考慮輸出約束的冗余驅動繩索并聯機器人預設性能控制

陳正升 程玉虎 王雪松

并聯機器人具有高精度、高剛度及大負載自重比等優點,已大量應用于高速搬運、運動模擬與電子制造等行業.繩索驅動并聯機器人是傳統剛性并聯機器人的延伸,它采用繩索取代傳統剛性并聯機器人的剛性桿件,具有工作空間大、桿件慣性低、可擴展性強等優點[1].

然而,由于繩索具有柔性僅能傳遞拉力,因此必須保證繩索運行過程中始終處于拉伸狀態,目前通用的做法是增加冗余支鏈形成冗余驅動繩索并聯機器人(Redundantly-actuated cable driving parallel robots,RCDPRs),通過控制冗余系統內力實現各桿件拉伸進而保證機器人正常運行.由于制造與安裝誤差的存在,機器人桿件長度、驅動裝置與負載安裝位置、驅動系統與負載等參數都存在誤差,這將產生模型不確定性,同時由于外部擾動的存在,系統擾動項不可忽略.開展冗余驅動繩索并聯機器人高速高精度軌跡跟蹤控制受到了廣泛關注,這也是目前的研究難點與熱點.動力學前饋控制[2]、神經網絡控制[3]、魯棒H∞控制[4]、自適應控制[5]以及滑模控制[6?7]等已被應用于繩索驅動并聯機器人的軌跡跟蹤控制中.

由于滑模控制對參數不確定及外部擾動具有較強的魯棒性及擾動抑制能力,因此被廣泛應用于線性與非線性系統控制中.為提高傳統線性滑模控制的收斂速度,文獻[8?9]在滑模面設計時采用非線性超平面代替傳統滑模面中的線性超平面,提出了終端滑模控制 (Terminal sliding mode control,TSMC)與快速終端滑模控制 (Fast terminal sliding mode control,FTSMC),此類控制方法不僅具有有限時間收斂特性,同時降低了控制增益,然而跟蹤誤差在零附近時TSMC 與FTSMC 的控制輸入將會出現奇異問題;文獻[10?13]通過設計滑模面中分數次冪項提出了非奇異終端滑模控制 (Nonsingular terminal sliding mode control,NTSMC)與非奇異快速終端滑模控制 (Nonsingular fast terminal sliding mode control,NFTSMC),解決了TSMC 與FTSMC 中的奇異問題;針對文獻[12?13]中由于誤差高階項的非線性系數使得控制算法設計復雜的問題,文獻[14]提出在分段點具有兩階連續的NFTSMC 算法.然而,采用上述算法取得的跟蹤精度依賴于滑模面系數的選擇,較大的系數將會取得良好的跟蹤精度,但同時也需要更大的驅動力矩,因此,研究NFTSMC 中滑模面系數的選擇方法使得其可以依據跟蹤誤差數值進行調整具有重要意義.

符號函數的使用及其增益的過估計產生的抖振現象是滑模控制面臨的另外一個關鍵問題.為了降低或消除抖振問題,國內外學者提出了邊界層滑模、高階滑模、自適應滑模與基于觀測器的滑模控制等.自適應滑模控制采用模糊規則、神經網絡、多項式對擾動項進行逼近,或對符號函數的增益項進行自適應更新,并在算法穩定性分析時確定自適應項更新率,進而保證算法穩定性[15?16].自適應方法可以獲得較小的穩態跟蹤誤差,但通常需要較大的增益才能取得理想效果,同時需要較大驅動力矩.基于觀測器的滑模控制是解決抖振問題的另外一種有效方法,該方法采用觀測器對擾動項進行估計,國內外研究學者分別采用了擾動觀測器[17?18]、擴張觀測器[19]、時延觀測器[20]、滑模觀測器[21]對滑模控制的擾動項進行估計,但擾動估計精度依賴于觀測器參數的選擇.模型不確定與擾動觀測器 (Uncertainty and disturbance estimator,UDE)采用濾波器對擾動項進行估計,目前已應用于機械系統控制的擾動估計中[22?24],且與時延觀測器相比,UDE 可以取得更好的擾動估計效果[25].然而,UDE 等擾動觀測器通常被視為低通濾波器,無法對高頻擾動進行有效估計,這將產生穩態跟蹤誤差,且觀測精度對參數選取較敏感.

