一道解析幾何定點問題的多解與簡單推廣

唐 洵

(福建省福清第三中學 350000)

1 題目呈現

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線AD與直線BP交于點M，直線DP與x軸交于點N，求證：直線MN恒過某定點，并求出該定點.

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

求解第(2)問之前先作出輔助圖形如圖1，然后可以使用線參法、點參法、參數方程法、二次曲線系、仿射變換、極點極線的結論來求解該定點坐標.

圖1

解法1(線參法)設直線BP的方程為

直線DP的方程為

所以直線BP與直線AD的交點為

將點P的坐標代入直線BP的方程

y=k1(x-2)，

整理,得

(1+2k2)(1-2k2)=-2k1(1+2k2)2.

即(1+2k2)(1-2k2+2k1+4k1k2)=0.

因為1+2k2≠0，

故1-2k2+2k1+4k1k2=0.

由點M,N坐標可得直線MN的方程為

所以直線MN過定點(2,1).

解法2 (點參法)易知直線AD的方程為

設點P(x0,y0)(x0y0≠0)，直線BP的方程為

直線MN的斜率

代入上式可得：

故直線MN的方程為

所以直線MN過定點(2,1).

故直線BP的方程為

①

②

聯立①②，解得

則直線MN的方程為

化簡,得2y-x+sinθ(x-2y)+2cosθ(1-y)=0.

所以直線MN過定點(2,1).

解法4(二次曲線系)易知直線AD的方程為x-2y+2=0，直線ND的方程為kx-y+1=0，直線BM的方程為x-my-2=0，直線AB的方程為y=0.

比較xy,y的系數可得

m+2+λk=0，4-2m-λ=0.

即m(x-4y+2)+2(x-2)=0.

所以直線MN過定點(2,1).

則橢圓C變為單位圓O:x2+y2=1.

記O,A,B,D,P,M經過變換后對應的點為O′,A′,B′,D′,P′,M′，如圖2所示，過點D′作平行于x軸的直線D′E′交直線M′N′于點E′.

圖2

又∠D′N′B′+∠B′D′N′=∠D′N′B′+∠B′A′P′

=∠D′A′P′+∠B′A′P′，

于是∠D′N′B′=∠D′B′P′.

則△B′D′M′∽∠N′O′D′.

故D′E′=O′D′=1.

即直線M′N′過定點E′(1,1).

故直線MN過定點(2,1).

解法6(極點極線結論)設點P(x0,y0)(x0y0≠0)，記直線AP,BD的交點為E.

由于直線MN為極點E對應的極線，

故直線MN的方程為

解得x=2,y=1.

故直線MN過定點(2,1).

3 結論推廣