化簡為繁 提升思維

劉玉啟

(安徽省太和中學 236600)

化繁為簡往往是廣大物理教師和學生追求的目標，在做題時往往都想找到做題的捷徑，很多老師也善于給學生總結一些短平快的解題方法，但在平時的教學中過度的追求短平快的方法，而忽略對學生思維能力的提升，猶如舍本逐末，緣木求魚，一旦題目條件發生變化，學生將會無以應對.我感覺在平時的教學中，我們還是應該加強對學生思維能力的訓練，只有學生思維能力得到提高，他們才能以不變應萬變，在考試中發揮出自己正常的水平，所以在平時的教學中我們應該把簡單的題目復雜化，復雜的題目簡單化，反復錘煉，只有這樣他們的物理思維能力才能得到提升.下面就通過三個例子來說明這個問題，以期達到拋磚引玉的作用.

例題1如圖1所示，放在光滑水平面上的長木板A的左端放著小鐵塊B(可視為質點).它們一直以v0=2 m/s的速度向右運動，A、B的質量分別為mA=1 kg，mB=2 kg.A與豎直墻壁碰撞后立即以相同的速度反方向彈回，若A板足夠長，在整個運動過程中B沒有與墻相碰也沒落到地面，A、B間動摩擦因數μ=0.5(g=10 m/s2).求：

圖1

(1)A與墻第一次碰撞后A離墻最大距離時鐵塊B的速度大小.

(2)在整個運動過程中，B相對A所能滑動的最大距離.

點評本題以“板塊模型”情景設置問題，考查了能量守恒定律、動量守恒定律等基本規律.第(1)問根據動量守恒，很容易算出A離墻距離最大時鐵塊B的速度，第(2)問用能量守恒很容易算出最終B相對于A滑動的總距離，這個方法可以說是解決這類問題最簡潔的方法，但是我們能不能化簡為繁，采用另外一種方法呢？

解析(2)當A的速度為零時，B的速度向右，故在摩擦力的作用下，B繼續減速，A向右加速，直到兩球速度相等時(設為v1)，B在A上相對運動的距離設為s1

根據能量守恒：

當A第二次與墻碰撞后，速度為-v1，方向向左，而B的速度仍為v1，經過類似過程，A、B達到共同速度v2，這時B在A上又移動距離s2，

根據動量守恒定律和根據能量守恒：

當A第三次與墻碰撞后，用同樣的方法可求得：

可見每碰一次，B在A上相對運動的距離為前一次的1/9，它們構成一個等比數列，利用等比數列求和公式可知碰無數次以后，B在A上相對運動的距離s為：

點評本題第(2)問，我們采用了逐次碰撞，逐次進行過程分析，然后根據能量守恒和動量守恒進行逐次計算，最終發現每次B相對于A滑動的距離構成等比數列，然后利用求和公式進行求解，最終得出結果.這種方法雖然繁瑣，但是鍛煉了學生的過程分析能力，計算能力，學生的思維將會得到較大的提升.

例題2三只小蝸牛所在的位置形成一個等邊三角形，三角形的邊長為60 cm.第一只蝸牛出發向第二只蝸牛爬去，同時，第二只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蝸牛爬行的速度都是5 cm/min.在爬行的過程中，每只蝸牛都始終保持對準自己的目標.經過多長時間蝸牛們會相遇？

解析如圖2可知，三只蝸牛在運動過程中，始終保持等邊三角形的形狀.同時，這個等邊三角形一邊在旋轉一邊在縮小，當縮小至一個點(中心O)時三只蝸牛相遇.在運動的過程中，每只蝸牛向著中心O的速度分量保持不變，大小總是v1=v·cos30°，因此到達O點的時間為：

圖2

點評本題思維巧妙，在三只蝸牛相對運動的過程中，始終構成一個等邊三角形，蝸牛的速度在沿著中心點O的分速度始終大小不變，即為v1=v·cos30°，當三只蝸牛相遇時一定相遇在O點，所以用開始頂點到中心O點的距離除以這個方向的分速度即可很快的求出三只蝸牛相遇的時間，可以說是很多老師和同學們普遍采用的方法，那么我們能不能用其他的方法來解決這個問題呢？

解析如圖3所示，A0，B0，C0代表三只蝸牛的初始位置.經過很短的時間，三只蝸牛分別運動到了A1，B1，C1，因為時間很短所以A1在蝸牛A的運動方向上，即A1在直線A0B0上.同理B1、C1也分別在B0C0、C0A0上.三只蝸牛的運動速度相等，所以A0A1=B0B1=C0C1，這樣三角形A1B1C1也是一個等邊三角形.

圖3

再經過一個很短的時間，三只蝸牛運動到了A2，B2，C2

再經過一個很短的時間，三只蝸牛運動到了A3，B3，C3

……

也就是說三只蝸牛在運動過程中，始終保持等邊三角形的形狀.同時，這個等邊三角形一邊在旋轉一邊在縮小，當縮小至一個點(中心O)時三只蝸牛相遇.

現在看看三角形邊長是如何隨時間變化的.

考察三角形的面積，可知：

S(△A0B0C0)=S(△A1B1C1)+3S(△A1B0B1)

變形可得：

S(△A1B1C1)-S(△A0B0C0)

=-3S(△A1B0B1)

邊長為a的等邊三角形，其面積為

△A0B0C0與△A1B1C1的邊長分別為a、a+da，帶入上式略去高階小量可得

S(△A1B1C1)-S(△A0B0C0)=asin60°dα

△A1B0B1的面積計算公式得：

代入前面的式子可得：

化簡整理可得：

根據上式可知三角形邊長隨時間變化的函數為：

這個公式是在△A0B0C0附近推導得出的，但是同樣適用于△AnBnCn.因此在三只蝸牛的運動過程中，這個公式是一直都成立的.

令a=0可得：

點評本題第二種解法對學生的能力要求較高，不僅需要較強的計算能力，還需要一定的微元分析能力，還要求學生掌握微積分的知識，所以能充分鍛煉學生的解題能力、過程分析能力，對學生的思維起到很好的提升作用，通過上面的三個例子，我們可有看出有時看似簡單的題目，從另外一個角度分析將會變為一個很有難度的問題，我們常常習慣于尋找簡單的方法，做題時常常愿意走捷徑，但在平時的教學中如果每一道題目都想著用這種簡單的方法，反而不利于學生思維能力的提升，有時我們把簡單的題目，用另外一個角度去思考，反而變的非常有意思，這樣不僅鍛煉他們的解題能力，還能鍛煉他們的過程分析，計算能力等，適合在教學中對學生的思維進行拔高.