上述研究僅考慮了穩態誤差,沒有考慮系統整個運行階段的輸出約束.現有針對輸出約束的研究主要采用障礙Lyapunov 函數與預設性能函數進行實現,由于基于障礙Lyapunov 函數的方法存在描述輸出性能的參數少及內在奇異性問題,使得其應用受到一定限制[26?27];基于預設性能的方法通過構建非線性函數將約束形式的跟蹤誤差轉化為無約束形式變量,同時可以通過設計指數衰減函數實現給定時間的輸出約束[28?29],該方法已被廣泛應用于機器人控制中.然而現有基于預設性能的輸出約束控制主要采用指數衰減函數,無法獲得達到預定性能的具體時間,同時由于機器人中電機與減速機輸出能力不對稱等原因,研究非對稱給定時間輸出約束具有重要意義.為實現冗余驅動繩索并聯機器人的高精度控制并解決上述方法存在的問題,本文將開展以下研究:1) 設計給定時間衰減函數與非線性變換函數,并將考慮預設性能的跟蹤誤差轉換為無約束變量,實現非對稱給定時間輸出約束;2) 提出基于精度驅動且在分段點處三階連續的非奇異快速終端滑模面進行控制算法設計,實現有限時間控制;3) 結合擾動觀測器與自適應控制優點,在預設性能控制中采用UDE 進行擾動估計,并通過自適應方法對擾動估計誤差進行補償,同時開展仿真研究,驗證本文算法的有效性.

1 動力學建模與問題描述

1.1 冗余驅動繩索并聯機器人動力學建模

動力學模型是開展控制算法研究的基礎,本節以圖1 所示具有m個自由度的冗余驅動繩索并聯機器人為對象分別開展運動學與動力學建模,該機器人由基座、動平臺和n條通過繩索連接的分支組成.坐標系 {O}和 {P} 以O和P為原點,分別固連到基座與動平臺上,其中i1,···,n;繩索與動平臺及基座的連接點為Ai和Bi,其在動平臺與基座坐標系下的位置矢量分別表示為ai和bi;p和li表示在基座坐標系下動平臺和繩索的位置矢量;動平臺中心點P的位姿即系統輸出η[pToT]T,由位置矢量p[x y z]T及姿態角度o[φ θ φ]T組成,其中歐拉角φ、θ與φ分別為關于Z軸、Y軸和X軸的轉動角度,相應的旋轉矩陣為[30]:

圖1 冗余驅動繩索并聯機器人結構原理圖Fig.1 Structural schematic diagram of the RCDPR

其中,Rx(φ)、Ry(θ) 與Rz(φ) 分別表示沿X軸、Y軸與Z軸的旋轉變換矩陣.

根據圖1,繩索i的運動方程及長度可表示為[31]:

其中,li為第i根繩索長度,dili/li為描述繩索方向的單位向量,ai與bi為常向量.隨著動平臺位姿變量η的改變,動平臺位置p與描述姿態變化的旋轉矩陣Rp將發生改變,進而使得繩索i的長度li隨之改變.

將式(2)第一部分對時間求一階導數,并對方程兩邊點乘di可得:

其中,I3與 03分別為 3×3 的單位對角陣與零矩陣.以上述運動學模型為基礎,根據Newton-Euler 方程,動平臺的動力學方程可表示為[30]:

根據牛頓運動定律,電機運動方程為:

將式(9)兩邊同時乘以S′TJT/r,并與式(7)相加,可得到繩索驅動并聯機器人一般形式的動力學方程為:

設置繩索組成的支鏈數n大于機器人自由度m,因此可以在保證機器人正常運行的情況下控制繩索內力保證其拉伸狀態.根據式(7),繩索拉力可表示為:

其中,W+WT(W WT)?1為矩陣WS′TJT的Moore-Penrose 偽逆矩陣,N為矩陣W的零空間矩陣;λ為(n?m)維的任意向量.方程(11)為繩索拉力的所有可能解,而對于給定位姿,驅動力矩τ應該是確定的而且滿足節能要求.因此,本文將繩索拉力的2 范數作為優化目標,其2 范數可表示為:

其中,Fδ為設定的最小正拉力,上式可采用二次規劃方法進行求解.

