典型精密零件坐標測量不確定度的優化評定與驗證

郭小冬,王明海,郭 猛,張 榮,翁漢旺

（北京航天控制儀器研究所,北京 100039）

0 引言

測量不確定度表征測量結果的可信性。對于高精度零件的測量,由于測量儀器的精度裕量小,環境因素的影響大,測量結果的可信性問題更為突出。由于坐標測量機（Coordinate Measuring Machine,CMM）誤差的復雜性和功能的多樣性,使得其面向任務的測量不確定度的評價比較困難［1］。

近年來,隨著技術研究的深入,評價CMM測量不確定度的理論和方法不斷被提出。陳曉懷、程銀寶等［1-3］系統研究了CMM面向任務的測量不確定度的評定方法。?trbac等［4］分析了CMM平面度測量不確定度評價時測量不確定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement,GUM）法與ISO/TC15530-3方法之間的差異。Vrba等［5］研究了復雜曲面CMM測量不確定度評定的不同方法。張學儀等［6］研究了采用蒙特卡洛法（Monte Carlo Method,MCM）進行葉片型面參數測量不確定度分析的方法。Rost等［7］研究了齒輪測量儀面向任務的測量不確定度MCM評定方法。Miura等［8］研究了采用MCM評定孔板測量不確定度的方法。但對于在實際不確定度評定中時常出現的因過量估計導致不確定度評定結果偏離實際情況乃至失準的問題,業內研究成果較少。

為此,本文以動壓馬達半球零件球徑測量不確定度的評定為例,針對造成過量估計的兩個主要原因——CMM示值誤差的過量估計以及常規GUM法對被測量分布類型的正態分布保守假設進行分析,研究了采用標準工件進行測量標定獲得CMM實際示值誤差的不確定度優化評定方法以及采用MCM對GUM法的評定結果進行驗證,發現并糾正GUM法假設偏差的不確定度驗證方法,以期提高不確定度評定結果的可靠性。

1 不確定度的常規評定

關于面向任務的CMM測量不確定度評定,目前已有行業內認可的研究成果［1-3］,即利用測量系統分析（Measurement System Analysis,MSA）量值統計分析的方法,將CMM測量時主要不確定度來源提煉、歸納為示值誤差、重復性誤差、復現性誤差以及溫度補償誤差4項,進而建立不確定度評定模型并給出各不確定度分量的量化方法,最終按GUM法［9］完成測量不確定度的評定。本文的CMM尺寸測量不確定度的常規評定參照文獻［1］提出的方法進行,具體如下:

1.1 不確定度評定模型

CMM尺寸測量誤差分析模型為

式（1）中,Y為被測量,y為被測量的估計值,δE為示值誤差,δrp為重復性誤差,δrd為復現性誤差,δtemp為溫度補償誤差。

假設δE、δrp、δrd和δtemp相互獨立,基于方差合成定理,得到的不確定度評定模型為

式（2）中,uc為合成標準不確定度,uE為示值誤差引入的不確定度分量,urp為重復性引入的不確定度分量,urd為復現性引入的不確定度分量,utemp為溫度補償引入的不確定度分量。其中,utemp又可細分為uT、uCTE1、uCTE2三個分量,uT為溫度變化引入的不確定度分量,uCTE1為工件線膨脹系數變化引入的不確定度分量,uCTE2為CMM光柵尺線膨脹系數變化引入的不確定度分量。utemp可表示為

1.2 不確定度分量的量化

各不確定度分量按表1所列公式進行量化。

表1中,MPEE=A+B·L為CMM最大允許示值誤差（A為常數項,B為線性系數,L為被測長度）,n為測量次數,m為測量組數,yi為n次重復測量中某一次的測得值,y-j為m組測量中某一組的平均值,y-為組內平均值,y=為組間平均值,L為被測尺寸,T為環境溫度,αW為工件線膨脹系數,αM為CMM光柵尺線膨脹系數。

