用圖式語言助力幾何直觀

林 梅

(福建省福州第二十九中學 350028)

用圖形助力幾何直觀是培養幾何直觀的很好的策略.初中生幾何直觀能力存在萌芽期，發展期，成熟期，不管哪個時期都應以圖形為抓手，逐步培養學生的識圖、作圖、析圖的能力，要關注圖形背后的數學理性理解，不能僅僅局限于圖，而是應以圖形為載體，力爭使核心知識走向核心素養.

1 幾何直觀能力的萌芽期

1.1 看一看：培養識圖習慣

小學升初中階段即幾何直觀能力的萌芽期，小學階段學生圖形方面的訓練較少，大部分初一學生用圖意識不強.所以首先要持之以恒地培養學生的讀圖意識，加強圖感與圖形語言的強化訓練，其次要培養學生有序地進行識圖的習慣，要歸納出一類圖形的觀察方法與步驟，要培養學生有目的，有方向地識圖，準確描述圖形，養成正確的識圖習慣.以人教版教材數軸教學為例：數軸的教學這是初中第一次數形結合的教學，也是幾何直觀能力的第一次呈現，在數軸識圖階段，學生首先要明確數軸三要素，其次要懂得從左到右的順序觀察數據變化趨勢，體會數與形的相互轉化.在教學中要多鼓勵學生用圖，盡可能多的用圖形解決問題，形成知識的“心理圖像”.

1.2 畫一畫：由簡入手

除了識圖，畫圖也是小學到初中銜接階段的重要內容.作圖的過程，就是對圖形的實踐操作過程，在畫圖過程中，感悟圖形的生成過程，從而實現小學生感性思維到初中生理性思維的飛躍.但是畫圖能力并非與生俱來，教師要根據學生的認知規律，引導學生由簡單到復雜，從特殊到一般，逐級而上，從學生熟悉的圖形入手，從簡單的實物入手，通過作圖實踐，觀察操作，從實物中抽象出幾何圖形，使學生感知實物與圖形間的聯系與轉化.剛開始培養階段先學會用刻度尺和量角器量，學會畫出整厘米數的線段和整度數的角，再過渡到畫線段、角的和、差、倍、幾分之一等分線段和幾分之一等分角，然后再慢慢過渡到稍復雜的圖形.在學習簡單幾何推理時 , 教會學生利用量角器和直尺直觀理解和近似檢驗(不是證明)幾何命題.教會學生根據已知條件畫出圖形，量出未知的線段和角度 , 從而求得某些計算問題的近似解答，為學生的解題教學打好上升的階梯.同時要關注有畫圖能力發展點的教材新授課，基于畫圖視角重新設計，改進教法，借助圖形發展學生的可視化思維.

1.3 寫一寫：三種語言的轉換

文字、符合、圖形這三種語言的轉化是幾何學習的基本功，幾何中的定義、定理一般是用文字語言表述，但數學的語言更多的是符合語言與圖式語言，所以如何有效互譯，是幾何教學的重點.教師在培養學生語言互譯時要循序漸進，先訓練學生“看圖說話”，再逐步訓練學生“看圖寫話”，教學中也可用自然語言過渡到幾何語言.一開始學生的書寫可能很難一步到位準確描述，教師可通過例題先進行規范書寫地示范，學生可通過填空的方式，先是填一兩個字，再逐步到會填半行，最后到符號語言的完整表述；反過來也可以只給圖形與符號語言，要求學生進行文字語言的準確描述，或者給符號與文字語言，能畫出對應的圖形，實現文圖的轉換.

2 幾何直觀能力的發展期

幾何直觀能力的發展期，學生更多的是從感性思維上升到理性思維.教學中不再僅限于量一量，測一測，更多地要求學生會進行嚴謹地幾何推理，準確地畫圖，規范地描述圖形.因此教學中要關注這幾個方面.

2.1 思一思：理解作圖原理

尺規作圖是初中數學難得的操作內容，其表現是操作，但實質卻是圖形性質的邏輯推理，是聯系、重構、內化幾何知識的教學素材，是培育學生幾何直觀能力很好的載體.人教版教材的五種基本作圖，只有“做一條線段等于已知線段”在人教七年級上冊第四章，其余四個都在人教八年級上冊，教材的編寫意圖很明確：八上必須完成操作性訓練，也就是要求學生要會用尺規作圖做出五種基本圖形，但僅僅是按部就班掌握幾種基本操作就可以了嗎？教材從八上全等單元就已經要求靈活應用五種基本作圖構造全等圖形，從2018年開始福建省對作圖問題的考查，從基本作圖轉向了復合作圖，這就需要學生要經歷分析作圖的步驟，明確先作什么后作什么，思考作圖的合理性，知道作圖背后的原理，要發揮教師的引導作用，幫助學生融會貫通地操作作圖步驟，理解作圖背后的原理.課后作業也可以作為載體，通過布置相關的畫圖作業，充分利用教材中的基本圖形，要求學生1:1高仿真的照搬書本中的圖形，學生通過精確作圖，更容易發現基本圖形中的位置關系、數量關系等基本圖形的特征，實現鞏固畫圖技能，展現思考過程，提升畫圖能力，發展幾何直觀思維能力的目的.

