問題的發(fā)現(xiàn)并提出融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐探索
——以人教版五上《梯形的面積》練習(xí)課為例

浙江省玉環(huán)市蘆浦中心小學(xué) 蔣淑敏

問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)問題的提出是指“學(xué)生在已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)具體的情境給出自己的理解，并建構(gòu)有意義的數(shù)學(xué)問題的過程”，它與問題的解決密切相關(guān)。解決別人提出的問題固然重要，但是能夠發(fā)現(xiàn)新問題，提出新問題顯然更為難得。美國(guó)教育家布魯巴克認(rèn)為：“最精湛的教育藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則，就是學(xué)生自己提出問題。”《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的發(fā)展規(guī)律，將問題提出的能力培養(yǎng)分解為三個(gè)階段：能在老師的指導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題；嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題；初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。顯然，提出一個(gè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題比解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題更重要。

那么，一線教師如何在日常教學(xué)中有效地培養(yǎng)學(xué)生的提問能力呢？筆者嘗試以人教版五年級(jí)上冊(cè)《梯形的面積》練習(xí)課為例，來談?wù)剢栴}的發(fā)現(xiàn)并提出融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐探索的策略。

一、巧用情境，適時(shí)追問，提出數(shù)學(xué)問題

無論是新授課、練習(xí)課，抑或是復(fù)習(xí)課，教師在設(shè)計(jì)時(shí)幾乎都包含一組精心設(shè)計(jì)的問題情境，因此，教師可以依托這個(gè)問題情境，以此為載體，用以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。在實(shí)際的教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以問題串的形式層層遞進(jìn)，學(xué)生會(huì)隨著提問的深入，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，問題的提出也會(huì)趨于復(fù)雜。

1.出示基礎(chǔ)練習(xí)。

圖1

提問：同學(xué)們，會(huì)計(jì)算這個(gè)梯形的面積嗎？

追問：還記得梯形面積的推導(dǎo)過程嗎？

2.出示變式練習(xí)。

圖2

提問：怎樣計(jì)算這兩個(gè)梯形的面積？

追問：為什么第二個(gè)梯形的上底是（5-2）厘米？

追問：在第三個(gè)梯形中，6.2-1.6-2.2=2.4cm 是什么意思？

三次追問，幫助回憶“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，復(fù)習(xí)梯形面積計(jì)算公式。在變式練習(xí)中，尋找條件求面積，有些條件是隱含的，間接給出的，學(xué)生獨(dú)立完成后交流各自的想法，通過這一過程加深對(duì)梯形面積計(jì)算公式的理解和記憶。導(dǎo)入從平行線中的梯形入手，為后面的練習(xí)鋪路，試圖把練習(xí)題“連成線”“串成鏈”。

這樣的問題串教學(xué)，在一定程度上體現(xiàn)了教學(xué)的層次性和遞進(jìn)性，結(jié)合具體的提問順序，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固，也讓不同程度的學(xué)生都能參與進(jìn)來，避免“一刀切”的現(xiàn)象。

二、變化延伸，溝通求聯(lián)，提出數(shù)學(xué)問題

教師不僅要讓學(xué)生敢于提問、主動(dòng)提問，還要教會(huì)學(xué)生提出有指向性的問題。這些問題對(duì)于學(xué)生研究學(xué)習(xí)內(nèi)容起著至關(guān)重要的作用，對(duì)于學(xué)生的思維要求較高。教師在日常教學(xué)中不僅要兼顧全體，還要培養(yǎng)學(xué)生追本溯源，思考有價(jià)值的問題的能力。

在多邊形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)中，教師總會(huì)關(guān)注“等（同）底等高”的知識(shí)點(diǎn)，并在教學(xué)中反復(fù)強(qiáng)調(diào)。對(duì)學(xué)生而言，梯形的“等（同）底”意味著上底與下底的和相等，并用于解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，這是知識(shí)難點(diǎn)。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師可通過題型變化延伸，達(dá)到溝通求聯(lián)的目的，從而使學(xué)生關(guān)注問題本質(zhì)，提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。

