理解中位線定理的生成

林龍海

(福建省福州市長樂區(qū)教師進修學(xué)校 350200)

1 三角形中位線定理的源起

三角形中位線的相關(guān)知識起源于古代兩河流域古巴比倫時期(公元前1800-公元前1600)現(xiàn)實生活中土地大小的財產(chǎn)分割.三角形中位線等于底邊的一半，這一性質(zhì)早為三千多年前的古人熟知.再到公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德在《幾何原本》卷六里給出了更一般的命題：“將三角形兩腰分割成成比例的線段，則分點連線段平行三角形的底邊”.

了解數(shù)學(xué)史幫助我們了解人類的認知經(jīng)驗的形成過程，可見基于生產(chǎn)生活的需要，數(shù)學(xué)早期要解決的問題都是與面積大小財產(chǎn)分割有關(guān)的經(jīng)濟問題.而變換是現(xiàn)代幾何的核心思想.2001年發(fā)布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗版)》，第一次把圖形變換納入義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》則在“圖形的變化”這個板塊里，整合了圖形變換的課程內(nèi)容.從2001年開始，各版本的初中數(shù)學(xué)教科書都把圖形變換作為幾何的重要內(nèi)容組織進課程資源，這說明從2001年開始，在幾何內(nèi)容中滲透變換思想成為我國幾何課程教學(xué)的重要價值取向.

2 三角形中位線定理在不同版本教材中的編排

在國內(nèi)現(xiàn)行的義務(wù)教育九個版本的數(shù)學(xué)教材中，北京師范大學(xué)出版社在第六章《平行四邊形》中安排三角形的中位線；湖南教育出版社八年級下冊第2章《四邊形》在平行四邊形、中心對稱和中心對稱圖形之后安排三角形的中位線；河北教育出版社八年級下冊第二十二章《四邊形》在平行四邊形的性質(zhì)和判定之后安排三角形的中位線；浙江教育出版社八年級下冊第4章《平行四邊形》在中心對稱和平行四邊形的判定定理之后安排三角形的中位線；江蘇科學(xué)技術(shù)出版社八年級下冊第9章《中心對稱圖形-平行四邊形》在圖形的旋轉(zhuǎn)，中心對稱，平行四邊形，特殊的平行四邊形之后安排三角形的中位線；青島出版社八年級下冊第6章《平行四邊形》在平行四邊形性質(zhì)和判定以及特殊的平行四邊形之后安排三角形的中位線定理.

這六種教材在相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)編排中主要是在平行四邊形的知識網(wǎng)絡(luò)中安排三角形中位線定理，其中發(fā)現(xiàn)中位線性質(zhì)主要是測量，觀察，操作的途徑，證明方法主要是平行四邊形法.另外，上海科學(xué)技術(shù)出版社八年級下冊第19章《四邊形》在平行四邊形內(nèi)容中，用平行四邊形的判定和性質(zhì)先證明平行線等分線段，再得出經(jīng)過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊的推論，最后利用同一性證明得到三角形中位線定理.而華東師范大學(xué)出版社(華師大版)則是在九年級上冊第23章《圖形的相似》的成比例線段，相似圖形，相似三角形之后安排中位線，用相似三角形的判定和性質(zhì)來證明三角形中位線定理.證明的方法有歐式面積法，同一法，平行四邊形法，反證法等.

2.1 歐式面積法

圖1 圖2

2.2 同一法

2.3 平行四邊形法

圖3 圖4

以上大都是在一般化的平行線分線段成比例公理認識上，發(fā)現(xiàn)并提煉出特殊化的推論，三角形中位線性質(zhì)，而平行四邊形法主要是依據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)來證明三角形中位線定理，其中不同版本的證明差異也只是細枝末節(jié)上的差異.比如人民教育出版社(下文簡稱人教版)的證明用圖4，內(nèi)核是平行四邊形法，證法稍簡潔，但證明對學(xué)生圖形分解能力要求更強.

