一道模考導數壓軸題的多角度思考及教學啟示

高玉立

(安徽省無為市第二中學 238300)

1 問題呈現

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)若f(x)>0在(1，+∞)上恒成立,求整數a的最大值.

2 解答探究

本題的第一問比較基礎,學生基本能夠獨立完成.第(1)問答案:當a≤0時,f(x)在(0，+∞)上單調遞增;當a>0時,f(x)在(0,a)上單調遞減,在(a，+∞)上單調遞增;接下來，重點探究第二問.

注意到要求的是整數a的最值,我們可以預判這里需要對a進行估算，從而優先考慮參數分離，利用隱零點代換的方式，對a的范圍進行估算.這樣我們就得到了如下的解法.

因為x>1,所以h′(x)>0.

所以h(x)在(1，+∞)上單調遞增.

又因為h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0，

所以?x0∈(3,4),滿足x0-lnx0-2=0.(*)

從而有,當x∈(1,x0)時,h(x)<0，即g′(x)<0,g(x)在(1,x0)上單調遞減;

當x∈(x0,+∞)時,h(x)>0，即g′(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上單調遞增.

所以a

又因為x0∈(3，4),a∈Z,

所以整數a的最大值為3.

評注解法1通過參數分離的方式將求a的范圍問題等價轉化為求g(x)的最小值問題，這也是求解恒成立問題的非常重要的方法，具體計算時由于g′(x)=0的根無法直接求出，所引發的隱零點計算，也需要學生認真體會.

我們通過參數分離的方式，完成了本題的求解.那么，如果不分離參數，直接對函數f(x)的最小值進行討論，能否完成此題呢.通過引導學生合作探究，很快地，學生就得到了如下的解法.

解法2由(1)知:

①當a≤0時,f(x)在(1，+∞)上單調遞增，所以f(x)>f(1)=1>0成立.

②當0f(1)=1>0成立.

③當a>1時,f(x)在(1,a)上單調遞減,在(a，+∞)上單調遞增,所以f(x)min=f(a)>0.

即lna-a+2>0.

令g(x)=lnx-x+2，

原問題等價于解不等式g(a)>0.

所以當x>1時,g′(x)<0,g(x)在(1，+∞)上單調遞減,且g(3)=ln3-3+2=ln3-1>0,g(4)=ln4-4+2=ln4-2<0.

所以整數a的最大值為3.

評注與解法1相比,充分利用了函數f(x)的單調性，回避了復雜的求導計算，從而簡化了問題求解，也體現了分類討論思想在解決數學問題中的重要性,那么除了這兩種方法外，我們能否進一步簡化計算呢，通過引導學生思考問題的特征，有學生給出了解法3.

解法3令x=2,由f(2)>0,

所以有a<2(ln2+1)<4.

所以整數a的最大可能取值為3.

所以當x∈(1,3)時,f′(x)<0,f(x)在(1，3)上單調遞減,當x∈(3，+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(3，+∞)上單調遞增.

所以f(x)≥f(3)=ln3-1>0.

所以整數a的最大值為3.

評注解法3通過先取特殊值x=2，先縮小了a的范圍,相當于得到了關于a的范圍的一個必要條件,然后在此基礎上，進一步驗證該范圍的充分性，使得計算過程無比簡潔.

3 應用舉例

變式(2022屆高三第二次T8聯考22)已知函數f(x)=(x2-ax)lnx+x(a∈R,a>0).

(1)若1是函數f(x)的極值點,求a的值;

(2)若0

(3)若f(x)有兩個零點,求滿足題意的a的最小整數值.

本題的第三問標準答案采用的就是隱零點代換的方法.考慮到求a的最小整數值，從形式上和例題有很強的相似性，通過啟發學生思考,通過方法上的遷移應用，學生可以得到如下的解法.

解析由(2)知,當0

(1)當a=2時,因為當x>2時,g(x)=(x-2)lnx+1>1>0;

當00.

綜上,g(x)>0,g(x)沒有零點,從而f(x)沒有零點.

(2)當a=3時,因為當x>3時,g(x)=(x-3)lnx+1>1>0;

當0

綜上,g(x)>0,g(x)沒有零點,從而f(x)沒有零點.

(4)當a=4時,g(x)=(x-4)lnx+1,

g(1)=(1-4)ln1+1=1>0；

g(2)=(2-4)ln2+1<0；

g(4)=(4-4)ln4+1=1>0,

從而由零點存在性定理知道g(x)有兩個零點,從而f(x)有兩個零點.

所以a的最小整數值為4.

評注不同于答案給出的解法，通過必要性探路逐步縮小a的范圍,相當于得到了關于a的范圍的一個必要條件,然后在此基礎上，進一步驗證該范圍的充分性，使得計算過程無比簡潔,從而真正地讓學生“學透一道題，掌握一類題”，跳出題海戰術.

4 教學啟示

4.1 注重通性通法

我國的數學教學具有重視基礎知識教學、基本技能訓練和能力培養的傳統 , 新世紀的高中數學課程應發揚這種傳統.因此，我們在教學中要注重通性通法, 淡化特殊技巧, 力求讓學生熟練掌握解決數學問題的常規方法.

解法1看似計算復雜, 但在考試中可能是最容易想到的很自然的思路, 同時,我們看到此解法也恰恰體現了高考對數學基礎知識、基本思想方法和運算求解能力的考查.通過參數分離的方式求解恒成立問題，在高考真題中屢屢見到，平常我們在教學中也要重視對通性通法的研究.

4.2 吃透一道題，學好一類題

導數題作為高三月考乃至高考中的壓軸題，涉及豐富的數學思想和方法，學生要通過題海戰術提升能力往往事倍功半.這就要求教師在教學時把好選題關，精選好題.通過對典型例題的分析，發散學生的思維，讓學生真正做到觸類旁通，提升高三復習效率.

高中數學新課程標準告訴我們：“數學教學要體現課程改革的基本理念，在教學中要引導學生積極主動地學習，掌握數學的基礎知識和基本技能以及它們所體現的數學思想方法，發展應用意識和創新意識，對數學有較為全面的認識，提高數學素養.”數學教學的根本目的是培養學生的數學思想，提高學生的數學素養，通過數學學習，使學生能用數學的思考方式去觀察問題、分析問題和數學地解決問題.