1.梯形的等積變化。

（1）出示題目。

圖3

提問：仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？

小結(jié)：等底等高的梯形，面積相等。

（2）出示題目。

圖4

提問：仔細(xì)觀察，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：上底和下底的和相等，高相等，梯形的面積就相等。

引導(dǎo)：將“上底和下底的和”看成一個(gè)整體“梯形的底”，也可以說是等底等高的梯形，面積相等。

提問：像這樣的梯形，同學(xué)們能畫出多少個(gè)？

2.動(dòng)手操作。

（1）活動(dòng)要求。

a.想一想：這樣的梯形你能畫出多少個(gè)？

b.畫一畫：畫一個(gè)高為4 厘米，面積和它們相等的梯形。

c.說一說：同桌交流自己的作品。

（2）展示學(xué)生作品。

①（預(yù)設(shè)）錯(cuò)例展示。

提問：為什么不可以這樣畫？

②展示正確畫法的作品

3.問題驅(qū)動(dòng)，深入探究。

（1）問題一：像這樣的梯形：我們能畫出多少個(gè)？

（2）問題二：（取一學(xué)生作品遮住上底）如果下底是4.5 厘米，上底是多少？說說你的理由？

小結(jié)：看來要求梯形的其中一條底，必須得把上底和下底看成一個(gè)整體先求出來。

利用公式的逆運(yùn)算推導(dǎo)梯形的上底（下底）對(duì)于中下水平的學(xué)生有一定的難度，因此前面環(huán)節(jié)做足將“上底和下底的和”看成一個(gè)整體的鋪墊，要求其中一條底，必須得先求“整體的底”，也就是面積×2÷高，通過追問和圖形變化演示，進(jìn)一步理解面積×2 就是一個(gè)平行四邊形。這樣設(shè)計(jì)降低了題目的難度，從本質(zhì)上理解求上底（下底）的方法，更關(guān)注全體學(xué)生的學(xué)習(xí)力。

問題三：同學(xué)們覺得上底最小可以是多少？在腦海中想象一下，這是一個(gè)怎樣的圖形。（無限接近三角形）

①（幾何畫板演示拖動(dòng)上底的長(zhǎng)度為0）自主探究

上底為0 厘米，就變成三角形，也就是梯形面積公式中一條底為0，此時(shí)面積公式：S=（a+b）h÷2=（a+0）h÷2=ah÷2

圖5

②引導(dǎo)：還可以變成什么圖形？（平行四邊形）

（幾何畫板演示拖動(dòng)上底的長(zhǎng)度等于下底）自主探究。

當(dāng)a=b 時(shí)，平行四邊形的面積：S=2ah÷2=ah

圖6

③同理：如果是直角梯形，還可以推算出長(zhǎng)方形的面積S=ab

圖7

借助多媒體技術(shù)，形象地演示等積變化中的梯形、三角形和平行四邊形，在不斷的討論交流中，打破學(xué)生原先的思路，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于梯形面積公式的深入理解，溝通各平面圖形面積計(jì)算之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

學(xué)生在溝通求聯(lián)的過程中點(diǎn)狀、線狀的知識(shí)連接成網(wǎng)狀，促進(jìn)知識(shí)求聯(lián)，提問也變得有深度。

三、拓展思考，發(fā)散思維，提出數(shù)學(xué)問題

發(fā)散思維是創(chuàng)造性的基礎(chǔ)，依據(jù)思維的層次性，所謂不破不立，我們?cè)谡n堂中應(yīng)不斷嘗試打破學(xué)生的固有思維，將不同數(shù)學(xué)知識(shí)求同存異，使得相似知識(shí)點(diǎn)的邊界互相融合。這樣，學(xué)生在解題時(shí)不會(huì)墨守成規(guī)，能隨機(jī)應(yīng)變，觸類旁通。面對(duì)具體情境時(shí)，也能獨(dú)具慧眼，剝離現(xiàn)象直抽本質(zhì)，思路更為清晰。

