例舉數列結構不良問題的解題策略

占詩源

(江蘇省建湖縣第二中學 224700)

開放性的數學問題不僅能激發學生學習的積極性，還能發展學生數學思維能力.結構不良問題是一種特殊的開放性數學問題，體現了以素養為導向的高考數學命題方向，要求學生能根據已知的問題情境，多層面多角度對問題進行分析，考慮可能出現的不同情況,尋找不同的解題思路，給出不同的解決方法.要求學生對題中給出的條件有預判能力，選出最合適的條件，以此考查學生數學思維的發散性、靈活性、創造性、嚴謹性.

1 選擇一個條件解決問題

這類數列問題的特點是從給出多個條件中選擇一個與題目中已知的條件組合起來構成完整的條件鏈進而求解問題.

已知等差數列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，____，n∈N*.

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若bn=S2n+1-S2n，數列{bn}的前n項和為Wn，求Wn.

分析題干中給出了3個條件，需要從3個條件中選擇一個求數列{an}的通項公式.若選擇條件①需要處理an與Sn之間的遞推互化關系.若選擇條件②和③都是構造關于an和d的方程解方程組.

故Sn=n2+n.

當n≥2時，Sn-1=(n-1)2+n-1，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n.

又a1=2，滿足上式，所以an=2n.

若選擇條件②：由S2=a3，得a1+a2=a3，得a1=d.

又由a4=a1a2，得a1+3d=a1(a1+d).

因為d≠0，則a1=d=2.所以an=2n.

因為a1=2，d≠0，所以d=2，則an=2n.

2 選擇多個條件重新組合解決問題

這類數列問題的特點是從給出多個條件中選擇多個條件重新組合求解問題，每個條件所涉及到的知識點和處理方法都有所不同，多個條件不同的組合會導致思維量和計算量的不同.解決這類結構不良數列問題時要找到所給出條件之間的聯系點以及與目標最為接近的條件，要求具有較強的方向性和目標性.

例2(2021年全國甲卷)已知數列{an}的各項為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

解析若選擇條件①②，證明條件③.

若選擇條件①③，證明條件②.

設數列{an}的公差為d，

則a2=3a1=a1+d.得d=2a1.

若選擇條件②③，證明條件①.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2，n=1時也滿足上式，所以an=2d2n-d2.

所以an+1-an=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2，是一個常數，所以數列{an}是等差數列.

3 從條件組中選條件解決問題

這類數列問題的處理比選擇一個條件解決問題和選擇多個條件重新組合解決問題更具有思維量，要求具有更強的方向性和目標性.

例3在①an=2n-1，3bn=2Tn+3；②2Sn=n2+an，bn=a2nSn這兩組條件中任選一組，補充在橫線處，并解答問題.

已知數列{an}的前n項和是Sn，數列{bn}的前n項和是Tn，____.

(1)求數列{an},{bn}的通項公式；

分析由題意可知，需從給出的兩組條件中選擇一組解決問題，①組直接給出了an，所以只需要通過3bn=2Tn+3求bn即可；②組需要先通過2Sn=n2+an求出an，再求出Sn，然后借助bn=a2nSn求出bn.第(2)問是由第(1)問中的an，bn構造而成的新數列cn，先求cn的前n項和，再放縮即可.

解析(1)若選條件①：由3bn=2Tn+3，可得3bn+1=2Tn+1+3，兩式相減可得3bn+1-3bn=2bn+1，所以bn+1=3bn.

在3bn=2Tn+3中，令n=1，可得3b1=2b1+3，所以b1=3.

所以{bn}是以3為首項，公比為3的等比數列，bn=3×3n-1=3n.

故數列{an}的通項公式為an=2n-1.

若選條件②：由2Sn=n2+an，可得2Sn+1=(n+1)2+an+1，兩式相減可得2an+1=(n+1)2-n2+an+1-an，即an+1+an=2n+1.

所以an+1-(n+1)=-(an-n).

在2Sn=n2+an中，令n=1，可得2a1=1+a1，所以a1=1.所以由an-n=-[an-1-(n-1)]，an-1-(n-1)=-[an-2-(n-2)]，…，a2-2=-(a1-1)=0.所以an-n=(-1)n(a1-1)=0.

設Hn=c1+c2+…+cn，則

解決數列結構不良問題時應首先認真審題找出題干中的有用信息；其次仔細分析結論信息看看缺少什么條件；最后再從所給的備選信息中選一個或多個最靠近所缺條件的信息.