含參函數(shù)中隱零點(diǎn)問(wèn)題的幾種代換策略

王利之

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 225000)

1 問(wèn)題提出

本文的研究對(duì)象為含參函數(shù)，何為含參函數(shù)？含有參數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題是：對(duì)于函數(shù)f(x,a)，其中a為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f′(x,a)=0的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)其根為x0，則由f′(x0,a)=0得出x0與a的關(guān)系.下面，我們?cè)囍鴱膸椎李}目中探究不同的代換策略.

2 探究策略，鏈接高考

2.1 直接代換

例1(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷理21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

下面對(duì)a分類討論，分為三種情況.

所以當(dāng)x∈(1,x0)時(shí)，f(x)

所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又g′(1)=0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減，在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)=1，即f(x)≥1.

即f′(x)單調(diào)遞增.

所以f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna.

綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞).

2.2 轉(zhuǎn)換主元代換

例2(2015年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷文科)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

2.3 變形代換

例3已知函數(shù)f(x)=x(ex+1-a).

(1)若a=2,求f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的最小值；

(2)若f(x)-lnx≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)a=2時(shí)f(x)最小值為0，證明略;

2.4 構(gòu)造代換

例4已知函數(shù)f(x)=xe3x，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0，f(x)-lnx≥(a+2)x+1恒成立，求a的取值范圍.