2.2 畫一畫：強化作圖規范

作圖技能類，重在數學作圖的基本技能.關于基本技能，人教版教材除了五種基本尺規作圖，同時在平移，旋轉，軸對稱等內容中都設有相應課時和習題強化作圖.在新授課階段教師應準確規范地一步步進行操作性示范，準確規范地進行幾何語言相關描述，同時要按部就班地寫出畫圖的步驟，學生方面則要求在畫圖過程中要邊畫邊標注，每操作一步都必須用符號進行標注，同時會用幾何語言描述作圖過程.教師在課堂上要讓學生百花齊放，展示不同畫法的優劣，理解學生的獨立思維能力及解題能力，同時要做進一步的歸納提升，發展學生的思維，才能使畫圖教學成為幾何直觀能力培養的重要助力.

2.3 譯一譯：加強三種語言轉化

在前面已有基本的三種語言互譯能力的基礎上，進一步加強文圖轉換能力的訓練，如“讀句畫圖”練習，教學中只給出文字，要求學生利用文字畫出圖形；加強學生具備精確感知語言的能力的訓練，如進行“文字命題證明”的逆向訓練；多進行代數結構與幾何結構的聯想訓練，只有代數結構與幾何圖形的聯想越豐富，“數”、“形”之間的轉換才能越自如，思考問題的角度多變，解決問題的方法才會多變.數與式教學也是很好的切入點，教師應將數學語言互譯教學貫穿于教學的始終，利用到概念、定理、解題的各個環節，滲透培養靈活互譯數學語言的能力.

3 幾何直觀能力的成熟期

幾何直觀能力發展的成熟期，是在發展期的基礎上識圖、作圖、析圖能力的大綜合.如果說識圖更多地是聚焦于學生的認知層面，畫圖更多地聚焦于學生的動作思維層面，數學析圖則更多是關注學生思維的思辨性.體現在幾何綜合教學中，學生需學會析圖解意，借助“草圖”——幾何直觀，逆向思考，通過明確圖形中點、線、面的生長過程，了解圖形的生長思路，通過畫圖尋求解題思路，通過識別基本圖形尋找解題方向，通過用圖提升解題教學，從而發展學生的數學思維.

3.1 辨一辨：析圖再構圖

幾何圖形千變萬化，要想從繁雜的圖形中解脫出來，要從本質上把握它，認清圖形間的相互關系，揭示其中豐富的幾何內涵.因此必須要學會析圖，對圖形進行各個角度與位置的多方面分析，精細化的認識圖形.教師不僅要幫助學生對圖形特征有準確、清晰地認知，還要引導學生基于已有圖形信息，根據圖形特征進行聯想和推測，從復雜的圖形中分離出基本圖形，發現圖形中的基本元素及其關系，并由基本圖形的性質推導出復雜圖形的性質，發現隱蔽的數量關系，獲得解決問題的線索.當學生能自如的進行圖形的組合與分解時，才更能把握圖形的內涵.

例1已知點P是直角△ABC斜邊AB上一點(不與A,B重合)，分別過A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點.

圖1 圖2 圖3

(1)如圖1，當點P與點Q重合時，試探究AE與BF的關系；

(2)如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，AC=BC,CE∶AE=1∶3,△EFQ的面積等于4，求△AQE的面積；

(3)如圖3，當點P在線段BA的延長線上時，請畫出符合條件的圖形.若AC=BC,AE∶CE=1∶3,四邊形AEFQ的面積等于4，請直接寫出△BQF的面積.

圖1中是中點的基本圖形，這個圖形始終貫穿著整道題，圖2除了中點圖形還增加了異側的一線三等角及等腰直角三角形的基本圖形，三角形面積的基本圖形即高一樣的情況下，三角形面積比就是底的比.圖3仍然有中點的圖形，異側變為同側的一線三等角，三角形面積的基本圖形，還增加了共頂點雙等腰的旋轉，第(3)問除了用三角形面積的基本圖形，還可以用直角三角形的勾股定理及角平分線的基本圖形進行分析.在對問題進行詳細解析后，我們發現復雜圖形都是由基本圖形通過重疊、拼補等方法所組成.要教會學生在復雜的圖形中拆解出基本圖形，以基本圖形為抓手，尋求解題的方向與策略，洞察本質，從而實現問題的關聯與轉換.

既然基本圖形在我們幾何教學中如此重要，我們要關注基本圖形的哪些方向呢，當然是位置關系與數量關系，更進一步應該是基本圖形的應用條件及應用方法的問題.在一個幾何問題中，為什么會想到此基本圖形呢，除了題目中出現的蛛絲馬跡的線索，更重要的是這個基本圖形本身的特征，依據圖形的基本特征來決定圖形的應用.

3.2 動一動：換位揭示圖形本質

對于運動中的圖形，我們在用幾何畫板演示的過程，應該讓學生理解圖形生成的基本狀態，在運動的圖形中，動中必存在靜，理解圖形中哪些是變化的量，哪些是不變的量，“直觀出圖形的不變性質”，這才是我們要追求的圖形直觀的境界，所以在平時的教學中，要多讓圖形變一變，同一圖形改變它的不同位置或不同形態，從運動變化的角度觀察分析圖形，對圖形的位置關系與變換進行空間想象，融會貫通，把握圖形的本質.還可以只給出部分圖形，要求學生補齊全部圖形，實現局部與整體的相互轉化.甚至可以以某個知識點為生長點，不斷拓展圖形，進行圖形的重疊與累加.

從幾何直觀的視角引導數學學習，教師要不斷激活學生的圖感，不斷挖掘學生讀圖，畫圖，析圖、創圖的能力，采取合理的措施，將培養學生幾何直觀能力的理念始終貫穿于初中教學中.