利用導數多視角研究一道壓軸題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

1 試題呈現

題目已知曲線f(x)=lnx+2x與曲線g(x)=a(x2+x)有且只有兩個公共點，則實數a的取值范圍為( ).

A.(-∞,0) B.(0,1] C.(0,+∞) D.(0,1)

2總體分析

此題是2022年一輪復習測試卷中的選擇題的壓軸題，通過仔細分析，筆者發現有幾種不同的方法來解決此題：可以轉化為函數零點問題來解決；可以聯立方程組，轉化為有兩個實數根，再運用合適的方法化歸與轉化來解決；基于兩個函數有公共點，利用隔離直線，借助于凸凹翻轉和數形結合來解決；也可以聯立后，部分變形，化曲為直，借助臨界的切線作為工具來解決.以下具體來探討和展示求解過程，并進行類題的歸納和整合.

3 試題解答

視角1 利用函數零點求解.

解法1記h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)，則問題轉化為h(x)=0有兩個零點.

求導,得

因為x>0，當a≤0時，h′(x)<0.

所以函數h(x)=a(x2+x)-(lnx+2x)單調遞減，至多只有一個零點，不滿足題意.

評注此處直接轉化為函數零點問題求解，此時需要對字母參數的正負進行討論，再結合導數的正負得出原函數的增減，求出相應的最值，最后得出不等式求出結果，基本上就是一道解答題的運算量，作為選擇題，有些得不償失.

視角2 分離變量作答.

解法2 根據題意可知函數f(x)的定義域為(0,+∞)，兩曲線y=f(x)與y=g(x)有且僅有兩個公共點，則方程lnx+2x=a(x2+x)有兩個實數解.

由x>0可知x2+x>0.

問題轉化為直線y=a與函數y=h(x)的圖象有兩個不同的交點.

由h′(x)>0,得0

由h′(x)<0,得x>1.

所以y=h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)上單調遞減.

所以h(x)≤h(1)=1.

又x→0+時，h(x)→-∞；

x→+∞時，h(x)→0且h(x)>0.

若使直線y=a與y=h(x)有兩個交點，則需要0

評注此解法利用函數圖象的交點與方程根的聯系進行轉化，建立等式關系，接著進行變量分離，轉化為直線y=a與函數y=h(x)的圖象有兩個不同的交點，通過對y=h(x)求導，用導數判斷出單調性，作出函數的準確圖象，然后上下移動參數的值，看直線與函數交點個數即可.

視角3 利用兩曲線相切的臨界值求解.

解法3 由已知條件易知f(x)=lnx+2x為上凸函數，欲使曲線f(x)與g(x)有兩個公共點，則必有a>0.

所以g(x)=a(x2+x)為開口向上的二次函數，且為下凸函數.

不妨設兩函數切于點P(x0,y0)，分別求導,得

①

②

代入①整理,得

所以lnx0+x0=1.解得x0=1.所以a=1.

所以0

評注解決兩曲線的交點問題，可以采用數形結合思想，根據函數的圖象或者趨勢圖象，找出符合題意的條件即可.因此，用導數的幾何意義找出臨界的公切線，同時確定a的臨界值，再結合圖象得出參數的取值范圍，這種方法用來解決導數壓軸小題還是行之有效的.

視角4 利用化曲為直思想求解.

解法4由解法2，兩曲線f(x)與g(x)有且僅有兩個公共點，則方程lnx+2x=a(x2+x)有兩個實數解，且x>0.

所以lnx+2x=ax(x+1).

所以切線方程為

而直線y=a(x+1)-2恒過點(-1,-2)，

化簡，整理得

-(2x0+1)(x0-1)=(2x0+1)lnx0.

又x0>0，所以lnx0=-x0+1.

所以0

視角5去偽存真排除干擾.

解法5 令h(x)=lnx+2x-a(x2+x)，則h(x)有兩個零點.

當a=1時，h(x)=lnx+x-x2，

令h′(x)>0，得0

令h′(x)<0，得x>1.

則h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減.

所以h(x)max=h(1)=0，只有一個零點，與已知矛盾，故a≠1，排除B,D.

當a=-1時，h(x)=lnx+3x+x2，

所以h(x)在(0，+∞)上單調遞增，從而h(x)>h(0)=0，無零點，與已知條件矛盾，故a≠-1，排除C，故選A.

4 解后反思

近幾年,兩函數圖象交點問題、函數的零點問題在選擇題、填空題以及解答題中都出現過，該問題主要考查函數與方程的關系，要求學生能夠用分類討論、數形結合、轉化與化歸的思想來解決問題.對于復雜的非初等函數，利用導數的幾何意義及導數來判斷函數的單調性等來處理，問題就不難解決了.因此，學好導數對我們更好地理解函數有積極作用.

當然，解題中的不同思想和策略需要學生逐漸領悟，高考復習的終極目標是讓學生學會獨立解題.因此，對于經典試題，教師要引導學生從不同的角度進行思考，尋求多種解法.培養學生的發散思維，培養學生良好的思維品質，發展創造性思維.