動量守恒定律中的動能關系

崔渝珩

(重慶市大學城第一中學校 400013)

對動量守恒的系統，如果系統在碰撞前后動能不變，這類碰撞叫作彈性碰撞.如果系統在碰撞后動能減少，這類碰撞叫作非彈性碰撞.對爆炸等，系統的動能還會增加，現歸納如下：

結論典型實例情景圖動能不增動能守恒(彈性碰撞)一動撞一靜:m1v0=m1v1+m2v212m1v20=12m1v21+12m2v22解得:v1=m1-m2m1+m2v0v2=2m1m1+m2v0推論一:牛頓速度公式Δv1=-Δv2;推論二:m1:v共-v1=v1′-v共m2:v共-v2=v2′-v共彈簧雙振子:彈簧長度再次恢復原長時,兩物速度差最大.子母球模型:子球反彈的最大高度可達初始高度的9倍1/4圓弧:球上升到最高點后再次滑回最低點時,兩物體相當于彈性碰撞,兩物體速度差最大.靜電場:兩個帶電體的動能轉化為電勢能后,電勢能再完全轉化為動能時,兩物體的運動相當于彈性碰撞.動能損失(非彈性碰撞)動能損失最大(完全非彈性碰撞)m1v0=(m1+m2)vΔEKmin=12m1v20-12m1v21-12m2v22解得:v=m1v0m1+m2ΔEKmax=m1m2v202(m1+m2)彈簧雙振子:彈簧長度最短或最長時,兩物有共速,彈性勢能最大.同上1/4圓弧:球在最高點時,兩物有共速,重力勢能達最大.同上靜電場:兩個帶電體達共速時,系統的動能最小,電勢能最大.同上滑板模型(子彈打木塊):兩物有共速時,產生的內能最大,相對位移最大.電磁感應:雙桿共速時,系統的動能轉化為焦耳熱,相對位移最大.結論:兩物體共速的過程,是系統的動能轉化為其他形式能的過程,若其他形式的能還能完全轉化為動能,則是彈性碰撞;若其他形式的能為內能,則兩物一直共速(不再有差異).動能損失較大(非完全彈性碰撞)m1v0=m1v1+m2v2ΔEK=12m1v20-12m1v21-12m2v22介于以上兩種情形之間

例1 質量為M的滑塊靜止在光滑的水平面上，滑塊的光滑弧面底部與水平面相切，一個質量為m的小球以速度v0向滑塊沖來，設小球不能越過滑塊(越過的情況不影響結果)，求：(1)小球能達到的最大高度；(2)小球、滑塊的最終速度.

解析對小球和滑塊，在相互作用的過程中，相互作用的支持力(內力)使小球做減速運動，使滑塊做加速運動，當水平方向速度相同(小球相對滑塊的速度為零)時，小球到達最高點，如果水平方向小球的速度大于滑塊的速度，小球相對于滑塊將繼續上升，如果水平方向小球的速度小于滑塊的速度，小球相對于滑塊將向下運動，所以二者水平方向速度相同時小球達到最高點，即小球從圖1位置Ⅰ到位置Ⅱ，小球的動能轉化為滑塊的動能和小球的重力勢能，從圖1位置Ⅱ到位置Ⅲ，小球的重力勢能又轉化為二者的動能，但從圖1位置Ⅰ到位置Ⅲ，總機械能不變，高度也不變，所以總動能也不變.同時系統水平方向無外力作用，故水平方向動量守恒，以后小球和滑塊始終以速度v1、v2勻速運動.

圖1

點評從物理過程來看，在相互作用過程中機械能守恒，但動能并不守恒，即系統的一部分動能先轉化為系統的重力勢能，當速度相等時，重力勢能最大，當兩物體恢復原形剛要分離時重力勢能又轉化為系統的動能，所以彈性碰撞應遵循機械能守恒定律，只有在碰前和碰后系統的總動能保持不變.

例2如圖2所示，載人氣球靜止于高h的空中，氣球的質量為M，人的質量為m，若人沿繩梯滑至地面，則繩梯至少為多長？

圖2

解析氣球和人原來靜止在空中，說明系統所受合外力為零，故系統在人下滑過程中動量守恒，人著地時繩梯至少應接觸地面，設繩梯長為L，人沿繩梯滑至地面，人的位移為x人，球的位移為x球，它們的位移狀態圖如圖2所示，由平均動量守恒有：

0=Mx球-mx人，

例3 機車拖著拖車質量為M的一列火車在水平軌道上勻速行駛，質量為m的最后一節車廂突然脫鉤，若火車運動所受阻力均正比于車重，機車牽引力恒定，在尾部車廂停止前，下列說法正確的是( ).

A.總動能將增大，而總動量是守恒的

B.總動量將增大，而總動能是守恒的

C.總動能將增大，而總動量也將增大

D.無法判斷

解析列車原來做勻速直線運動，牽引力F等于摩擦力f，合外力為零，f=k(M+m)g(k為比例系數)，因此，整個列車所受的合外力等于零，尾部車廂脫鉤后，每一部分所受摩擦力仍正比于它們的重力.如果把整個列車作為研究對象，脫鉤前后所受合外力始終為零，在尾部車廂停止前的任何一個瞬間，整個列車(前部+尾部)的總動量應該守恒.由于F>f1=kMg，前部列車加速運動，尾部車廂只受阻力作用而減速運動，隨著前部和尾部速度差值越來越大，由結論知總動能應逐漸增大，從能量轉化的角度看，機車牽引力作的功比摩擦力作的功多，使系統的總動能增大，所以答案選A.

點評該結論還可以推廣到三個物體或多個物體的情形，系統動量守恒的條件下，如果作用前后幾者的速度之差由大變小，其總動能減小；如果作用前后幾者的速度之差由小變大，其總動能增大，且系統內各部分的速度相差越大，其總動能越大；系統內各部分的速度相差越小，其總動能越小.

彈性碰撞的結果公式被稱為“黃金二級結論”，故在解題時可直接寫出答案，由此也提醒我們要將彈性碰撞的速度結論熟記于心，為解題帶來簡便.