幾何視角下的“數字信號處理”課程

余 磊 張海劍 夏桂松

(武漢大學 電子信息學院， 武漢 430072)

“數字信號處理”課程作為電子電工類專業信號處理方向的基礎課，要求學生深入理解基本概念，扎實掌握應用方法。該課程是一門理論性很強的基礎專業課程，概念抽象、公式繁多、內容和知識體系繁雜[1-4]。因此，有必要對“數字信號處理”課程進行體系框架的梳理和更新。在理論課程體系方面，金偉等人針對數字信號處理理論性強、公式繁雜以及用專業例證解釋存在學習時間差等問題，給出了卷積物理本質的解釋，加深了學生對卷積概念的理解[5]。劉大年等人依據“數字信號處理”課程的特點和學生的心理規律，闡明了形象化教學的必要性，提出了形象化教學的原則,這些工作對培養學生的直覺思維具有積極作用[6]。王秋生等人針對“數字信號處理”課程建設存在的實際問題，從授課內容、課程實驗、課后作業、考核方法、教學團隊等多方面，系統地闡述了面向工程實踐理念的“數字信號處理”課程建設原則、建設方法、建設成果以及對培養學生能力的促進作用[7]。在實踐課程體系方面，楊長生等人借鑒歐美等國家的高階思維內涵，分析了“數字信號處理”課程的教學現狀，結合國內高校的教育環境進行針對性的課程設計[8]。孫銳等人闡述了教學過程中的一些典型案例，通過面向實際問題和學科前沿的研究案例,增強了學生對知識的應用能力,而了解更多的學術前沿研究成果,有助于啟發學生創新性思維[9]。王艷芬等人則指出了課程改革的總體目標及具體思路，重點介紹了運用Matlab進行課程教學的教學改革步驟與實施過程，實踐證明，該改革具有自己的特色，取得了顯著成效[10]。針對應用型人才培養過程中存在的學生知識體系不完整，工程實踐能力弱等問題，丑永新等人基于企業用人需求及實際工程案例對信號類課程進行改革[11]。

教學實踐結果表明，所提出的信號類課程教學改革有效地提升了學生的科技創新及工程實踐能力。

然而，目前的課程內容大多從經典視角出發，具有如下特征：

課程中心“系統”化：在經典課程體系下，“數字信號處理”以“系統”為中心，圍繞系統的輸入、輸出和性質分析，從時域和頻域開展討論，包括時域和頻域變換、采樣重建和濾波器設計。這種面向系統的課程體系在數字信號處理發展的初期(20世紀60年代至90年代末)是合理且可行的[4,12]。原因在于，如何利用數字方法替代模擬方法是當時數字信號處理面臨的問題，解決該問題可以提升系統的魯棒性和可移植性。隨著信息化和人工智能時代的到來，目前該領域所面臨的主要問題已經從“如何替代模擬方法”轉化為“如何從數字信號(數據)本身提取有用信息”，例如多源、高維、異構數據所帶來的復雜特征提取和語義信息檢索等問題[13]。

課程方法“代數”化：作為“數字信號處理”課程的承接課程，“數字圖像處理”“語音信號處理”“信號檢測與估計”，以及研究生階段的“現代信號處理”等課程中，空間、正交、完備等幾何概念逐漸成為信號處理理論前沿研究的基礎，例如主成分分析、稀疏表示、低秩矩陣分析等[14]。現有經典課程體系僅介紹信號和系統的代數定義，缺乏對這些代數定義的幾何解釋。雖然本科階段的“數字信號處理”課程沒有涉及這些復雜的信號處理方法，但建立幾何視角下的“數字信號處理”理論體系，能幫助學生更直觀地理解代數理論下的幾何本質，為進一步學習更復雜的信號處理理論奠定基礎。

“系統”化和“代數”化的課程體系強調：課程內容以系統為研究中心，以離散信號傅立葉變換、z變換和離散傅立葉變換為分析工具，以濾波器設計為主要目的，課程講解注重定理和公式推導及其性質分析。由于概念繁雜，這種經典視角下的課程內容安排難以給學生建立一個宏觀的整體概念，導致知識體系碎片化的問題。同時，相對枯燥的代數推導過程，也極大地降低了學生的學習興趣。

針對以上問題，筆者從幾何視角引入對經典數字信號處理基本概念的重定義，建立“數字信號處理”課程體系，提高學生的學習興趣，加深其對基本概念的理解。英國數學家Michael Atiyah在《二十世紀的數學》中將代數與幾何比喻成耳朵和眼睛，代數的目標往往集中于建立一個公式，而丟掉了洞察力[15]。然而，絕不能放棄這些洞察力！傳統的教學方法注重代數推導，卻忽略了幾何描述，即如同我們失去了雙眼。而分析認為，人們通過視覺的接受和理解能力遠遠超過了聽覺。因此，從幾何視角重構的新課程體系，能夠有效去除經典課程體系中“系統”化和“代數”化的壁壘，建立更為簡潔的面向“信號”的“幾何”知識體系，并在教學過程中提升學生對本質問題的“洞察力”。