表1 測量不確定度分量匯總Table1 Summary of uncertainty components

1.3 合成標準不確定度uc的計算

按照式（2）進行計算,可得合成標準不確定度uc的值。

1.4 擴展不確定度U的計算

式（4）中,k為包含因子。依據GUM,包含概率p=95%時,k=1.96。

1.5 評定實例

在溫度條件為20℃±1℃的測量間內,使用Leitz PMM866p坐標測量機對動壓馬達半球零件的球徑進行測量。零件的標稱直徑SΦ為15mm,公差為2μm;CMM的最大允許誤差指標為MPEE=（0.8+L/600）μm;工件的線膨脹系數為αW=（12.01±0.57）×10-6/℃,CMM光柵尺的線膨脹系數為αM=（10.5±1.0）×10-6/℃。半球零件圖及測量實景如圖1所示。

圖1 半球零件圖及測量實景Fig.1 Hemispherical part drawing and measurement real scene

為減小復現性誤差,將測量策略（探針規格、采點方式、擬合方法、裝夾方式等）作了統一規定。由不同操作者在不同時間段對同一半球零件的直徑進行了20組重復測量,每組測量10次,測量數據如表2所示。

1.5.1 計算各不確定度分量

1）示值誤差引入的不確定度分量uE

=0.825/3=0.476μm

2）重復性引入的不確定度分量urp

任選表2中20組數據里的一組考察重復性（本次分析選第3組數據）。按表1中對應公式計算urp,可得urp=0.066μm。

3）復現性引入的不確定度分量urd

根據表2所列20組數據,按表1中對應公式計算urd,可得urd=0.183μm。

表2 半球直徑測量數據Table2 Measurement data of hemispherical diameter

4）計算溫度補償誤差引入的不確定度分量

將溫度、溫度變化、工件線膨脹系數及CMM光柵尺線膨脹系數代入表1中對應公式進行計算,可得uT=0.013μm、uCTE1=0.005μm、uCTE2=0.009μm,再按式（3）計算得到utemp=0.017μm。

1.5.2 計算合成標準不確定度uc

將以上各不確定度分量值于表3中匯總列出。

將表3中各分量的標準不確定度值代入式（2）,可得uc=0.514μm。

表3 常規評定不確定度分量量值匯總Table3 Summary of conventional evaluation uncertainty components

1.5.3 求擴展不確定度U

按照式（4）進行計算,可得U=kuc=1.96×0.514=1.01μm。

2 不確定度的二次優化評定

1.5小節中按常規評定的球徑測量不確定度為U=1.01μm,已超過2μm公差值的1/3,即U＞UT=0.67μm（UT為目標不確定度［10］,UT=T/3,T為公差）。按精度分配原則［11］,測量能力不滿足工藝要求。同時,用本文將要介紹的MCM進行不確定度驗證也未能通過。為此,對評定過程進行重新審視。由表3可知,各不確定度分量中,示值誤差分量uE的占比最大,對評定結果有顯著影響。常規評定時,uE是按CMM的最大允許誤差指標MPEE進行量化的,很可能存在過量估計。于是,采用使用標準工件的方法對PMM866p CMM進行針對性的示值誤差標定,即使用經上一級計量標準——0.3μm精度等級的超精密CMM校準的同規格半球進行示值誤差標定,得到實際的示值誤差,進而對不確定度進行二次優化評定。

標準半球的直徑校準值為ycal=14.99930mm,校準不確定度Ucal95=0.20μm（k=1.65）,則其標準不確定度ucal=0.20/1.65=0.12μm。

在PMM866p CMM上對標準半球的直徑進行測量,測得值為y=14.99938mm,實際示值誤差為E=y-ycal=0.08μm,優化后的示值誤差不確定度分量為uEO=E/3=0.08/3=0.046μm。

優化后的不確定度分量如表4所示（urp、urd、utemp的值不變）。

表4 優化評定不確定度分量量值匯總Table4 Summary of optimized evaluation uncertainty components

對不確定度首次評定中發現的最大（占優勢）的不確定度分量重新定制量化方案,得到其更準確的上界估計值［10］,進而進行二次評定,通常可顯著降低過量估計的影響。

判據為

式（5）中,y為本級計量標準的測量結果,y0為上一級計量標準的測量結果,U為本級計量標準測量結果的擴展不確定度,U0為上一級計量標準測量結果的擴展不確定度。

如式（5）成立,則驗證通過［12］。

對上文所述球徑測量不確定度的評定結果進行傳遞比較法驗證,上一級計量標準為0.3μm精度等級的超精密CMM,驗證數據如表5所示。

表5 傳遞比較法不確定度驗證數據Table5 Uncertainty verification data of transfer comparison method

