PC簡支梁預應力效應與結構自振頻率研究

周國賢

(北京市建設工程質量第三檢測所有限責任公司，北京 100037)

0 引 言

隨著預應力混凝土結構在我國橋梁工程領域的廣泛應用，其在服役過程中受荷載和環境的影響，產生不同程度的預應力損失，導致結構的使用性能下降。準確快速識別現存有效預應力，對結構性能的量化評估具有重要意義。

利用結構自振頻率來識別預應力筋的有效應力是一種理論可行的無損檢測方法。由經典理論[1]提出的梁在軸向力作用下橫向自由振動方程得到隨軸向力增加，固有頻率減小的結論，為預應力有效應力識別提供了理論依據。但Saiidi[2]等人對一系列預應力損失的情況進行動力試驗表明一階自振頻率隨著軸向力的增大而增大，與預測結果不符。對于Saiidi的試驗結果：Dallasta和Dezi[3]認為在線彈性范圍內，預應力對梁彎曲振動頻率的影響可以忽略，出現上述情況是由于未考慮預應力筋的非線性效應。Jain和Goel則指出預應力屬于結構內力，不會引起“壓縮軟化”效應。Miyamoto[4]等人分析體外預應力加固梁結構時建立的考慮預應力增量的運動方程卻得到隨預應力增大，自振頻率趨于降低的結論。Chan和Yung[5]也在預應力識別的理論研究中指出“壓縮軟化”效應造成橋梁自振頻率隨預應力的增大而降低。而Hamed和Frostig[6]通過能量法對粘結與無粘結情況分析中得出預應力大小不會影響結構自振頻率的結論。

同時，預應力效應與結構自振頻率的關系受到多種因素的影響。張耀庭[7-8]等人通過對粘結和無粘結簡支梁試驗，都得到預應力增大，結構自振頻率增大的結果。劉齡嘉[9]等人通過不同梁截面試驗得出預應力對混凝土梁的振動頻率的影響與梁截面形式有關，而且振動頻率隨預應力值的增大而增大。陳一飛[10]等人通過三根無粘結簡支梁試驗得出預應力對頻率的影響分為前后兩個階段。(1)前期，自振頻率隨著預應力增加而增加；(2)后期，自振頻率隨著預應力增加而下降。并將其歸結于預應力對混凝土內部微裂紋的作用。熊輝霞[11]等人基于損傷理論對結構彈性模量分析提出了負損傷理論，認為預應力提高了彈性模量，從而增強結構剛度。吳澤玉[12]等人又討論了不同布筋形式對自振頻率的影響，得到直線布筋對頻率的影響小于折線布筋和曲線布筋，折線布筋對頻率的影響略大于曲線布筋。譚國金[13]等人提出了偏心直線配筋的預應力簡支梁自振頻率計算方法，公式表明自振頻率隨預應力增大而增大，而且與偏心距有關。

目前，預應力效應機理尚未明確，現有的結構動力檢測方法并不能直接用于評估橋梁的內力狀態，尤其是預應力橋梁結構中現存應力的識別。預應力構件作為結構的承重體系的主要構件，預應力損失過大必定影響結構的安全性，而預應力效應機理及其影響因素研究是建立有效預應力快速識別指標的基礎。

1 預應力效應機理分析

1.1 有無“壓縮效應”分析

經典理論對承受軸向力的梁做出了分析，給出了考慮軸向力影響的梁的彎曲振動方程。

(1)

自振頻率表達式為

(2)

式中：m(x)為分布質量；N為軸力；EI(x)為彎曲剛度；ωn為n階自振頻率。

顯然，軸向力與曲率的乘積形成了作用在梁上的附加豎向荷載，導致頻率降低。

值得注意的是，經典模型中的軸向力與預應力產生的等效軸力并不相同，對于預應力結構，任何配筋形式的梁在振動過程中，預應力筋與梁軸線相對位置不會發生改變，其產生的等效軸力方向會隨曲率變化而變化，從而振動方程中軸力與曲率的乘積始終為零，微元兩側軸力受到預應力筋長度變化的影響，數值會增大，但不會對梁產生附加豎向荷載，即預應力等效軸力只是改變了結構的應力水平，并不會引起“壓縮軟化”效應，其橫向振動方程仍為