基于多年的科研基礎和教學經驗，筆者從課程特點和發展趨勢出發，在現有課程體系框架中，引入對課程核心內容(信號時域/頻域表示、采樣定理和線性時不變系統)的幾何描述，讓學生洞察到隱藏在這些理論和概念背后的幾何原理[14-17]。

1 幾何基礎

長度為N的有限長離散時間信號x[n]表示時刻為n時的樣本。我們也可以將這N點樣本表示成 維復空間中的向量

(1)

(2)

公式(1)可以理解為信號的分解過程，公式(2)可以理解為信號的合成過程。信號的分解過程通過計算信號在基向量上的分量來分析信號的性質；信號的合成過程利用基向量線性組合來表示信號向量。基于上面的信號分解和合成，我們可以從幾何視角對“數字信號處理”課程中的幾個重要概念進行重構。

2 幾何視角下的“數字信號處理”課程

2.1 信號時域表示

時域離散信號可以表示為單位脈沖序列的延遲加權疊加

(3)

寫成向量的形式為

(4)

(5)

2.2 信號頻域表示

對離散時間信號進行離散時間傅立葉變換(DTFT)可以得到信號的頻域表示

定義bω[n]ejωn，那么DTFT變換可以表示為如下內積形式

信號的時/頻域表示是信號處理的基礎，我們將這一問題的經典描述和幾何描述分別列在表1中作為對比。

表1 信號的時/頻域表示

2.3 連續時間信號的采樣

連續時間信號x(t)的采樣過程一般包括：抗混疊濾波、采樣保持、AD轉換。重建過程一般包括：DA轉換和低通濾波重建。假設抗混疊濾波器的沖激響應為h(t)，濾波輸出為

以周期T采樣后得到離散時間信號x[n]為

(6)

其中函數{φn(t)}n∈構成一組由Sinc函數組成的正交基向量，且φn(t)∈L2。定義基向量{φn(t)}n∈展成的空間為span{φn(t)}n∈∈L2，那么采樣過程(6)可以看作是將連續時間信號 投影到基向量φn(t)的過程，對應的第n個投影坐標就是第n個樣本值x[n]。

根據奈奎斯特采樣定理，在時域中由離散樣本重建連續時間信號的表達式為

(7)

表2 采樣定理的經典描述和幾何描述對比

2.4 線性時不變系統

線性時不變系統的輸出序列y[n]為輸入序列x[n]和沖激響應序列h[n]的卷積

系統輸入輸出關系的向量形式為

(8)

(9)

表3 線性時不變系統的經典描述和幾何描述對比

3 基于幾何視角課程體系的前沿拓展

基于表1-3中這些課程核心概念的幾何解釋，我們可以很容易的將現有學術前沿問題引入到課程教學中來，例如：

(2)采樣過程的經典描述雖然能得到頻譜周期延拓的結論，但是推導過程復雜，很容易讓學生忽視了Nyquist定理的充分非必要性。另一方面，采樣過程的本質內容是如何對連續信號進行離散表示，但學生學完采樣定理后僅了解了Nyquist頻率。從幾何的角度可以很容易地分析出來；無失真重建和有失真(混疊)重建的本質內容是連續信號是否在采樣所使用的基向量展成的空間中，如表2所示。同時，基于幾何描述，是否存在其他的采樣方式，其基向量與Sinc函數不同？從而引導學生去關注采樣定理提出后的60余年間該領域的新發展，例如壓縮感知理論[21]。

(3)在經典描述中，線性時不變系統的輸出為輸入和系統沖激響應的卷積和。由于卷積的交換律，學生在系統和信號之間很容易混淆，二者具有一定的不可分問題。在幾何描述下可以發現，系統決定了輸出信號所在的空間，而輸入信號決定了輸出信號在該空間中的位置。基于這一概念，可以引導學生進一步研究基于大量輸出信號的盲系統辨識問題。

4 結語

針對經典體系中課程中心“系統”化和課程方法“代數”化所帶來的碎片化問題，我們重新構建了以“信號”為中心的“幾何”知識體系。通過引入幾何視角下對信號和系統的描述，將經典課程體系中的概念和方法用幾何框架中空間、正交、投影、合成等概念來重新定義。可以發現，幾何視角的課程體系更系統、更本質地詮釋了數字信號處理課程中的概念和方法。