1.2 問題描述

對于冗余驅動繩索并聯機器人,假設其末端位置η與速度是可測的,本文開展的控制問題可描述為:對于動力學模型(10)與繩索拉力優化模型(13),η與ηd分別為系統輸出及其期望跟蹤軌跡,考慮系統擾動d設計驅動力矩τ,使得η的跟蹤誤差始終在預定的約束范圍內,并保證所有的繩索拉力不小于Fδ及驅動力矩最小.

2 控制算法設計與穩定性分析

引理 1[32].對于任意給定的正數η,以下不等式成立:

其中,tanh(·)為雙曲正切函數,γ為正常數.

引理 2[33].對于連續正定函數V(t),當t>0 時不等式V˙(t)≤?a0V α(t)+b0成立,其中a0、b0與α均為正值,并滿足 0<α<1,則存在 0<θ0<1,使得V(t)在有限時間Tr收斂到V0,且V0與Tr的上界分別為:

2.1 UDE 方法

UDE 方法根據系統模型、控制律及濾波器得到擾動表達式[34?35],可表示為:

其中,L?1(·)為Laplace 逆變換,?表示卷積運算,Gf表示濾波器gf的頻域表達式.文中Gf為一階濾波器,可表示為:

其中,s為Laplace 算子,T為時間常數,將式(16)代入式(17)可得:

根據式(19)可得:

注1.對于冗余驅動繩索并聯機器人系統,模型不確定項滿足假設1.外部擾動項de為機器人與環境之間的交互力,由于機電系統本身具有一定柔性,de的導數可能在極短時間內不存在,其僅對瞬態的跟蹤誤差產生影響,不改變系統收斂特性.

2.2 針對輸出約束的非線性變換

根據動力學模型,定義跟蹤誤差為:

其中,ηd為期望的位置.為實現輸出約束,對跟蹤誤差定義如下非對稱約束:

其中,ε1i>0與ε2i>0為常數,記ε1[ε11,···,ε1m]T與ε2[ε21,···,ε2m]T,且ε1i ≤ε2i,μi(t) 為給定時間衰減函數.與現有預設性能控制中指數衰減函數不同,為實現給定時間輸出約束,定義如下給定時間衰減函數:

2.3 精度驅動滑模面設計

為保證跟蹤誤差有限時間收斂,本文提出精度驅動的非奇異快速終端滑模面:

注2.式(29)中ρ1(z) 為精度驅動的時變向量函數,用于提高滑模階段跟蹤誤差z的收斂速度,同時可以根據|z|的數值調整自身大小,進而避免了跟蹤誤差收斂到穩定狀態時過大的輸入力矩;ρ2(z) 用于避免滑模面出現奇異,并保證其有限時間收斂特性.

引理 3.根據式(28)所示滑模面,構造如下系統:

其中,δ0為有界時變擾動.則z是有限時間收斂的,其收斂域為:

證明.考慮Lyapunov 函數V1zTz/2,對V1求一階導數可得:

由式(29),當ρ2i(zi)時,可表示為:

根據式(34),當|zi|>|δ0i|/(k1i+β1ik2i) 時,可得0,位置跟蹤誤差zi有限時間收斂.綜上所述,位置跟蹤誤差zi的收斂區域為:

2.4 基于UDE 的自適應滑模控制算法設計

根據式(28),滑模面的導數可表示為:

根據上式可定義控制律為:

其中,τeq為根據理想模型計算的控制律,τes為擾動估計項,τdi為魯棒控制項.根據機器人模型(10)、跟蹤誤差zi的速度(27)、滑模面(28)及其導數(36),τeq可表示為:

擾動估計項可表示為:

魯棒控制項可表示為:

為對擾動觀測誤差進行補償,選擇K4tanh(s/ε)為針對擾動估計誤差的魯棒控制項,并采用自適應方法對該項系數K4=進行估計,γ0為正常數.自適應項更新率為:

其中,λ1與λ2為正常數.根據式(16)與式(10),擾動估計值可表示為:

將式(37)代入式(43),并結合式(38)～式(40)可得到擾動估計值為:

2.5 算法收斂性證明

定理1.考慮系統模型(10)、擾動估計值(44)、控制律(38)～(40),則滑模變量s與跟蹤誤差z及是有限時間收斂的.