=P(x,t)

(3)

自振頻率計算式為

(4)

1.2 影響因素分析

公式(4)表明結構自振頻率與跨度L、彈性模量E、截面慣性矩I、分布質量m有關。結構跨度是結構設計的重要參數之一，高跨比能夠直接反應結構的整體剛度，從而對結構自振頻率產生直接影響。然而，對于已有預應力結構，跨度和質量往往是固定的，不會引起自振頻率的變化。文獻[11]中試驗表明應力水平與材料彈性模量之間存在關系。預應力結構中由于預應力的存在，給予了結構一個初始的應力狀態，從而引起材料內部的變化，使得混凝土原生微裂縫收縮，從而提高彈性模量，增強結構剛度，結構自振頻率隨預應力的增大而增大。隨預應力的不斷增大，結構處于高應力狀態，當預應力達到一定限值時，繼續增大預應力，混凝土內部開始出現由預應力產生的次生微裂縫，降低了結構的剛度，導致自振頻率下降，從而表現出兩階段的性質。結構采用不同的配筋形式和偏心距會影響截面慣性矩的計算，對于曲線和折線配筋的橋梁結構，截面慣性矩沿橋梁長度方向發生變化，由于配筋形式引起截面慣性矩變化導致結構的自振頻率與配筋形式有關。對于直線配筋的結構，截面慣性矩沿梁的長度不會發生變化，但是改變偏心距同樣會對截面慣性矩產生影響。因此，預應力效應對結構自振頻率的影響是預應力對彈性模量和截面慣性矩綜合作用的結果。

2 粘結和無粘結機理分析

2.1 截面慣性矩取值

對于粘結和無粘結預應力結構均不會產生“壓縮軟化”效應，二者在預應力大小等值的情況下使結構處于相同的應力狀態，所以彈性模量變化是相同的。但是對于粘結預應力結構，預應力筋與混凝土之間能夠共同工作，設計[14]中采用換算截面計算結構剛度，而無粘結預應力結構預應力筋與混凝土之間可以相對滑動，采用去除管道面積的凈截面計算結構剛度。考慮截面慣性矩取值，粘結預應力結構的自振頻率要大于無粘結預應力結構。

2.2 變形協調

在振動過程中，由于混凝土與預應力筋之間存在粘結力，使得預應力筋的變形與周圍混凝土的變形保持一致，即在動力反應中，預應力筋與混凝土變形協調。對于無粘結預應力結構預應力筋與混凝土之間可以發生相對滑動，預應力筋的變形與周圍混凝土的(軸向)變形并不一致。為了分析粘結與無粘結預應力結構變形協調對自振頻率的影響，可以將預應力結構視為混凝土與預應力筋兩個子結構，計算預應力筋對整體結構剛度的貢獻大小。忽略預應力筋的彎曲剛度(拉力影響的分布參數體系)，其自振頻率可采用下式[6]。

(5)

式中：Lcable、mcable和T分別表示預應力筋長度、分布質量和拉力。

可以看到，影響預應力筋自振頻率的關鍵參數是拉力T。在拉力相同的情況下，預應力筋對結構剛度貢獻與其和混凝土工作時的接觸方式有關。粘結預應力筋受到周圍混凝土的固結約束，而由于無粘結預應力筋存在套管，混凝土不能形成對預應力筋的軸向約束，使得在振動過程中，無粘結預應力筋的軸向應變小于相應位置上混凝土的應變，粘結預應力筋則與相應位置混凝土應變相同。振動過程中，由于粘結預應力筋增量產生的附加拉力ΔT大于無粘結預應力筋產生的附加拉力ΔT′，從附加預應力大小的角度，粘結預應力結構自振頻率大于無粘結預應力結構。

