樹狀支撐單層網殼支撐點分布形態優化研究

趙洋立

（重慶市設計院有限公司，重慶 400015）

0 引言

樹狀結構具有節約人員活動空間、外觀輕盈、構件截面較小等優點，近年來在實際工程中的應用越來越多。樹狀結構也被稱為樹狀支撐、樹狀柱，其節點幾何數據具有樹狀數據結構，與其他豎向受力構件相比有兩個特征：一是同級節點之間沒有構件連接；二是上端為對平面受力結構的多點支承，下端為單點剛接支座。

近年來，針對樹狀結構的相關研究與實踐成果越來越多，但大部分研究主要著眼于基于應變能的樹狀分叉點的幾何位置優化[1]，而樹狀結構本身的生成方法主要受建筑師影響或依賴于數學公式；有關樹狀結構的形態生成方法與結構經濟性關系的文章[2]則較為少見，而支撐點的分布、排列方式直接影響樹狀支撐的最終優化形態。

結構形態創構方法是一種由傳統結構形式向自由、靈活、合理方向轉變的途徑之一，也是結構設計方法由偏經驗向偏理論轉變的有效方法，同時還是建筑空間感受與力學合理性相協調的手段。該方法的理論進一步發展與成熟，將為人們提供嶄新的活動空間，帶來與自然和諧共存的環境。

隨著計算機技術的發展，數值找形方法逐漸受到人們重視。半谷教授將“廣義逆矩陣”理論應用到柔性結構初始形狀確定問題，且提供了利用機動體系的特點創構出結構形態的可能性。名古屋大學教授大森針對懸掛薄膜等柔性結構形態創構方法，實現了逆吊試驗理論化方法。上世紀90 年代初，Xie 與Steven 模仿自然界的進化規律提出了“ESO 方法”，目前該方法在機械工程領域被廣泛應用。近幾十年來眾多的學者相繼提出了很多分析方法，如“均質化方法”“Bubble 方法”“遺傳算法（GA）”“基結構法（GSM）”“粒子群算法”等。這些數值分析的方法目前雖然還沒有成熟，不能應用到實際工程中，但對結構形態創構理論與方法的進一步探討與深入研究打下了良好基礎。“改進進化論方法”“高度調整法”“桿系結構形態創構方法”已應用到實際工程中，得到了較高的評價。其中，“高度調整法”是利用應變能對節點坐標的敏感度特性逐步調整形狀的方法來獲得“輕而剛”的連續殼形狀的方法。

基于敏感度的桿系結構形態創構方法[3]（下文簡稱“漸進法”）是針對桿系結構，利用單元、節點坐標參數與結構應變能的關系，提出能夠兼顧拓撲與形狀的桿系結構形態創構方法。該方法基于有限元平衡方程，分別計算節點自由移動、約束移動、單元增加和單元消除等四種應變能敏感度，并利用這些敏感度與應變能變化關系生成或修正結構的拓撲形狀，調整節點位置，最終得到應變能最小的合理結構形態。

而逆吊遞推找形法[4]（下文簡稱“逆吊法”）的實施步驟可概括為:首先找到各級樹枝所承擔的屋面區域的受荷中心，然后依次令各級樹枝指向其分擔的屋面受荷中心，最后通過逐級遞推建立樹狀結構的幾何形態。

本文著眼于結構模型生成階段，運用“漸進法”與“逆吊法”嘗試探討支撐點分布位置的優劣。

1 試驗過程

1.1 支撐形式選擇與生成方法

樹狀支撐結構的幾何特征可以用樹狀數據結構來描述。在描述過程中我們發現，每個分叉點的數據包含以下幾個方面：父節點的編號、本節點的編號、本節點的坐標、本節點的分支度量（分支度）。可以預見的是，在優化設計階段，除了最末端的節點位置外，其他節點的坐標都會改變。所以生成階段需要關注的數據是節點的分支度量、末端節點（葉節點）的幾何坐標、各節點之間的父子關系。

現有結果表明，“二叉樹”分叉點處父桿件與兩個子桿件共三個方向的向量幾乎共面。這樣的后果是該部分父桿件與子桿件組成的子結構存在一個“平面外”失穩的屈曲模態，由于每個節點都有各自的屈曲模態，整體結構則有較高的整體失穩風險。

面對這樣的風險，可以預見的是，在進行屈曲分析之后，“二叉樹”結構的桿件截面將有“平面內”和“平面外”的區別，“平面外”方向截面慣性矩的增加將引起承載力的浪費，增加工程造價。相比之下，“三叉樹”結構就不存在這個問題，故本次試驗生成的模型節點分支度為3。