3 不確定度驗證

3.1 傳遞比較法

依據JJF1033,應優先采用傳遞比較法,通過與上一級計量標準的測量結果比較,驗證測量不確定度評定的合理性［12］。

驗證結果:使用傳遞比較法,兩種評定方法評定的測量不確定度均驗證通過（包括過量估計的常規評定結果）。

傳遞比較法的局限性:驗證是單向的,即只能驗證給出的不確定度是否偏小,不能驗證是否偏大。對于過量估計的檢驗,該方法并不適用。

3.2 蒙特卡洛法

3.2.1 簡介

蒙特卡洛法（MCM）通過計算機對各影響量進行大量的隨機抽樣,并通過對大量的抽樣值進行數值計算來評定測量不確定度。GUM法對不確定度分量合成后輸出量的分布類型假設為正態分布,但實際的情況并非總是如此。MCM的“海量”隨機數模擬的結果能夠反映輸出量分布的實際情況,直接得到擴展不確定度。因此,可以以MCM的結果作為標準,去驗證GUM法得出的擴展不確定度是否正確。

3.2.2 模擬方法

對于誤差分析模型Y=y+δ1+δ2+…+δn,首先對每個誤差分量（δ1、δ2、…、δn）按給定的分布類型和分布區間進行M次隨機模擬抽樣,各自產生M個隨機數,然后對各誤差分量的M個隨機數進行代數和相加,得到M個測量誤差Δy的合成樣本值,再按式（6）及式（7）計算平均值和標準不確定度uc,并按給定的包含概率p%計算包含區間,所得包含區間的半寬即為擴展標準不確定度U。

試驗次數的選擇:試驗次數越多,不確定度評定失真就越小,但試驗次數越多,需要的計算時間也越長。可以采用自適應算法自動選擇足夠的試驗次數,以保證模擬的可靠性。在自適應MCM程序的執行過程中,試驗次數不斷增加,直到所需要的、uc、具有指定包含概率的包含區間端點Δylow和Δyhigh等4個結果達到統計意義上的穩定（2倍標準差小于標準不確定度要求的數值容差δ［13］）。在采用自適應MCM對GUM法進行驗證時,以δ/5作為穩定性判斷閾值［13］。

數值容差δ［13］:將標準不確定度的數值表示為c×10l的形式,c為ndig個有效十進制整數,l是整數,則數值容差為

3.2.3 驗證方法

GUM法獲得的包含區間為［Δy-U,Δy+U］,MCM獲得的包含區間為［Δylow,Δyhigh］。對這兩個包含區間進行比較,確定兩個包含區間的各自端點的絕對偏差dlow和dhigh

如果dlow和dhigh均不大于數值容差δ,則GUM法不確定度評定結果通過驗證［13］。3.2.4 MCM應用實例

對1.5節所述球徑不確定度常規評定的結果用自適應MCM進行不確定度驗證。

1）算法

用Matlab軟件編制自適應MCM程序。根據式（1）,分別對δE、δrp、δrd、δT、δCTE1、δCTE2按給定的分布類型和分布區間（δE～U（-0.825,0.825）,δrp～N（0,0.0662）,δrd～N（0,0.1832）,δT～U（-0.023,0.023）,δCTE1～U（-0.009,0.009）,δCTE2～U（-0.015,0.015））進行隨機模擬抽樣,生成6維大樣本隨機數,再將該6維隨機數的各樣本值代數和相加,得到球徑測量誤差Δy樣本值、uc以及95%概率包含區間。（Δy=δE+δrp+δrd+δT+δCTE1+δCTE2）,進而計算

