裂項相消法在數列求和證明不等式中的應用

劉 超

(江蘇省昆山市第一中學 215399)

數列求和的本質是將多項式的和式化簡.在處理與數列相關的不等式問題時，更多地表現為數列求和的“不等式”形式，需要用到各種放縮技巧，放縮時一般是將不規則、無法直接求和的數列通過適當放縮變成可以求和的數列，從而達到證明或求解目的.較為常見的放縮方法為“類等差”“類等比”“裂項同構”等，本文主要呈現裂項相消法在數列求和證明不等式中的應用.

1 注重學生思維深刻性的培養

引例(回顧求和方法引出裂項相消法)

設計意圖通過該數列求和過程回顧數列求和的常用方法，引出裂項相消法在求和時的應用：(1)構造相鄰“同構”“差”形式；(2)列舉找規律，反復相加化簡求和.

這種錯誤在學生解決問題時很常見：思考不深入，功利浮躁，只想著得分，不想真正去解決問題.僅是相鄰還不夠，還需化成“同構式”，而且數列中列舉找規律是一種常見的方法，便于發現核心規律.

設計意圖通過問題的發現與解決，體會裂項求和的方法，感受對數列通項放縮的必要性.

設計意圖發現問題，提出數列通項放縮精度的必要性.掌握調節精度的方法，比如可從第3,4…項開始，也可以從放縮的源頭進行調節等.

設計意圖法2較法1放縮得更加精準，對比二者可以發現顯然n2-1比n2-n更加靠近n2，從而提高了放縮的精度，我們給出一般的放縮方法.

設計意圖學生不會應用函數背景下不等式恒成立模型，可以通過變形賦值構造，完成放縮找到隱數列，從而達到轉化可求可證的目的.

設計意圖培養學生類比意識，通過聯想，嘗試無理式放縮構造成相鄰項同構差形式.在變形構造的過程中注意方向性、靈活性、理解系數變化對構造形式的影響等.

2 突出對學生思維靈活性的培養

在講解完例1及其變式后，學生的思路基本上是從已知條件入手，一步步想著如何變化形式朝著目標去解決問題，有時尋找這種方法是困難的，構造方向很難想到，這會讓學生感到望而卻步.例2的設置讓學生從結論出發，不斷分析找到解決問題的途徑，給問題的解決又增添了一個思考路徑，讓學生的思維不再固化，而是變得靈活多樣起來.

設計意圖拓寬解題思路，與例1相呼應，體會解決問題時的目標意識.構造變形除了從條件出發，也可從結論出發，逐步分析，類比猜想，逆求通項.

3 讓學生經歷完整的學習過程

學習一個知識，掌握一項技能，需要經歷一個完整的學習過程，學生對這個知識或者技能才能掌握比較牢固.完整的學習過程主要包括：數學對象的獲得過程，數學對象的研究過程，應用數學知識解決問題的過程.本文的數學對象是裂項法、放縮法.引例中詳細介紹了這個知識的獲得過程，在例1及其變式中對這個數學對象進行了研究，整節課都在用它來解決問題，所以我們說本課經歷了一個完整的學習過程.正是因為這樣才能讓學生覺得學有所得，收獲感強.

運用理性思維吸引學生，引領課堂是每位老師追求的課堂效果.每堂課要樹立學生敢于質疑、善于思考，嚴謹求實的科學精神.既培養了學生的能力又提升了素養，在加深數學交流的同時增進師生友情，既學習了知識又提煉掌握了方法.