2020年全國高考Ⅰ卷理科數學第20題的解法與變式拓展

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

2020年全國Ⅰ卷理科數學第20題以直線和橢圓為背景，考查圓錐曲線的基本知識和直線過定點問題，考查轉化與化歸思想、推理論證能力、運算求解能力，體現了數學運算、數據推理等核心素養，是一道難得的好題，值得我們細細研究，下面我們給出本題的幾種典型的解法，并從不同角度給出了一些拓展.

1 題目呈現

圖1

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

2 題目解析

2.1 第(1)問解析

所以a2=9.

2.2 第(2)問解析

證法1 設P(6,y0)，則直線AP的方程為

聯立直線AP的方程與橢圓方程得

所以直線CD的方程為

評注用點P(6,y0)的坐標表示C,D的坐標，進而求出直線CD的方程，此解法的優點是思路自然，但缺點也很明顯，就是運算量較大.

(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

策略1合理運用韋達定理.

策略2恰當消元，減少變量個數.

策略3合理利用曲線方程簡化運算.

代入,得

在此變換下直線x=6變為x′=2，點A,B變為A′(-1,0),B′(1,0).

圖2

則tan∠P′B′x=tan∠A′B′D′=tan∠A′C′D′=3tan∠C′A′B′.

評注通過仿射變換化橢圓為圓來處理，然后利用圓的幾何性質順利解決問題，想法很巧妙，計算量很小，值得我們學習.除了以上幾種解法外，本題還可以利用曲線系的方法求解，限于中學教學實際，這里我們就不細說.

3 問題拓展

從橢圓和直線的角度來看，本題可以拓展如下：

(a2+m2b2)y2+2mnb2y+(n2-a2)b2=0.

于是n=t，直線CD過定點(t,0).

如圖3，用幾何畫板演示其結果是正確的，其本質是圓錐曲線中的極點和極線問題，但是用初等數學證明很困難.在雙曲線和拋物線中也有類似的結論，這里不再贅述.

圖3

從斜率的角度考慮，本題也可以拓展如下：

(36k2+4)x2-108k2x+81k2-36=0.

=3.

從逆命題的角度，我們可以得到如下問題：

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點M(0,1)的直線l與橢圓C交于不同兩點P,Q(異于頂點)，記橢圓與y軸的兩個交點分別為A1,A2，若直線A1P與A2Q交于點S，證明：點S恒在直線y=4上.

(2)由題意可設直線l的方程為y=kx+1，P(x1,y1),Q(x2,y2).

結合目標，消去x,得

(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2).

將韋達定理代入,得

從而y=4，即點S恒在直線y=4上.