證明.該定理的證明分為2 個步驟,步驟1 證明滑模面具有有限時間收斂特性,步驟2 分析位置跟蹤誤差z與速度跟蹤誤差的收斂特性與收斂區域.

步驟1.為證明滑模面的收斂特性,構造如下Lyapunov 函數:

根據引理1,并將式(41)代入式(46),可得:

將自適應更新率(42)代入式(47)可得:

步驟2.根據式(50),當滿足|si|≥δ2i時,滑模面si具有有限時間收斂特性.根據引理3,zi的有限時間收斂區域為Ω1i{zi||zi| ≤max{|δ0i|/(k1i+β3ik2i),Δ1i}}.□

3 算法仿真與驗證

為驗證控制算法有效性,本文以圖2 所示的具有7 個支鏈的冗余驅動繩索并聯機器人為控制對象進行算法仿真,機器人運動學參數與慣性參數如表1與表2,各部件的慣性張量在其質心處的固連坐標系下測量.

表2 RCDPR 慣性參數Table 2 Inertial parameters of the RCDPR

圖2 帶有7 個驅動繩索的RCDPRFig.2 The RCDPR with 7 driving cables

表1 RCDPR 運動學參數(mm)Table 1 Kinematic parameters of the RCDPR (mm)

為檢驗本文提出的預設性能有限時間控制算法的有效性,將分別進行以下仿真:1)本文算法 (Pre-scribed performance sliding mode control,PPSMC);2)基于時延估計的連續非奇異快速終端滑模控制 (Time delay estimator based nonsingular fast terminal sliding mode control,TDENFTSMC)[14];3)基于自適應超螺旋[37]與UDE 的非奇異快速終端滑模控制 (Adaptive super-twisting combined UDE based sliding mode control,ASTUDESMC);4)基于UDE 的滑模控制(UDE based sliding mode control,UDESMC)[38].在仿真中設置擾動d0.2+f+104(sin 5t+sin 10t)×16×1;初始位姿為:x0459.95 mm,y0699.95 mm,z0500.05 mm,θ0?0.001 rad,φ0?0.001 rad,φ00.001 rad;選取函數quadprog 對式(13)所示優化問題求解,并設置最小拉力Fδ20 N;各控制器參數如表3.機器人期望運行軌跡為:

表3 各控制器參數Table 3 Parameters of all controllers

其中,0≤t ≤1,td1 s 為時間常數.

圖3 所示為位置跟蹤誤差及其放大圖.由于本文將給定時間Te設為0.2 s,因此,0 s 至0.2 s 為瞬態階段,0.2 s 至0.5 s 為穩態階段.對于三個平動方向,文中預設性能函數的初始值分別為?0.1 mm 與0.2 mm,穩態值為0.001 mm 與0.002 mm.可以看出,采用TDENFTSMC 與UDESMC 時,平動方向位置跟蹤誤差在整個運行階段均處于較大波動狀態,波動幅度均達到或接近1 mm,遠超出預設性能函數邊界.因此,雖然UDE 與TDE 選取了較小的時間常數,但對于快時變大擾動,僅采用擾動觀測器仍然難于取得良好的跟蹤性能.當采用ASTUDESMC 時,平動方向位置跟蹤誤差出現了顯著減低,瞬態階段幅值在0.25 mm 左右,穩態階段幅值約為0.004 mm.雖然也超出了預設性能函數邊界,但與TDENFTSMC 與UDESMC 相比瞬態與穩態誤差分別降低了50%與99%左右,這是由于ASTUDESMC 采用自適應超螺旋算法(Adaptive super-twisting algorithm,AST)對擾動觀測誤差進行補償.同時,當采用本文算法時,在整個運行階段平動方向位置跟蹤誤差均在預設性能函數邊界內.對于轉動方向,預設性能函數的初始值分別為?0.001 rad 與0.002 rad,穩態值為0.0001 rad與0.0002 rad.采用UDESMC 時,三個轉動方向的穩態與瞬態誤差均超出性能函數邊界;TDENFTSMC 算法在x與z轉動方向的瞬態階段超出了性能函數邊界;ASTUDESMC 在z轉動方向的瞬態階段超出邊界,其他時刻均在邊界內;采用本文算法時,角位置跟蹤誤差均在性能函數邊界線以內.可以看出,采用本文提出的非對稱給定時間預設性能控制時,位置跟蹤誤差在瞬態與穩態階段均可在給定時間實現預設的位置跟蹤精度.

