對兩道圓錐曲線問題的探究

高繼浩

(四川省名山中學 625100)

1 問題呈現

(1)求橢圓C的方程；

題2F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點F且斜率為k的直線l與拋物線交于P，Q兩點,線段PQ的垂直平分線交x軸于點M,且|PQ|=6,則|MF|=____.

題1是北京市昌平區于2021年1月進行的高三期末質量抽測第20題,題2是山東省德州市于2021年1月進行的高三期末統一測試第16題,兩題高度相似,它們有沒有相同的本質？

2 問題解答

題1(2)解析設A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程y=k(x-1)與橢圓方程聯立,消去y，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

則Δ=144(1+k2)>0,且

(1)若k=0,則|AB|=4,|DF|=1.

(2)若k≠0,則線段AB的垂直平分線方程為

題2解析設P(x1,y1),Q(x2,y2)，將直線l的方程y=k(x-1)與拋物線方程聯立,消去y，得

k2x2-(4+2k2)x+k2=0.

即k2=2.

故線段PQ的垂直平分線方程為

3 問題推廣

下證命題2,命題1和命題3同理可證,略.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),雙曲線的半焦距為c,直線AB的方程為y=k(x-c),聯立直線AB與雙曲線的方程,消去y得

(b2-a2k2)x2+2a2ck2x-a2(b2+c2k2)=0.

(1)若k=0,則|AB|=2a,|EF|=c.

由以上命題及圓錐曲線的對稱性,我們可得如下統一結論.

4 變式探究

在上述結果中,隨著直線傾斜角的變化,線段EF的長度在發生變化,它們之間存在怎樣的關系？

只證命題5,命題4和命題6同理可證.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),雙曲線的半焦距為c,直線AB的方程為y=k(x-c).

(1)若k=0,則|EF|=c.