Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的分析與應(yīng)用

鄭恩讓 陳 蓓 張 玲

(陜西科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 西安 710021)

“自動(dòng)控制原理”是自動(dòng)化、電氣工程及其機(jī)器人工程等專業(yè)的重要的基礎(chǔ)課，是“運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)”“過程控制”等系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論課。在“自動(dòng)控制原理”課程中，穩(wěn)定性分析是最重要的內(nèi)容之一。在時(shí)滯過程、網(wǎng)絡(luò)信息處理中，系統(tǒng)不可避免會(huì)存在信號(hào)、信息的傳輸延遲。若系統(tǒng)中含有純滯后環(huán)節(jié)，采用勞斯判據(jù)就不能方便的對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。尤其是當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(1)

(2)

其中當(dāng)n≥m，K>0，Ti>0，τj>0,d為實(shí)常數(shù)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定性不容易判定。而學(xué)生若對(duì)Nyquist

穩(wěn)定判據(jù)能夠理解充分，則求解此類問題就會(huì)迎刃而解。

1 問題與分析

問題提出：已知某負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中n≥m，K>0，Ti>0，τj>0，判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在課程未講授Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)判之前，對(duì)這類系統(tǒng)判定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性并不容易[1]。這是因?yàn)橄到y(tǒng)的閉環(huán)特征方程中含有e-θs這一因子，使閉環(huán)特征方程變?yōu)槌椒匠蹋蟾蛴脛谒古袚?jù)都不

容易。

Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是半閉合曲線不穿過(-1,j0)點(diǎn),且逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)的圈數(shù)N等于開環(huán)傳遞函數(shù)的正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)P。

采用開環(huán)幅相頻率特性對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍周數(shù)，即可判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因?yàn)殚]環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，其在右半S平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為零，即式N=P-Z中Z=0。實(shí)際中，只需繪制ω=0→∞時(shí)的開環(huán)幅相頻率特性曲線即可。而ω=-∞→∞時(shí)，開環(huán)幅相頻率特性曲線繞(-1,j0)點(diǎn)順時(shí)鐘轉(zhuǎn)過的周數(shù)，等于ω=0→∞時(shí)開環(huán)幅相頻率特性曲線繞(-1,j0)點(diǎn)順時(shí)鐘轉(zhuǎn)過的周數(shù)乘以2。

當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有純滯后環(huán)節(jié)時(shí)，系統(tǒng)的幅頻特性不變，相頻特性產(chǎn)生滯后[2]，因此，繪制出含有純滯后環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性，即可采用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

通過以上分析，可以通過繪制開環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性，利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判定開環(huán)系統(tǒng)含有純滯后環(huán)節(jié)、平移和純滯后環(huán)節(jié)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用

例1：某單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(3)

試分別確定d=-0.5,0,1時(shí)，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。

解答：本題考查對(duì)奈奎斯特判據(jù)的推導(dǎo)和理解。

由于系統(tǒng)含有純滯后環(huán)節(jié)，因此，要采用奈奎斯特判據(jù)。

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

(4)

整理得：

(5)

與前面分析的Nyquist判據(jù)比較可得，只要等效的開環(huán)頻率特性包圍(-(1+d),j0)，則閉環(huán)系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。

等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：

(6)

其相頻特性為:

令

解之得，ω=0.54 rad/s。

等效開環(huán)幅頻特性為:

(7)

欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則要

(8)

當(dāng)d=-0.5時(shí)，解之得，0

當(dāng)d=0時(shí)，解之得，0

當(dāng)d=1時(shí)，解之得，0

例2：定性說明純滯后特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

解答：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(9)

(10)

n≥m，K>0，Ti>0，τj>0

則有，系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性為

(11)

系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性為

(12)

由系統(tǒng)的開環(huán)幅頻、開環(huán)相頻特性可知，純滯后環(huán)節(jié)不影響系統(tǒng)的幅頻特性，而只影響系統(tǒng)的相頻特性。因此，純滯后環(huán)節(jié)的存在，會(huì)使系統(tǒng)的相角裕度減小，故閉環(huán)系的穩(wěn)定性、過渡過程特性會(huì)變差。

3 結(jié)語

在我校自動(dòng)化專業(yè)17級(jí)教改班“自動(dòng)控制原理”課程中通過講授Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，并對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)和證明，緊接著對(duì)本文提出的開環(huán)系統(tǒng)含有純滯后環(huán)節(jié)、含有位移和純滯后環(huán)節(jié)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行判定，學(xué)生易于理解和掌握。尤其是通過引入F(s)=(1+d)+G(s)H(s)，學(xué)生立即明白了通過繪制等效開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線，研究曲線對(duì)(-(1+d),j0)的環(huán)繞情況就可判定開環(huán)含有純滯后環(huán)節(jié)、含有平移和純滯后環(huán)節(jié)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過教師對(duì)Nyquist判據(jù)的講授與分析，結(jié)合實(shí)際示例，使學(xué)生對(duì)判據(jù)的理解更加深刻，學(xué)習(xí)效果明顯提高，期末考試該知識(shí)點(diǎn)成績(jī)較16級(jí)非教改班平均提高4.2分。