圖3 位置與角度跟蹤誤差Fig.3 Positional and angular tracking errors

圖4 所示為速度跟蹤誤差.在平動方向上,采用TDENFTSMC 與UDESMC 算法時,平動方向的速度跟蹤誤差在整個運行階段均處于大幅度波動狀態,三個平動方向的最大瞬態幅值均在7.4 mm/s與7 mm/s 以上,對應的最大穩態幅值在5.5 mm/s與3.6 mm/s 以上;當采用ASTUDESMC 算法時,三個平動方向的最大瞬態速度跟蹤誤差分別達到了18.7 mm/s、13.6 mm/s 與12 mm/s,穩態階段的最大速度誤差均小于0.42 mm/s,且在0.6 s 以后對應值小于0.08 mm/s,這是由于該算法在擾動觀測器基礎上采用了增益較大的AST 算法,在初始階段位置跟蹤誤差較大使得速度波動劇烈,同時由于采用AST 對擾動觀測誤差進行自適應補償,穩態誤差與僅使用觀測器進行擾動估計的TDENFTSMC 與UDESMC 相比顯著降低;當采用本文算法時,三個平動方向的最大瞬態速度跟蹤誤差與穩態跟蹤誤差均小于4 mm/s 與0.02 mm/s,遠小于其他三種算法.同時,在轉動方向上,采用本文控制算法時三個方向的瞬態誤差最大,但穩態跟蹤誤差最小,對應值均小于0.00002 rad/s.這是由于本文在進行仿真時未在轉動方向施加運動,使得采用4 種控制器時轉動方向上的速度跟蹤誤差均較小,同時由于本文采用針對輸出約束的預設性能控制,在保證位置跟蹤精度的同時,由于動力學模型的強耦合性,在未施加運動的轉動方向瞬態速度跟蹤誤差較大,而瞬態誤差可保證在較小范圍.

圖4 速度跟蹤誤差Fig.4 Velocity tracking error

圖5 所示為采用本文算法時的驅動力矩及其與其他控制算法的驅動力矩差值對比.可以看出,采用本文算法時驅動力矩總體較平滑,驅動繩索3 與4 的最大驅動力矩值約為200 N·m,其他各繩索的最大驅動力矩均小于100 N·m,在實際使用中可以通過增加繩索數目以減小各繩索的最大驅動力矩或引入減速器以提高電機輸出力矩進而滿足使用要求.與其他三種控制算法相比,在初始時刻,驅動力矩的差值約為 ± 1.5 N·m,約為此時驅動力矩的 ± 10%,這是由于采用不同控制算法時各關節驅動力矩分配不同及時間延遲造成的,并未出現顯著的力矩變化.與TDENFTSMC 與UDESMC 相比,在瞬態階段的最大驅動力矩差值約為 ± 0.8 N·m,約為此時對應驅動力矩 ± 1.6%;在穩態階段,對應的最大驅動力矩差值也基本處于該水平.同時,采用本文算法時瞬態階段及0.8 s 至1 s 之間各繩索的驅動力矩值均小于ASTUDESMC 算法的對應值,繩索6 的驅動力矩差的幅值約為1.6 N·m,其他各繩索約為0.7 N·m,這是由于為實現高精度的跟蹤性能,ASTUDESMC 算法中AST 更新率增益較大產生的,其他時刻的驅動力矩差的幅值約為0.8 N·m,與此時驅動力矩相比,波動幅度較小.可以看出,采用本文算法時,在保證較高的位置跟蹤精度時,驅動力矩并未顯著增加,且與ASTUDESMC 相比,驅動力矩反而減小.