3 理解人教版教材三角形中位線定理的編排意圖

義務(wù)教育階段，教材的編排體系直接影響學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，了解學(xué)生已有的認識，是理解學(xué)生認知的生長點.在小學(xué)階段，學(xué)生對幾何圖形面積的認識鏈?zhǔn)菑膯挝徽叫伍_始，然后擴充到一般的正方形，再伸展到長方形，割補到平行四邊形，再分切成三角形，因此小學(xué)生是先認識了平行四邊形的面積S=ah，再獲得三角形的面積公式人教版初中幾何教材的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)是怎樣的？七年級上冊第四章《幾何圖形初步》安排幾何基本概念，直線、射線、線段、角.在七年級下冊第五章《相交線與平行線》中編排了命題與定理，平移.八年級上冊《三角形》《全等三角形》之后，第十三章《軸對稱》安排了軸對稱與軸對稱圖形，等腰三角形，等邊三角形，最后安排了含30°角的直角三角形，該圖形性質(zhì)是利用等邊三角形的軸對稱性一分為二成兩個含30°角的直角三角形，發(fā)現(xiàn)特性并可以利用這樣的整體與部分的轉(zhuǎn)化構(gòu)造圖形并證明該性質(zhì).八年級下冊《勾股定理》之后安排第十八章《平行四邊形》18.1研究平行四邊形性質(zhì)和判定之后編排三角形中位線定理的內(nèi)容.九年級上冊第二十三章圖形變換《旋轉(zhuǎn)》，第二十四章《圓》，九年級下冊第二十七章《相似》27.3安排圖形位似變換.

可見人教版幾何內(nèi)容的編排是圖形變換與圖形相伴而行，呈雙螺旋式上升的結(jié)構(gòu).在平行四邊形章節(jié)安排三角形中位線定理，是從圖形變換的角度進行編排，教學(xué)研究離不開研究教材，應(yīng)是見樹木更見森林，見森林才見樹木下整體構(gòu)建知識體系.圖形變換體現(xiàn)從整體到部分，部分到整體的辯證統(tǒng)一思想.理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，更好的理解教材編排意圖，那么對比學(xué)生在八年級上冊認識并證明含30°角的直角三角形性質(zhì)的過程，是在軸對稱變換下的生成過程中發(fā)生的，以及小學(xué)階段的學(xué)生已有的幾何圖形認識結(jié)構(gòu)，學(xué)生的已有經(jīng)驗也支持他們繼續(xù)從圖形變換的土壤中生長發(fā)現(xiàn)、理解并證明三角形中位線定理.

4 基于理解人教版教材的教學(xué)處理

基于理解人教版教材的編排意圖，從有利于學(xué)生形成研究一個幾何圖形的完整經(jīng)驗考慮出發(fā)，三角形中位線定理的教學(xué)設(shè)想是緊扣圖形變換之中心對稱，抓住平行四邊形與三角形之間整體與部分的關(guān)系，由學(xué)生直觀觀察發(fā)現(xiàn)特殊事物，學(xué)生再嘗試描述特殊事物時抽象精煉圖形構(gòu)件，對新構(gòu)件下定義，用新定義描述圖形特性.在邏輯推理證明三角形中位線性質(zhì)時，由部分還原整體，通過平行四邊形法證明，獲得定理.

如圖5，有硬紙板做的一個平行四邊形，把一根細木條固定在平行四邊形的對角線的交點O處，使細木條可以繞著點O轉(zhuǎn)動.撥動細木條，發(fā)現(xiàn)了什么，并證明你的發(fā)現(xiàn).(該習(xí)題源自人民教育出版社義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊教材51頁，是教材原題，可借由GeoGebra軟件或幾何畫板軟件呈現(xiàn))

圖5 圖6

由學(xué)生通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)特殊(圖6)，精煉事物抽離本質(zhì)，描述屬性，這里用數(shù)學(xué)的語言描述事物是難點(圖7)，但恰是能力打磨點，必要的經(jīng)驗積累點.

圖7 圖8

學(xué)生嘗試定義三角形的中位線(圖7)，用數(shù)學(xué)語言描述三角形中位線性質(zhì)，教師幫助.然后在公理、定理體系下邏輯推理證明三角形中位線性質(zhì)時，還原整體，構(gòu)造平行四邊形(圖8)，用平行四邊形法證明獲得定理.之后的教學(xué)，或是討論證明細節(jié)(如圖9，圖10)，或是引入歐式面積法，都可以因時因地因人制宜靈活處理.

圖9 圖10

5 教學(xué)研究啟示

教育教學(xué)工作者在一線經(jīng)常遇到數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種問題，糾其原因是復(fù)雜的，既有學(xué)生認知水平的差異，家庭教育環(huán)境的差異，也有教師課堂組織教學(xué)的過程中沒有找準(zhǔn)學(xué)生知識的生長點，學(xué)生獲得新知的體驗過程不夠深刻等原因.“四個理解”需要教師切實地進行教學(xué)研究工作，而教育教學(xué)研究的施力點在于系統(tǒng)地理解教材，研讀教材的整體架構(gòu)，知識間的邏輯關(guān)系、重要細節(jié)等等，這樣才能接近數(shù)學(xué)的原貌理解數(shù)學(xué)，這樣才能走近學(xué)生，才能把數(shù)學(xué)教學(xué)工作做到實處.