變形協調對自振頻率的影響還可以從能量角度得到解答，體系中的總能量包括系統動能和應變能。

(6)

式中:E為系統總能量，EK為系統動能，ES為應變能，ρ為密度，u(x,t)為結構的橫向位移，“·”表示位移對時間的導數，σx和εx、σxcab和εxcab分別表示混凝土應力應變和預應力筋應力應變。

由于預應力筋有無粘結與結構密度和結構橫向位移無關，所以兩種情況系統動能理論上等值，其主要差異在于系統應變能中由預應力筋變形產生的應變能。由上述對預應力筋附加拉力的分析可知，與混凝土接觸方式導致無粘結預應力應變能小于粘結預應力筋應變能，即在給予結構相同初始振動條件下，采用無粘結形式的結構振動應變能總是小于相同條件下粘結預應力結構，即粘結預應力結構的剛度大于無粘結結構，粘結預應力結構自振頻率大于無粘結預應力結構。

2.3 接觸剛度

預應力筋有無粘結還存在與混凝土的接觸剛度問題，對于接觸剛度有如下結論[15]。動態相對位移幅值越大，動態接觸剛度增量和接觸阻尼也越大。粘結預應力筋與混凝土的接觸剛度明顯大于無粘結情況，所以在相同位移幅值情況下，其接觸阻尼大于無粘結情況，已有試驗[16]也表明粘結預應力結構阻尼較大，其耗能能力優于無粘結預應力結構。

粘結與無粘結預應力結構自振頻率影響是上述三個方面的綜合作用，對截面慣性矩取值和變形協調影響分析得到粘結預應力結構自振頻率大于無粘結預應力結構，考慮接觸阻尼，粘結預應力結構擁有較好的耗能能力。

3 分析驗證

3.1 模型建立

對文獻[16]中試驗梁進行建模分析，梁的計算跨度為4 000 mm，矩形截面高300 mm，寬200 mm，截面上部配置2根直徑14 mm的HRB335架立筋，底部配置3根直徑18 mm的HRB335縱向鋼筋，曲線配置2根預應力直徑15.2 mm的低松弛高強鋼絞線。梁體材料為C40混凝土，彈性模量為3.45×104MPa，阻尼比為0.05，預應力鋼絞線彈性模量為1.95×105MPa，阻尼比為0.02。

模型采用一致質量法和Lanczos法對結構進行動力分析，得到結構的前三階自振頻率，模型所得數據與試驗和ANSYS模型數據統計見表1。采用midas Civil建立的結構模型計算結果，一階頻率與試驗數據的最大誤差為3.7%。利用該模型可以分析不同線型的預應力筋自振頻率的變化規律。

表1 模型結果與文獻[16]數據對比

改變布筋形式和偏心距分析粘結與無粘結預應力結構，可以得到不同線型和不同偏心距簡支梁的自振頻率變化規律。對預應力筋形狀分為直線、折線和拋物線三種，其中直線偏心距又分為0 mm、50 mm和100 mm三種，折線和拋物線偏心距分為50 mm和100 mm兩種。運行分析得到不同條件下簡支梁的一階自振頻率，通過比較不同條件下一階頻率的變化規律，分析偏心距和線型對粘結與無粘結預應力簡支梁動力特性影響。

3.2 粘結預應力結果分析

對于粘結預應力結構，不同布筋形式的截面慣性矩的取值不同，相同偏心下，直線配筋沿梁長度方向上預應力筋換算面積與混凝土梁中性軸之間的距離不變，且數值與偏心距e相等。曲線配筋和折線配筋的預應力筋與中性軸之間的距離沿梁長度方向發生變化，且數值≤偏心距e。所以相同偏心距下，直線配筋慣性矩最大，曲線配筋略大于折線配筋，由自振頻率計算式(4)，結構自振頻率：直線>曲線>折線。直線偏心不同偏心距，截面慣性矩按下式計算