圖5 冗余驅動繩索并聯機器人驅動力矩及其差值Fig.5 Torques and torque deviations of the RCDPR

圖6 所示為采用本文算法時各繩索拉力,經過優化,各繩索拉力連續,且均大于20 N,即繩索處于拉伸狀態,符合預期要求.圖7 與圖8 分別為采用本文算法與ASTUDESMC 時自適應項系數估計值.采用本文算法時,由于初始誤差較大使得各方向的自適應項系數在初始0.1 s 內急劇增加,之后轉動方向上增益基本保持穩定,而平動方向處于緩慢上升趨勢;而當采用ASTUDESMC 時,平動方向的增益始終處于增大狀態,在終點時刻達到了500,轉動方向的增益在0.1 s 后基本保持不變,均小于0.7,這是由于轉動方向未施加運動,模型不確定部分較小,而平動方向施加運動使得模型不確定部分較大,對于快時變大擾動,雖然在算法仿真時選取的時間常數較小,但擾動估計誤差依然較大,使得平動方向增益始終處于增加狀態.圖9 與圖10為采用本文算法時分別基于跟蹤誤差e與z時各方向的滑模面數值.可以看出,由于兩種誤差尺度的不同,雖然跟蹤誤差e可以保證在預設性能函數邊界內,且基于e計算的等效滑模面數值較小,但基于z計算的滑模面數值在整個運行過程中處于大幅度波動狀態,平動與轉動方向瞬態幅值達到了330 mm與12 rad,穩態階段的波動幅值達到42 mm 與0.3 rad,因此,這也解釋了采用本文算法時圖7 所示的變化特點.提高式(42)中λ2值可以降低滑模面數值的變化幅度,同時也可以減小跟蹤誤差,但這將增大增益進而增大驅動力矩值,本文引入自適應控制的目的是可以根據使用要求減小誤差邊界值,并保證系統穩定性.

圖6 采用本文算法時RCDPR 各繩索拉力Fig.6 RCDPR＇s pull forces of the proposed controller

圖7 采用本文算法時自適應項系數Fig.7 Adaptive coefficients of the proposed controller

圖8 采用ASTUDESMC 時自適應項系數Fig.8 Adaptive coefficients of ASTUDESMC

圖9 基于跟蹤誤差e 的滑模面數值Fig.9 Sliding mode surface for tracking error e

圖10 基于跟蹤誤差z 的滑模面數值Fig.10 Sliding mode surface for tracking error z

因此,從上述位置跟蹤誤差與力矩的對比研究以及采用本文算法時的繩索拉力及自適應項系數的仿真結果可以看出,本文提出的控制算法可以實現冗余驅動繩索并聯機器人預設性能高精度軌跡跟蹤控制.

4 結論

本文提出了一種考慮輸出約束與擾動的冗余驅動繩索并聯機器人預設性能有限時間控制算法.為對機器人的輸出進行約束,設計給定時間衰減函數與非對稱變換函數,并將考慮預設性能的跟蹤誤差轉換為無約束變量;在此基礎上,設計精度驅動并在連接點處具有三階連續性能的非奇異快速終端滑模面進行控制算法設計;為避免滑模控制的抖振問題,在預設性能控制中采用UDE 方法對擾動項進行估計,同時基于自適應控制對擾動估計誤差進行補償,并從理論上證明了本文算法具有有限時間收斂特性.最后以7 自由度冗余驅動繩索并聯機器人為對象進行仿真研究.結果表明,與TDENFTSMC、ASTUDESMC 及UDESMC 相比,本文算法得到的位姿跟蹤誤差始終處于約束邊界以內,速度與角速度跟蹤誤差收斂速度快,且驅動力矩并未顯著增加,同時繩索拉力始終不小于設定的20 N,進而實現了冗余驅動繩索并聯機器人的預設性能有限時間控制.后續將開展具有固定時間收斂特性的擾動觀測器及預設性能函數的研究,進一步減小跟蹤誤差收斂時間,同時將搭建實驗平臺對本文算法進行實驗驗證.