教學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式的歸納提出為學(xué)生提供了知識(shí)記憶的便捷性，同時(shí)也會(huì)帶來知識(shí)的固化。例如，對(duì)于梯形的面積計(jì)算公式S=（a+b）h÷2，教師需要在練習(xí)課教學(xué)打破這種格式對(duì)圖形的抑制作用，引導(dǎo)學(xué)生的圖“活”起來，從而使得問題多樣起來。

1.出示 S=（10+5）×5÷2

（1）提問：看到這個(gè)算式，你想到了哪些圖形？

（2）提問：我們一起來看看，下面四個(gè)組合圖形中，還有哪些也可以用這條算式表示。

圖8

2.活動(dòng)要求。

（1）獨(dú)立思考，想一想哪些組合圖形的面積可以用 S=（10+5）×5÷2。

（2）同桌討論，說一說自己的想法。

3.交流匯報(bào)。

A 可以利用梯形的面積公式計(jì)算得出，符合。

B 可以利用三角形的面積公式計(jì)算得出，符合。

C 是一個(gè)鈍角三角形，它的高需要延長(zhǎng)底再作高。（課件出示它的高）此時(shí)三角形的底是5 厘米，高是（10+5）厘米。所以三角形的面積=5×（10+5）÷2，符合。

D 是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是（10+5）厘米，寬是（5÷2）厘米，長(zhǎng)方形的面積= 長(zhǎng)×寬=（10+5）×（5÷2），符合。

以式想形，多向溝通圖形之間的聯(lián)系。這種題會(huì)暴露學(xué)生思維的不足之處，教師的介入讓學(xué)生了解梯形面積公式除了可以計(jì)算不同的圖形面積，還能求組合圖形的面積。為后面學(xué)習(xí)組合圖形打下基礎(chǔ)，同時(shí)有效促進(jìn)發(fā)散空間觀念和發(fā)散思維的發(fā)展。

另外，學(xué)生的認(rèn)知不斷被打破、重構(gòu)，學(xué)生不僅對(duì)概念有了進(jìn)一步理解，分析、應(yīng)用信息的能力也得到進(jìn)一步提升，學(xué)生的提問能力也得到了發(fā)展。

四、建立聯(lián)系，應(yīng)用化歸，提出數(shù)學(xué)問題

化歸思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中幾乎無處不在，通過化歸，學(xué)生可將生疏變?yōu)槭煜ぃ瑥?fù)雜化為簡(jiǎn)單，抽象化為直觀，含糊化為明朗。說到底，化歸思想就是將不同知識(shí)之間搭建橋梁，建立聯(lián)系，應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。

問題提出的“聯(lián)系”與化歸思想方法的運(yùn)用，既可以在不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立聯(lián)系，又可以在數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活之間建立聯(lián)系。

1.出示題目：

圖9

2.活動(dòng)要求。

（1）選擇喜歡的一題或多題做一做。

（2）同桌交流，說一說你是怎么想的？

提問：為什么這樣算？

聯(lián)系梯形面積公式與數(shù)的計(jì)算，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，不僅要讓學(xué)生把知識(shí)從薄學(xué)到厚，也要讓他們把知識(shí)從厚學(xué)到薄，不斷的挖掘前后知識(shí)的本質(zhì)和聯(lián)系，更好的整合知識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)水平的真正有效提高。

實(shí)踐表明，提出一個(gè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題比解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題更重要。問題意識(shí)和提問能力的培養(yǎng)具有長(zhǎng)期性，教師必須堅(jiān)持不懈地找準(zhǔn)契機(jī)激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，給學(xué)生自主提問的機(jī)會(huì)，等于給了他們一個(gè)強(qiáng)大的工具，讓學(xué)生成為自主的學(xué)習(xí)者。“良好的教育藝術(shù)始于我們能回答學(xué)生真正想向我們提出的問題，只要他們會(huì)提問。”我們相信，在學(xué)生會(huì)主動(dòng)提問后，這看似很小的轉(zhuǎn)變，一定具有非凡的意義。