利用遞推式求解數列通項問題的探究

趙雨林 孫 強

(江蘇省揚州大學數學科學學院 225009)

1 前言

1.1 鏈接新教材

在新版的蘇教版《普通高中選擇性必修第一冊》中，明確給出了數列遞推公式的概念，即一般地，如果已知一個數列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.

這是舊版蘇教版教材中未呈現過的重要概念，也體現了在強調數學核心素養的今天，遞推數列以強調邏輯推理的重要特性為載體，培養學生的數學邏輯推理能力.新教材新增了這一重要概念，更加強調了遞推數列的重要性，在未來高考中可能會越來越重視遞推數列的考查.

1.2 鏈接新高考

在2011-2020年近十年的江蘇卷中，數列問題以壓軸題的形式共出現了8年，且只有2012年考查了遞推式數列求解數列(非通項)問題.但在2021年，江蘇地區新高考中第一次采用新課標Ⅰ卷，對數列的考查放在了解答題第一題，是關于利用遞推式求解數列通項問題.

新高考較往年比，雖然降低了對數列考查的難度，但遞推式數列求解通項相關問題在近十年江蘇卷真題中出現的次數僅為一次，說明之前江蘇卷并不重視這類題型的考查.因此本文將從宏觀上分析，如何思考這類問題，如何利用好遞推式數列.

2 利用遞推關系解決數列通項問題的步驟

(3)求解.求解時，需要回歸條件，解題要思考縝密.例如，在此題中，因為數列各項為正數，則an+1+2an≠0，所以只能an+1-3an=0，由a1=1，則an是以1為首項，公比為3的等比數列.

3 常用解題策略和方法

挖掘題中條件給出的遞推式數列，是求解通項公式的突破口.在解題的這一環節中，如果對一些方法和策略不能掌握，就會影響解題.

3.1 累加和累乘

該題題干是an+1=an+f(n)(n∈N*)形式的遞推式，是最常見的遞推數列之一，求{an}的通項公式一般要用累加法.

在解題過程中，我們發現{an}的通項周期性的特征：a1=2，a2=3，a3=3，a4=2，a5=2，a6=3，….其通項以4為一個周期，那么通過2022除以4得505余2，所以S2022=(2+3+3+2)×505+(2+3)=5055.

該題題干中出現了an+1=f(n)an(n∈N*)形式的遞推式，這也是比較常見的遞推數列.

3.2 遞推消元法

①

評注此類問題的特點為用n-1替換原式中的n，再通過相減或相除，進而解決問題.

3.3 迭代法

例4數列{an}滿足a1=1,an=2an-1+3n+1，則an=____.

該題題干為an+1=pan+f(n)(n∈N*,p≠0,1)形式的遞推式，可用迭代法求解通項公式.

評注運用迭代法時，要注意尋找遞推過程中的規律.本題中，利用an=2an-1+3n+1這一遞推公式進行迭代，在迭代重復的過程中2的指數s和3的指數v滿足s+v=n+1，這樣即可快速完成迭代.

3.4 觀察配湊法

再觀察例4這道題，迭代法固然可以解決這個問題，但在計算中比較容易出錯，那可以再思考一下：是否還有其他的方法可尋？

①

從而可得an=-13·2n+3n+2.

評注當數列遞推式化為形如an+1=pan+q(p,q≠0)時，便可通過觀察配湊成an+k=p(an-1+k).倘若此題不能直接配湊出①式，還可采用待定系數的方法.

3.5 待定系數法

評注待定系數法是為了應對“湊”的時候不容易看出來的情況，利用待定系數法就會更容易解題.

3.6 數學歸納法

從題目條件中我們可以看出：這是一個分段的遞推式數列，對于這類數列，可以化抽象為具體，先著眼于分析這個數列“長什么樣子”.

由于a1=1,那么a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=5,a5=7,a6=8.

第一問要求{bn}的通項公式，即數列{a2n}的通項公式.那么，我們需要把數列{an}的偶數項拿出來，看看有什么規律.

n246…2kan258?

由表可知，數列{an}的前三項分別為2，5，8，那么我們可猜想數列{a2n}是以3為公差的等差數列.以下可用數學歸納法：

設a2k=3k-1,則a2k+1=a2k+2=3k-1+2=3k+1,a2k+2=a2k+1+1=3k+2,得證.

所以a2n=3n-1.即bn=3n-1.

評注數學歸納法是由特殊到一般的數學方法，也是培養學生邏輯推理的重要方法.在舊版的蘇教版數學教材中未呈現出數學歸納法，但新版教材中，將數學歸納法納入教材，可見其重要性的凸顯.

上述六種方法是解決遞推式數列通項問題常用的方法，在解決問題的過程中需要做到具體問題具體分析，靈活多變地根據題意選擇相應的方法.