因標準不確定度保留2位有效數字,按式（8）計算數值容差δ=×10-2=0.005μm,自適應確定試驗次數時,按e=δ/5=0.001μm確定穩定性判斷閾值。

自適應計算控制:設定基本試驗次數M=1×104［13］,在輸入量的概率分布中,首先進行1×104次抽樣并計算結果;隨后進行第2次1×104次抽樣并計算結果,樣本量與前一次相迭加;結合前兩次的計算結果,計算相關的標準差,若這些標準差均不大于e=0.001μm,則認為所有計算已達穩定,否則重復進行抽樣計算,直至計算結果穩定。

算法程序流程圖如圖2所示。

圖2 自適應MCM算法流程圖Fig.2 Flowchart of adaptive MCM algorithm

2）計算結果

MCM實際試驗次數為2.70×106,=-0.0001μm,uc=0.5147μm,95%概率包含區間［Δylow,Δyhigh］=［-0.9147,0.9141］。

根據包含區間,可得擴展不確定度為U=0.9144μm≈0.914μm,包含因子為k=U/uc=0.9144/0.5147=1.78,輸出的誤差統計直方圖如圖3所示。

圖3 常規評定誤差統計直方圖Fig.3 Error statistical histogram of conventional evaluation

根據表6所列數據進行驗證:dlow=|-1.007-（-0.915）|=0.092＞δ=0.005,dhigh=|1.007-0.914|=0.093＞δ=0.005,故驗證未通過。

表6 GUM與MCM常規評定結果對比Table6 Comparison of conventional evaluation results between GUM and MCM

原因分析:從統計直方圖（圖3）上看,分布圖形已不是正態分布,而是近似的梯形分布,已明顯偏離GUM法正態分布的假設。回看表3,占比最大的不確定度分量uE是均勻分布,但uE還沒有大到成為占優勢的分量［14］,第二大分量urd為正態分布,兩者共同作用的結果造成合成后的分布似均勻非均勻、似正態非正態。

擴展不確定度應以MCM計算的結果為準,即U=0.91μm（k=1.78）。而GUM法的評定結果為U=1.01μm（k=1.96）,比實際情況擴大了10.2%。

同理,對第2章所述優化評定結果進行MCM驗證,得到的數據如表7所示,驗證能夠通過的原因就是不再有大占比的非正態分布分量（表4）。根據中心極限定理［14］,合成后的分布近似正態分布。對此,圖4所示的統計直方圖也有直觀的顯示。

表7 GUM與MCM優化評定結果對比Table7 Comparison of optimized evaluation results between GUM and MCM

圖4 優化評定誤差統計直方圖Fig.4 Error statistical histogram of optimized evaluation

可以得到dlow=dhigh=0.001＜δ=0.005,故驗證通過。

示值誤差的分布類型為均勻分布,示值誤差的過量估計往往使其成為不確定度分量中的優勢分量或近優勢分量,從而使合成分布偏離正態分布,此時的MCM驗證不能通過,故MCM驗證可以作為是否存在示值誤差過量估計的檢驗手段。

4 結論

針對示值誤差過量估計導致不確定度評定結果偏大乃至失準的問題,本文研究了采用標準工件進行測量標定獲得CMM的實際示值誤差的優化評定方法,科學、合理地減小了不確定度。典型精密零件——動壓馬達半球球徑測量不確定度評定結果表明,采用優化評定法后,不確定度由常規評定的1.01μm減小為0.46μm,降幅達54.5%。評定結果U=0.46μm＜UT=0.67μm（目標不確定度）,證明測量能力能夠滿足工藝要求。本文研究了采用自適應MCM對GUM法評定結果進行驗證的方法,MCM可以發現并糾正被測量偏離正態分布時GUM法的正態分布假設造成的過量估計,減小了不確定度。半球球徑測量MCM仿真驗證的結果表明,GUM法常規評定的不確定度比實際情況擴大了10.2%,傳統的不確定度驗證方法——傳遞比較法并不能解決過量估計導致的不確定度偏大的驗證問題。然而,示值誤差的過量估計會使被測量偏離正態分布,對此MCM驗證是敏感的,故MCM驗證可以作為示值誤差過量估計的檢驗手段。本文的研究成果對于提高精密零件坐標測量不確定度評定結果的可靠性具有實際意義。