瑤 張映輝

(廣西師范大學數學與統計學院 541006)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.各要素之間相互融合，統一于一個有機整體，但其各部分保持相對獨立，在學生數學學習和應用過程中充分體現.本文以2021年高考數學全國卷為例，從數學核心素養所包含的六個要素對試卷的選擇題進行評析，論證其合理性，發現每一套卷子均落實了立德樹人、五育并舉的要求，對學生的數學核心素養均有考查，并基于分析以及核心素養的考查要求為高三考生提出一些數學備考建議.

1 數學抽象

數學是一門研究數量關系和空間形式的學科，而數學抽象作為它的本質特征之一，也位于該學科六大核心素養之首，是數學教學以及考查中必須涉及的內容.舉例來說，函數的單調性學習一般以數學抽象為理論基礎，進而理解其含義并將其應用到實踐，以此使學生清晰地感知數學理論的產生以及發展過程.因此單調性在高考數學題目中的考查較為常見，常常結合其他考點一同體現在題目中.

例1(2021年新高考Ⅱ卷第8題)已知函數f(x)定義域為R，且f(x+2)為偶函數，f(2x+1)為奇函數，則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

評析本題主要考查的是函數的性質，如奇偶性及周期性等知識點.根據f(x+2)為偶函數可以推導出f(x+2)=f(-x+2)，將-x+2看作一個整體從而得出f(x)=f(-x+4)，此外由奇函數的性質得到f(2x+1)=-f(-2x+1)且f(1)=0，同樣把2x+1作為一個整體可得出f(x)=-f(-x+2)，因此f(x+4)=-f(x+2)=-f(-x+2)=f(x)，即f(x)是周期函數，且是以4為周期的，再結合f(1)=f(3)=0，進而得到答案為選項B.本題旨在考查學生的數學抽象素養，其中也包括了邏輯推理、數學運算等素養.

2 邏輯推理

數學語言具有抽象性的特點，數學解題對學生的邏輯思維能力要求也較高.有學者提出完成培養學生的邏輯推理素養任務只有在邏輯推理活動中進行，數學題目的解答過程其實就包含了許多邏輯推理活動.

例2(2021年新高考Ⅱ卷第12題)設正整數n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+…+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n

評析本題主要考查二項式定理及相關知識點等.根據題目中的ω(n)定義可以逐項判斷選項ACD的正誤，對于選項B的正誤判斷，可以通過特殊值法來完成.本題題干表述簡潔，需要學生具備規律意識、發現意識和歸納意識.本題主要考查了學生的邏輯推理素養，其中也涉及到數學抽象、數學運算等素養的考查.邏輯推理素養是學生普遍匱乏的素養之一，完成對該素養的培養應該滲透在日常學習和生活過程中.

3 數學建模

具備數學建模素養的人能將實際問題先抽象成數學問題，并實現問題到數學語言的轉變，最后能用數學方法完成相關模型的構造以及問題的處理.數學建模要從實際情境出發，與生活聯系，盡可能使學生體悟數學源自生活、最后又回到生活中去，感受數學知識與技能在生活中的價值.

A.18 B.10 C.6 D.4

評析本題主要考查線性變換知識點.根據題目的約束條件可畫出圖象，再把z=3x+y整理成y=-3x+z，把原本求z的最小值轉換成求y=-3x+z在y軸截距的最小值，即可得答案C.其中關鍵在于學生能夠對這個問題情境進行數學抽象，畫出約束條件的圖象，即建立模型求解.本題主要考查的是學生的數學建模素養，其中也包括了邏輯推理、數學運算等素養，同時對學生的轉換思想、數形結合思想也進行了考查.

4 直觀想象

直觀想象并不等同于空間想象與幾何直觀的簡單組合.在對高中生直觀想象核心素養的培養中，主要包括三種能力的培養，分別是數形結合、幾何直觀、空間想象.在歷年全國數學高考卷中，通過幾何直觀分析和解決問題的試題數量較多，難度也較大，對學生的直觀想象素養考查程度也較強.

例4(2021年新高考Ⅱ卷第10題)在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是( ).

評析本題考查空間幾何中的線面垂直、面面垂直以及異面角.由線垂直于面的充分條件可以判斷出選項BC是否正確，平移直線MN，再構造與異面直線OP所形成的線線角后可以得到選項AD為錯誤選項，即可得本題答案為BC.直觀想象的起源是為了學生能從圖中直觀地獲取合理的思維、減少運算，該題主要測試了學生的直觀想象素養水平，其中也包括了對邏輯推理、數學運算等能力的考查.

5 數學運算

在數學學科六大核心素養中，學生最為熟悉、且與學生關系最密切的是數學運算.數學運算并不等同于簡單的數學計算以及簡單的加減乘除，是解決問題的基本手段，它的內涵為首先要明晰運算的數學對象，并在此基礎上能夠正確使用相關運算法則來解決問題.因此在實際教學中，學生能否從多元視角來分析影響運算的因素，是高效解決問題的關鍵.

評析本題主要考查正弦函數、余弦函數、倍角公式、三角函數平方公式等.本題解答的關鍵在于將式子進行齊次化處理，利用三角函數平方公式將“1”特殊化處理：即將“1”化為sin2θ+cos2θ，同時把sin2θ中2倍角化為2sinθcosθ，代入tanθ=-2即可求得結果；本題也可以利用tanθ=-2求出sinθ，cosθ的值，分類討論也可以求得結果，但需要分情況討論sinθ，cosθ在不同象限的正負，若經過齊次化處理則避免這一分類討論.本題對學生的數學運算素養進行了考查，其中還包括對學生的邏輯推理、數據分析素養的考查.

6 數據分析

數據分析素養主要包括從研究對象中提取數據，利用數學工具對收集的數據進行處理，獲得所需研究對象知識的能力.“用數據說話”是全社會的共識，培養學生的數據分析素養以適應大數據時代的變化是我們義不容辭的責任.但數據分析素養的形成不是一蹴而就的，而是對數據分析觀念的繼承和發展.

評析本題主要考查隨機事件發生的概率、幾何概型公式等知識點.在解答時學生首先從問題情境中抽象出數量關系，分析題目可知隨機數取值區間以及符合條件的長度范圍分別是多少，通過幾何概型公式整理計算，即可求得答案為B.本題難度不大，主要是獲取學生的數據分析能力，其中也包括了數學運算、數學建模等素養.在實際數學學習中，學生要保持對數據的敏感度，能有意識地了解并學習數據分析的方法，提高自身的數據分析素養.

7 解題建議

2021年高考數學全國卷的選擇題具有強概念性、數形兼備以及解法不唯一等特點，注重對學生雙基的考查.因此，學生在做答選擇題時，要做到“眼動、腦動、手動”結合：“眼動”即審題要仔細和全面，抓住要點，“腦動”即要將提取的信息進行有效加工，如要綜合考慮幾種情況、嘗試從不同的角度解題；“手動”即考生需要動筆計算數、動筆畫出圖，數形結合是解決數學問題常用且有效的方法，能化繁為簡、化難為易.總得來說，高考數學選擇題考點靈活，但難度適中，考生注重解題的技巧性方能從容應對.