例析高中數學“齊次式”的處理策略

李云錦

(福建省廈門市海滄中學 361000)

1 齊次式

2 典型例題分析

2.1 三角中的齊次式

解析分子分母同除以cosα,得

所以tanα=-3.

評析由于分子和分母都是齊1次式的，所以將分子分母同除以cosα，就能轉化為關于tanα的方程.本題是弦與切的轉化，當分子分母是齊2次式時，可以同除以cos2α，進而得到關于tanα的方程.

例2設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為( ).

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不確定

解析因為bcosC+ccosB=asinA，

所以由正弦定理,得

sinBcosC+sinCcosB=sin2A.

所以sin(B+C)=sin2A.

所以sinA=sin2A.

所以△ABC是直角三角形.

2.2 解析幾何中的齊次式

解析設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

所以kOA·kOB=-1.

即OA⊥OB.

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點.若直線l過定點(2,-1)，求證：直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

設A′(x′1,y′1)，B′(x′2,y′2)，則

設直線A′B′的方程為mx′+ny′=1，

因為直線過點(2,-2)，所以2m-2n=1.

故直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.

2.3 函數與導數中的齊次式

所以φ(t)在(1,+∞)上單調遞減.

所以φ(t)<φ(1)=0.

例6若0

A.ex2-ex1>lnx2-lnx1

B.ex2-ex1

C.x2ex1>x1ex2

D.x2ex1

當0

當00，

所以0

所以當0

所以y=ex2-ex1與y=lnx2-lnx1的大小關系沒辦法判斷，所以選項A，B不正確.

所以g(x)在(0,1)上單調遞減.

當0g(x2)，

所以x2ex1>x1ex2，故選項C正確.

評析通過觀察不等式結構，可以將含有x1與x2的式子分開，利用齊次結構構造新的函數，進而解決問題.