I=Ih+Is+(αEp-1)Ap×e2

(7)

式中：Ih和Is分別表示混凝土截面慣性矩和普通鋼筋的換算截面慣性矩，αEp為預應力筋彈性模量與混凝土彈性模量之比，AP為預應力鋼筋截面面積，e為偏心距。

公式(7)表明截面慣性矩取值與偏心距e的平方成正比。結構自振頻率隨偏心距增大呈現非線性增長。

通過模型數據作圖分析，發現對圖粘結預應力不同條件下一階頻率的變化趨勢與理論分析一致。

(1)相同偏心下，一階頻率直線布筋最大，曲線次之，折線最小，三者之間呈現線性增長關系。

(2)直線偏心下，一階頻率隨偏心距增大呈現非線性增長，偏心距越大頻率增長速率越快。

3.3 無粘結預應力結果分析

對于無粘結預應力結構，截面慣性矩采用去除孔道的凈截面計算。

I=Ik+Is+[(αEp-1)Ap-AK]×e2

(8)

式中:AK為預應力孔道面積，其余各項含義同式(7)。由于直線配筋距離截面中性軸最遠所以慣性矩損失最大，曲線次之，折線最小。由自振頻率計算式，不同配筋形式的自振頻率關系為：直線<曲線<折線。同理，直線配筋不同偏心的情況，自振頻率隨偏心距增長非線性下降。無粘結預應力不同條件下一階頻率的變化趨勢與理論分析結果一致。

(1)相同偏心下，一階頻率折線布筋最大，曲線次之，直線最小，三者之間呈現線性增長關系。

(2)直線偏心下，一階頻率隨偏心距增大呈現非線性下降，偏心距越大頻率下降速率越快。

上述規律表明粘結預應力簡支梁結構與無粘結預應力簡支梁結構自振頻率表現出相反的的性質。粘結預應力簡支梁一階自振頻率按照直線布筋、曲線布筋和折線布筋依次近似線性遞減(忽略考慮尺寸效應)，而無粘結預應力簡支梁則接近線性遞增。考慮直線配筋不同偏心時，粘結預應力結構一階自振頻率隨偏心距增加呈非線性增長，偏心距越大，頻率越高，變化速率越快。無粘結一階自振頻率隨偏心距增大快速降低，偏心距越大，頻率越低。總體來看粘結預應力簡支梁一階頻率要大于無粘結簡支梁，其中直線布筋差別最為顯著，曲線次之，折線最小，分別為1.24%、0.87%和0.47%。考慮截面慣性矩的影響，討論預應力線型和偏心結構自振頻率的變化時，粘結預應力和無粘結預應力的變化趨勢相反，實際工作中應該將兩者分開考慮。同時，表1中數據，無粘結和有粘結預應力筋的一階頻率試驗結果分別為30.68 rad/s和33.19 rad/s，由頻率計算公式(4)，剛度比為頻率比的平方，可以得到無粘結的剛度為有粘結的85.4%。

圖1 粘結與無粘結預應力一階頻率變化趨勢

4 結 論

(1)從有無豎向附加荷載分析預應力不會產生“壓縮軟化”效應，軸向力模型不適用于預應力結構。預應力效應通過引起彈性模量和截面慣性矩的變化影響結構自振頻率。

(2)從截面慣性矩取值、變形協調和接觸剛度討論了粘結和無粘結預應力結構影響自振頻率的差異，粘結預應力結構自振頻率大于無粘結預應力結構。

(3)考慮截面慣性矩的影響討論預應力線型和偏心結構自振頻率的變化時，粘結預應力和無粘結預應力的變化趨勢相反，實際工作中應該將兩者應該分開考慮。