回歸電路分析 杜絕死記二級結論
——賞析2021年上海市高三物理競賽一道電路試題

涂 泓

(上海師范大學數理學院 上海 200234;上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室 上海 200234)

高中物理開始接觸全電路歐姆定律，由此產生了一類常見題目，即求電源輸出功率達到極大值時，電源內阻和外電路電阻之間的關系[1～3].電源輸出功率極大值問題是高中物理中的重要考點，既能考查學生對全電路歐姆定律、電功率等知識的理解，又能考查學生利用求極值等數學方法分析解決問題的能力.

然而，在實際的教學過程中，由于這類題大多比較相似，即使變形后的計算過程和結論也比較相似，因此，多加練習的結果相當于對學生進行重復訓練，以至于大多數學生并不通過計算，而是直接記住了“當內阻等于外電路總電阻時電源輸出功率最大”這個結論，甚至完全忘記了這個結論是如何得到的.在這種情況下，這類必做題已經失去了其理應發揮的作用.

如何才能打破學生的這一固定思維呢？其關鍵在于改變這類題目千題一面的狀態，設計一些學生僅靠熟記二級結論無能為力的題目.第15屆上海市高三物理競賽中的一道題目提供了一個很好的例子，其外電路是由多個相同的燈泡并聯而成的，改變燈泡的個數測得相應的電源輸出功率.由于外電路的總電阻不是連續變化的，因此，采用針對外電阻連續變化的數學方法所求得的電源輸出功率極值，事實上不一定能達到，這樣學生就必須從分析電路變化入手.下面我們對這道題做具體分析和拓展.

1 原題及解答

【原題】N個電阻均為R的燈泡并聯后與電動勢為E，內阻為r的電源相連.用不同個數的燈泡實驗發現，當N=5時，這些燈泡消耗的總功率P最大，求內阻r的取值范圍.

解答:首先寫出N個燈泡并聯時電源輸出功率P的表達式.不難算出，此時電路的總電流為

因此，電源輸出功率

(1)

按題意，并聯5個燈泡時的輸出功率P5既大于并聯4個燈泡時的輸出功率P4，也大于并聯6個燈泡時的輸出功率P6.因此，利用式(1)可得到以下兩個不等式,對于

P5>P4

即

解得

對于

P5>P6

即

解得

綜合以上兩式,可知r的取值范圍為

也就是說，只要電源內阻r在此范圍內時，改變并聯燈泡的個數，都會在5個燈泡時測得電源輸出功率最大.

2 對取值范圍的解析

正確答案只給出了電源內阻的可能取值范圍，為什么不能求出其確定值呢？我們可將通過數學方法求得的極值與這一范圍作比較，由此分析其中的原理.

為了求電源輸出功率的極值，將式(1)寫成以下形式

(2)

圖1 P-N圖

因此，根據本題所給條件“當N=5時，這些燈泡消耗的總功率P最大”，并不能斷定5個燈泡并聯時的電源輸出功率就是電路中電源輸出的最大功率，能夠確定的只是P5>P4和P5>P6.由這兩個不等式只能得出電源內阻的取值范圍，而不能得出內阻的確定值.

3 內阻必須在此取值范圍內的合理性

電源內阻是否必須在以上解出的范圍內才能滿足題目的要求呢？我們也可以由圖像來分析這一范圍的合理性.

圖2 3種內阻對應的P-N圖

我們對這3種電路的詳細分析如下.

對應的P-N圖

對應的P-N圖圖3 不同r對應的P-N圖

由此可見，只有當電源內阻在題目解答得出的范圍內時，題給條件才能得到滿足，而只有在內阻r為該范圍內的一個特定值時，電源的實際輸出功率才對應數學上解得的極值.

4 題目改編及拓展

根據以上分析可以看出，這道競賽題的主要特點在于，改變了此類題目中常見的外電路電阻連續變化的情況，通過改變燈泡個數的方式來改變外電路總電阻，從而將電源輸出功率隨外電路電阻的變化變成了離散函數，導致通過數學方式計算所得的理論極值在實際電路中不一定能實現.在這種情況下，學生死記二級結論就無效了，從而得以考查學生是否真正理解了題意并作出了合理的分析.

此題作為競賽題，要求學生求內阻范圍，具有一定的思維量，在常規教學中，可對此題稍作改編，求出電源內阻的確定值，然后進一步拓展，搭建階梯，讓學生逐步深化理解.由第一部分的題目解析可知，由兩個不等式只能得出電源內阻的取值范圍，而不能得出內阻的確定值.可以想見，只要有這些功率之間的一個等式(而非不等式)，就不難得到電源內阻的確定值了.下文的拓展題將給出一個求電源內阻確定值的例子.

【改編題】N個電阻均為R的燈泡并聯后與電動勢為E,內阻為r的電源相連.用不同個數的燈泡實驗發現，當N=4和N=6時，電源輸出功率相同，求電源內阻r.

此題解答的前半部分與原題相同，因此利用原題所求得的功率表達式(1)可得

P4=P6

即

解得

這一改編題比原題難度大大降低，學生經思考后較容易得出正確答案，但同樣杜絕了學生靠死記“當內阻等于外電路總電阻時電源輸出功率最大”這個二級結論直接得到答案.

【題目拓展】在學生得到了正確答案的基礎上，可做以下兩步拓展：

(1)引導學生思考改變外電路并聯燈泡的個數時，電源輸出功率的變化規律，使學生對電源輸出功率P隨并聯燈泡個數N的變化產生定性的認識，知道在并聯5個燈泡時，電源輸出功率會測得最大值.

圖4 電源輸出功率與燈泡個數的關系曲線

物理教學和學習中，有一些重要的知識點被反復練習，其初衷是為了學生更牢固地掌握這些內容，但由于習題相似度較高，導致學生有意無意地只記住了結論而不再關注其中的物理原理.而在大多數情況下，這種死記結論的做法不僅有效，甚至能夠極大地提高解題速度，這就使得情況更加惡化，學生一遇到這類題目就形成了條件反射，直接給出解答，久而久之完全忘記了求解的過程.因此,反復操練的結果使學生的思維固化，不僅沒有起到鞏固知識的作用，甚至還起到了使學生不思究竟的反作用.

由此可見，形成這一不良局面的原因，與題目類型死板、解答過程固化不無關系.因此,增加題目的靈活性和多樣性可成為打破這一僵局的一個關鍵點.電源輸出功率極大值問題歷來是學生死記二級結論的一個重災區，本文所呈現的題目及其拓展在這方面給出了一次嘗試，使得靠死記硬背的結論不再適用，從而回歸到問題的物理本源.