“高頻”課程中抽頭變換的應用條件分析

于紅旗 蓋龍杰 杜湘瑜 羅笑冰

(國防科技大學 電子科學學院， 長沙 410073)

“高頻電子線路”中常使用電容、電感等抽頭電路完成阻抗的變換，以削弱負載和內阻對LC諧振回路的影響。在“高頻電子線路”課程中，對抽頭電路的分析經常會遇到，而抽頭電路常采用抽頭變換的方法進行分析，抽頭變換的分析方法也是“高頻電子線路”課程中的一項重要的分析處理方法。通過翻閱多本教材，發現有的教材對此沒有涉及，有的則沒有明確說明具體應用條件限制。甚至在不同教學輔導材料中對抽頭電路習題采用了不同的分析方法，同一道題目出現了兩種答案。

以圖1所示的題目為例，為了簡化電路分析，將抽頭并聯電路進行阻抗變換，將抽頭部分全部變換到LC回路兩端。許多教材直接引入了接入系數p，但未詳細說明抽頭變換本身就是一種近似計算，特別是對于圖1所示的多負載情況(包含電容)。

圖1 多負載情況的抽頭電路原理圖

方法一是先將CL與C2進行并聯計算后再計算接入系數p，方法二是把CL和RL看成兩個負載分別抽頭變換至L的兩端。不同教學輔導材料給出了不同的解答方法，如文獻[2]第27頁題目2.9采用了方法一的解答；文獻[3]第29頁題2-6采用了方法二的解答。兩種解答結果完全不一樣，造成了學生的困惑。本文對抽頭變換電路一類題目的這兩種解答方法進行比較，對抽頭網絡變換方法的適用條件進行分析。以厘清抽頭電路分析這一重要分析工具的使用條件。

1 抽頭變換公式推導

首先分析兩個器件并聯時的電路阻抗。Z1、Z2分別表示這兩個器件的阻抗，則通用阻抗表達式為

Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2

(1)

通常高頻電子線路的回路滿足

X?R

因此，并聯電路兩端的阻抗可以通過阻抗并聯公式得到

(2)

由于X?R，可得

R1+jX1≈jX1

R2+jX2≈jX2

(3)

因此，可得

(4)

當次電路達到并聯諧振時，

X1+X2=0

代入(4)式，可得

(5)

結合并聯諧振時X1+X2=0，可得

(6)

由此可知，并聯諧振的阻抗等于一個并聯支路電抗的平方除兩個并聯支路中的電阻之和[1]。

接下來，我們以圖2所示的電路為例，來進行電容抽頭電路的分析。

圖2 電容抽頭變換

需要注意的是，進行抽頭變換時一定是在有并聯諧振電路的前提下才能進行，即抽頭變換不能破壞原來的并聯諧振電路。

在并聯諧振時，回路中所有電抗之和為0。

圖2電路中，根據并聯時的阻抗分析公式(6)，可知

(7)

(8)

(9)

這里的推導是在并聯諧振電路未接入負載的情況下得出的。在接負載阻抗的情況下，不少教材里都是直接給出以上抽頭變換的式子，并未做精確的計算。

下面對精確的抽頭變換做出推導。

以圖3為例，根據等效前后電流源輸出功率P不變，而P=UIS,可知等效前后C1串聯C2兩端的電壓是不變化的。根據負載阻抗等效變換前后消耗功率不變，可得

(a)待抽頭變換電路

(b)抽頭變換電路圖3 抽頭變換過程

(10)

可得

(11)

(12)

即

(13)

2 抽頭變換應用方法

通常在高頻電子線路中，經常會遇到圖1所示的電路。在分析其諧振頻率，通頻帶等特性時，不同教材給出了不同的解答方法。以下介紹兩種方法，并通過后續的仿真綜合判斷哪種方法更為合理。

已知L=0.8 uH,無載Q0=100,C1=C2=20 pF，Ci=5 pF,Ri=10 kΩ，CL=20 pF,R0=5 kΩ。

2.1 負載電容與并聯電容合并[2]

C2′=CL+C2=40 pF

(14)

所以接入系數

(15)

將RL折合到回路兩端，得

(a)計算方法1

(b)計算方法2圖4 兩種計算方法比較

(16)

跨接于回路兩端的總電容為

(17)

諧振頻率為

(18)

諧振阻抗為

RP=Q0ωpL=20.9 kΩ

(19)

把諧振電阻轉化成電感串聯的電阻r

(20)

2.2 負載電容直接抽頭變換[3]

由已知條件

(21)

(22)

(23)

(24)

則諧振頻率

(25)

諧振電阻

RP=Q0ωpL=20 kΩ

(26)

把諧振電阻轉化成電感串聯的電阻r

(27)

兩種方法得出了不同的諧振頻率和諧振電阻，原因在于方法(1)只用了一次抽頭變換，而方法(2)用了兩次抽頭變換。下面將兩種計算方法分別與仿真結果比較，并得出最終結論。

3 仿真

由于計算的諧振電阻不同，即電感串聯的電阻r不同，則根據不同r值進行兩組Multisim仿真:

3.1 r=2.09 kΩ

圖5示出計算方法1的仿真電路和波特圖。

(a)計算方法1仿真電路

(b)計算方法1波特圖圖5 計算方法1仿真

波特圖顯示諧振頻率為41.588 MHz，與方法(1)計算結果相同。

3.2 r=2 Ω

波特圖顯示諧振頻率也為41.588 MHz，可見改變電感串聯電阻對諧振頻率結果影響較小，但其與方法(2)計算結果相差較大。

理論分析和仿真都表明，第一種計算方法更為合理。

4 結語

理論分析和仿真結果表明，第一種計算方法與Multisim仿真結果更接近。理論推導表明，抽頭變換是近似計算，只有當X?RL才可以做簡單的抽頭變換。

(a)計算方法2仿真電路

(b)計算方法2波特圖圖6 計算方法2仿真

所以在實際運用中應該盡量減少抽頭變換使用的次數，并盡量在滿足X?RL的條件下使用近似變換公式，從而提高計算的精確度，得到較為準確的諧振頻率。

在實際的教學過程中，教師可以對并聯諧振回路抽頭變換進行更深入的講解，使學生充分理解抽頭變換本身的只是一種近似等效，理解等效的條件，并靈活運用在解題過程中。