能量守恒中“虛張聲勢”的彈簧問題

嚴(yán) 霓

(江蘇省常州市金壇第一中學(xué) 213200)

“機(jī)械能守恒定律”這一章，是高中物理從能量解決問題的關(guān)鍵一章，而能量守恒是機(jī)械能守恒的延續(xù)與提高，能量守恒是高中物理從能量解決問題的重要工具；彈簧類問題，更是學(xué)生們不知如何下手.本文就彈簧問題中，比較特殊的一類彈簧問題，進(jìn)行分析.希望對(duì)學(xué)生們有所幫助.

1 例題展示——發(fā)現(xiàn)問題

例題1如圖1所示，輕質(zhì)彈簧端固定在水平面上的光滑轉(zhuǎn)軸O上，另一端與套在粗糙固定直桿A處的質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))相連.A點(diǎn)距水平面的高度為h，直桿與水平面的夾角為30°，OA=OC，B為AC的中點(diǎn)，OB等于彈簧原長.小球從A處由靜止開始下滑，經(jīng)過B處的速度為v，并恰好能停在C處.已知重力加速度為g，求：A到C過程中，產(chǎn)生的內(nèi)能為多少？

圖1

例題2如圖2所示，豎直放置的輕彈簧上端與小物塊B相連，下端固定在地面上，不可伸長的輕繩穿過光滑豎直固定細(xì)管，兩端拴著質(zhì)量分別為m、7m的小球A和物塊B，拉著A使它停在管的下端.拉起A，使繩與豎直方向成一定夾角，給A適當(dāng)?shù)乃剿俣龋墒顾谒矫鎯?nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，A做圓周運(yùn)動(dòng)過程中B的位置保持不變.已知細(xì)管長l=0.8m，A的質(zhì)量m=0.1kg，B距管下端口足夠長，重力加速度g取10m/s2.彈簧始終在彈性限度內(nèi).求：

圖2

在A從管的下端被拉起時(shí)帶動(dòng)B上移，當(dāng)彈簧中的彈力大小與B靜止時(shí)彈簧彈力相等，此時(shí)B上移了0.4米，A的角速度為ω2=10rad/s做圓周運(yùn)動(dòng)，該過程中人對(duì)A、B系統(tǒng)做的功W.

2 特點(diǎn)歸納——分析問題

從上面兩個(gè)例題我們可以看出，這是一類特殊的彈簧問題：這類彈簧 “虛張聲勢”——彈簧初、末位置的形變量一樣.在整個(gè)過程中彈性勢能雖然在變化，但初、末位置彈性勢能一樣，沒有發(fā)生變化.如例題1中A、C位置彈簧的伸長量一樣；例題2中彈簧初位置處于壓縮，末位置處于拉伸，但壓縮量和拉伸量一樣.

因此，在用動(dòng)能定理或者能量轉(zhuǎn)化時(shí)，初、末彈性勢能的變化就不需要考慮，給學(xué)生的解題帶來了很大的方便.

3 方案策略——解決問題

找到彈簧的特點(diǎn)后，我們就可以“對(duì)癥下藥”，對(duì)初、末位置研究，不需要考慮彈性勢能的變化：

例題1解因AB段與BC段關(guān)于AC的中點(diǎn)B對(duì)稱，彈簧的形變量一樣，所以彈性勢能一樣，因此A到C過程中，彈性勢能變化為零，所以A到C過程中，產(chǎn)生的內(nèi)能為：2Wf=mgh

例題2解初始狀態(tài)時(shí)，B物塊靜止，繩上拉力T1=2N，設(shè)彈簧彈力為F，受力平衡有

T1+F=7mg

解得F=5N

A以角速度10rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

對(duì)A，由牛頓第二定律有T2cosα=mg

對(duì)B有T2=F+7mg

將A從初位置拉起使其以角速度10.0rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，彈簧初、末位置的形變量一樣，彈性勢能變化為零.所以人對(duì)A、B系統(tǒng)做功等于A、B動(dòng)能和重力勢能的變化.

B的重力勢能增加量ΔEpB=7mg·Δh=2.8J

A的重力勢能增加量

ΔEpA=mg·[l-(l+Δh)cosα]=0.7J

A的動(dòng)能增加量

該過程中人對(duì)A、B系統(tǒng)做的功

W=ΔEpB+ΔEpA+ΔEkA=10.65J

4 方法體會(huì)——能力提升

圖3

(1)彈簧的勁度系數(shù)k；

詳解(1)整個(gè)裝置靜止時(shí)，細(xì)線恰好被拉直，細(xì)線中拉力F1=0，彈簧長度等于細(xì)線長，對(duì)小球C，由

sinθ2=0.8

cosθ2=0.6

對(duì)小球C有

對(duì)小球A有

外界對(duì)裝置所做的功

練習(xí)2如圖5所示，質(zhì)量mB=3.5kg的物體B通過一輕彈簧固連在地面上，彈簧的勁度系數(shù)k=100 N/m.一輕繩一端與物體B連接，另一端繞過兩個(gè)光滑的輕質(zhì)小定滑輪O2、O1后與套在光滑直桿頂端的、質(zhì)量mA=1.6kg的小球A連接.已知直桿固定，桿長L為0.8 m，且與水平面的夾角θ=37°，初始時(shí)使小球A靜止不動(dòng)，與A相連的繩子保持水平，此時(shí)繩子中的張力F為45 N.已知AO1=0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos37°=0.8，輕繩不可伸長.現(xiàn)將小球A由靜止釋放.

圖5

(1)求釋放小球A之前彈簧的形變量；

(3)求小球A運(yùn)動(dòng)到直桿底端D點(diǎn)時(shí)的速度大小.

詳解(1)釋放小球A前，B處于靜止?fàn)顟B(tài)，由于繩子的拉力大于B的重力，故彈簧被拉伸，設(shè)彈簧伸長量為x，對(duì)于B根據(jù)平衡條件有

kx=F-mBg

解得x=0.1m

(2)由題意可知，桿長L=0.8m，AC=AO1cos37°=0.4m

故∠CDO1=θ=37°，DO1=AO1

當(dāng)A到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長量一樣，彈簧的彈性勢能與初狀態(tài)相等，物體B又回到原位置，在D點(diǎn)對(duì)A的速度沿平行于繩和垂直于繩方向進(jìn)行分解，平行于繩方向的速度等于B的速度，由幾何關(guān)系得vB′=vA′cos37°

對(duì)于整個(gè)過程，由機(jī)械能守恒定律得