例說幾道同構試題

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學新校區 363100)

近年來,不少省市高考模擬試卷或者高考試題出現借助同構解決問題的試題.比如2020年全國Ⅰ卷理科第12題,2020年全國Ⅲ卷理科第11題,2020年山東高考理科第21題等.此類試題短小精悍,思維量大,綜合性強,含金量高,成為熱點.所謂同構,即將題目所給方程、不等式、代數式等變形成為具有相同結構的形式,然后抽象出一個函數,借助該函數的單調性解決問題.其關鍵在于觀察式子的結構特征,進行恰當轉化,從而發現式子結構中隱含的共性,內在聯系.

例1(2021年福建高三四月診斷性練習)已知實數a,b滿足a=e5-a,2+lnb=e3-lnb,則ab=____.

分析本題以方程為載體考查指數式、對數式的運算,以及能否借助同構的思想解決問題.試題體現高考評價體系提出的綜合性和創新性要求,突出對數學運算素養、邏輯推理素養的考查.

解析由2+lnb=e3-lnb，得2+lnb=e5-(2+lnb).

由于a-e5-a=0,2+lnb-e5-(2+lnb)=0,

故令f(t)=t-e5-t,則f(a)=f(2+lnb).

又f′(t)=1+e5-t>0,

所以f(t)在R上單調遞增.

故a=2+lnb.

則ab=(2+lnb)b=e3-lnbb=e3-lnbelnb=e3.

評注解題的關鍵在于得到兩個形式一樣的方程,第一個是a-e5-a=0,第二個是2+lnb-e5-(2+lnb)=0,從而聯想到構造函數f(t)=t-e5-t,結合單調性求解.

變式1 已知實數α,β滿足αeα=e3,β(lnβ-1)=e4,則αβ=____.

由αeα=e3,得eαlneα=e3.

則αβ=α·e·eα=αeα·e=e4.

變式2已知實數a,b滿足a=e7-a,3+lnb=e4-lnb,求ab=____.

解析由3+lnb=e4-lnb,得3+lnb=e7-(3+lnb).

令f(x)=x-e7-x,

由f′(x)>0得f(x)在R上單調遞增.

又f(0)<0,f(6)>0,所以f(x)只有一個零點.

由f(a)=f(3+lnb),得a=3+lnb.

所以b=ea-3.

故ab=e7-aea-3=e4.

解析由已知可得aex+lna-ln(x+2)-2>0,

elna+x+lna>ln(x+2)+2.

即elna+x+x+lna>ln(x+2)+x+2.

故elna+x+x+lna>eln(x+2)+ln(x+2).

構造函數g(t)=et+t,則

g(x+lna)>g[ln(x+2)].

又g(t)在R上單調遞增,

所以x+lna>ln(x+2).

即lna>ln(x+2)-x.

令h(x)=ln(x+2)-x,易求得h(x)的最大值為h(-1)=1,所以lna>1,即a>e.

評注將題目所給不等式變形成為elna+x+x+lna>eln(x+2)+ln(x+2),進而構造出函數g(t)=et+t,借助單調性求解.

例3(東北師范大學附屬中學2020屆高三模擬考試)已知實數x,y滿足ln(4x+3y-6)-ex+y-2≥3x+2y-6,求x+y的值.

解析設m=4x+3y-6,n=x+y-2,

則m-n=3x+2y-4.

故lnm-en>m-n-2.

即lnm-m+lnen-en≥-2.

則f(t)在(0,1)單調遞增，在(1，+∞)單調遞減，所以f(t)max=f(1)=-1.

故f(t)≤-1.

所以f(m)≤-1,f(en)≤-1.

則f(m)+f(en)≤-2.

又f(m)+f(en)≥-2,故只能是

f(m)+f(en)=-2,

此時f(m)=-1,f(en)=-1.

則m=1,en=1,n=0.

則4x+3y-6=1,x+y-2=0.

解得x=1,y=1.所以x+y=2.

評注將題目所給不等式變形成lnm-m+lnen-en≥-2,進而構造出函數f(t)=lnt-t,借助單調性求解.

例4(武漢市2019屆高三模擬考試)已知函數f(x)=ex-aln[a(x-1)]+a,a>1.關于x的不等式f(x)>0恒成立,則實數a的取值范圍是____.

ex-lna+(x-lna)>ln(x-1)+eln(x-1).

令f(t)=et+t,則f(t)在R單調遞增.

由f(x-lna)>f[ln(x-1)]，得

x-lna>ln(x-1).

故x-ln(x-1)>lna.

記g(x)=x-ln(x-1),x>1，

故g(x)在(1,2)單調遞減，在(2，+∞)單調遞增，所以g(x)min=g(2)=2.

故lna<2,解得0

評注將題目所給不等式變形成ex-lna+(x-lna)>ln(x-1)+eln(x-1),進而構造出函數f(t)=et+t,借助單調性求解.

A.sinx1

C.sinx1+cosx1>sinx2+cosx2

D.sinx1+sinx2>cosx1+cosx2

解析由已知,有

則sinx1=sin(x1+x2)，所以A錯誤.

則sinx1+cosx1

同理sinx2>cosx1.

所以sinx1+sinx2>cosx1+cosx2.

綜上,故選D.

例6(2017清華自招試題)已知實數a,b滿足a2+a=3b2+2b(a>0,b>0),則( ).

A.a>bB.ab

解析由a2+a=3b2+2b,得a2+a<4b2+2b.

令f(x)=x2+x,x>0,易知f(x)在(0,+∞)上單調遞增.又f(a)

同理,由a2+a=3b2+2b,得a2+a>b2+b.

令f(x)=x2+x,x>0,易知f(x)在(0,+∞)上單調遞增.又f(a)>f(b)，所以a>b.

評注將題目所給式子變形成a2+a<4b2+2b或者a2+a>b2+b，進而構造出函數f(x)=x2+x,x>0,借助單調性求解.

通過上述例題不難發現,利用同構思想解決問題,求解的關鍵在于將不等式或者方程進行不斷變形和轉化,直到不等式或者方程兩邊出現相同的結構式子,最后構造函數,利用函數的單調性解決問題.在實際解題中必須認真觀察式子的結構特征,善于聯想和轉化,充分挖掘題目結構式隱含的共性特征.