利用還原法解決導數中的一類問題

華加婷

(江蘇省揚州大學數學科學學院 225009)

1 問題的提出

在高中數學學習過程中，解題的方法多種多樣，但一般來說，最常見的方法是“前推后”，即通過已知條件向后推算出結果.而實際操作過程中很多問題是需要“逆推”的，例如導數中的一類問題，需要將導數還原，這需要學生具備一定的邏輯推理能力.而多數學生因不知道從哪里下手，所以找不到解題的切入點，這時就需要運用多種解題方法.還原法是眾多方法之一，是依據數學規則和方法，來實現導數的還原.對于絕大多數高中生來說，能記憶某些導數的原函數，卻不知道還原原函數的方法.

為了幫助學生解決此類問題，本文介紹一種構造函數的方法：“對數還原法”，它是為了證明中值定理而采用的一種方法，其原理是將目標條件構造成兩個以e為底對數函數的形式，最終所構造的輔助函數是利用導數加減法則和對數運算法則而得.順著這個思路，將其應用在抽象函數導數的一類問題中，去探求從特殊到一般、抽象到具體的解題方法.

2 步驟初探索

一般情況下，在高考數學試題中，抽象函數和導數結合常以綜合題的形式出現.下面將以xf′(x)-f(x)=0為源頭，探索在題目給出不同條件的情況下，如何不靠“死記硬背”而靈巧地構造相應的“關鍵性”函數，從而為解決這一類問題提供切實可行的解題步驟.

在高中有兩種構造抽象函數的方法，一是利用和差函數求導法則構造；二是利用積商函數求導法則構造，其本質上是組合還原，其關鍵點是根據已知條件的特點去還原、構造.例如，當題目中出現f′(x)+g′(x)=0時，可構造F(x)=f(x)+g(x)……當然，有一部分學生能夠記住非常多的函數構造公式.雖然說這在一定程度上對解題有所幫助，但是在遇到一些更有深意、陌生的題目時，這些公式很有可能是“一把破刀”而非“利劍”.因此，為了更高效地學習數學，需探索同類題型的通法，而非是記住所有的公式.

2.1 直接構造

例1設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1)=0，當x<0時，有xf′(x)-f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-∞,-1)∪(1,+∞).

若題目中出現“xf′(x)+f(x)=0”這樣的條件，憑借經驗，自然地聯想到導數四則運算法則中的乘法法則，構造函數F(x)=xf(x).若將條件xf′(x)-f(x)=0換成含系數不等于1的式子，那么該如何解決呢？

2.2 間接構造

變式1設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1)=0，當x<0時，有xf′(x)-2f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-1,1).

若題目中出現的條件為“xf′(x)+2f(x)>0”，可模仿上述構造函數的過程，構造函數F(x)=x2f(x).

水利部門，水管部門，以及村民協會，水務集團，搭建層層的實際的交易平臺，來處理所管理區域的水權交易手續，并發放水權交易價格指導，建立水權交易賬戶，引導當事人進行合理的合法的水權交易規定，各個鄉鎮應當按照已制定的水權市場建設實施方案中的具體要求來進行交易，實時調整水權適用水量指標，建立水權交易登記制度。

變式2 設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1)=0，當x<0時，有f′(x)-2f(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

答案(-1,1).

變式3設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1)=0，當x<0時，有xf′(x)-2exf(x)>0恒成立，則不等式f(x)>0的解集是什么？

3 步驟應用

例2 (2007年陜西理改編)f(x)是定義在(0,+∞)上非負可導函數，且滿足f′(x)+f(x)≤0，則對于任意的正數a，b，若a

A.eaf(b)≤ebf(a)B.eaf(b)≥ebf(a)

C.eaf(a)≤ebf(b)D.eaf(a)≥ebf(b)

解析構造函數g(x)=ex·f(x)，對其進行求導得g′(x)=ex·[f′(x)+f(x)]，易知g′(x)≤0，故函數g(x)在(0,+∞)上單調遞減.

當a

從上面可以看出利用換元法來構造函數解題的優越性，為后續解決類似問題提供了一種簡便、可行的方法.當然，有絕大部分學生會有這樣一個困惑——“憑借經驗直接構造函數或者看選項構造函數，這樣的解法更快.為什么非要采用這個方法呢？”學生的想法固然是正確的，但是這些解法是有局限性的.

綜上，從上面的例題可以看出，作商還原的解題步驟為構造一類非常規、非常見的函數提供一定的構造思路.當然，解決問題的方法多種多樣，并非一定按照上述步驟去解題.在解題時，面對新穎的、更有深意的題目，可靈活運用解題技巧，多角度思考問題、分析問題.