模型生成過程中還應著重關注末端節點（葉節點）的幾何坐標、各節點之間的父子關系。而由于節點父子關系千變萬化，因此本次試驗僅指定一種節點父子關系。

1.2 計算模型的生成

1.2.1 初始條件

試驗基本模型為單層網殼與層數為2（所有葉節點深度為2）的“滿三叉樹”樹狀支撐，其形態與幾何尺寸如圖1 所示。為了減小構件離散對支撐點的影響，故取網殼中每個三角形邊長為0.43m，并使構件截面為400×4mm 的矩形。

圖1 初始模型三視圖

若保證網殼面外剛度不變，此時該布置可等效為網格大小為2m，截面為400×130×5mm 方鋼管組成的網殼。所有構件均為6 自由度的梁單元。單元的截面與材料見表1。

表1 構件截面與材料

為了比較支撐點位置的優劣，以7 組算例為試驗素材，每組算例之間的區別在于α 角的大小，如圖2 所示。

圖2 參數與生成方法示意

每組算例內含有兩個計算模型，一個是初始形態模型，初始形態的分叉點E 的坐標在ABC 的平均坐標D 與O 點的連線上，距離O 點10m，如圖3 所示；另一個是用優化方法調整過分叉點（階度為2 的節點）位置的模型。

圖3 初始形態分叉點的生成

調整方法為基于應變能敏感度的漸進法[3]與逆吊遞推找形法[4]。“漸進法”是通過迭代計算，調整節點坐標，利用節點坐標與總應變能的相關性，引入數值阻尼，以最小應變能為目標，使節點坐標收斂的方法。“逆吊遞推法”是利用樹狀支撐桿件無彎矩的特點，運用形-力關系求桿件方向量，進而確定節點坐標的方法。

由于兩種方法的優化結果非常接近，差異非常不顯著，所以下文中不再區分使用的優化方法。

以A 組為例，兩個模型的外觀差異如圖4 所示。

圖4 初始形態與優化形態的外觀差異

1.2.2 邊界條件

樹狀支撐底部，即根節點為6 自由度固接，葉節點所在桿件的末端（上端）釋放所有自由度，其余構件之間完全剛接。為盡量減小網殼離散性帶來的影響，葉節點附近的節點設置了剛性連接，如圖5 所示。

圖5 剛性連接約束示意

結構考慮自重和網殼上的z 軸負方向均布荷載。

1.3 求解方法

本試驗采用midas gen V2019 的整體解決方案，包括模型搭建、求解器、數據提取等。

2 技術分析

2.1 初始形態與漸進優化后的應變能對比

圖6、圖7 展示了每組算例初始形態與優化形態之間的應變能。為了方便對比，基于最小值做了歸一化處理。

圖6 初始形態與優化形態的總應變能對比（原始數據）

圖7 初始形態與優化形態的總應變能對比（歸一化處理）

可以看到的是，優化的效果較為顯著。總應變能平均下降15%，最大下降21%（α=60°），且數據變化趨勢合理。這表明上文提到的優化方法較為合理，具有實用價值。

2.2 總應變能、樹狀支撐應變能對比

圖8 展示了每組算例的總應變能與支撐部分應變能。為了方便對比，基于最小值做了歸一化處理。

圖8 總應變能與支撐部分應變能對比（歸一化處理）

可以看到的是，總應變能與支撐部分應變能之比平均為2.4，即網殼部分應變能是支撐部分的1.4 倍。其中，α=50°算例的總應變能最小，且差異顯著；α=10°算例的支撐部分應變能最小，但差異不顯著。

2.3 支撐點分布與應變能的規律探討

α=40°～60°時，其總應變能較小，變化也不大，而α=0～10°時總應變能較大。所有總應變能數據的相對極差為29.4%，相對標準差為11.2%，變化較為顯著。所有支撐部分應變能數據的相對極差為8.76%，相對標準差為2.62%，相比于優化的幅度21%，并不顯著。就這幾項數據而言，α=40°～60°的模型在所有算例當中相對更優。

總應變能變化較大，但支撐應變能變化較小。通過觀察α=10°與α=40°的模型，筆者發現α=0～10°時，網殼三條長邊形成的懸挑段長度較大，使得邊緣區域的網殼節點的z 向剛度較小。那么在統計總應變能時，懸挑部分的貢獻就有相當大的占比。而α=40°時，各個區域的z 向變形相對均勻。

基于樸素的工程經驗判斷，網殼的面外剛度直接影響結構的總應變能。

2.4 改進與進一步討論

當我們觀察到支撐點的分布影響的總應變能，這種影響可能是間接的，通過其他中間變量影響的。如果存在這樣一個中間變量，我們將其與支撐點的分布位置脫鉤，就會使得支撐點分布與總應變能脫鉤。

筆者猜想，只要將z 向變形的均勻程度大幅提高，就可能排除支撐點分布對總應變能的影響。如果試驗數據的相對標準差大幅縮小，就表示算例之間總應變能的差異并不是直接由支撐點的位置控制的，而是由z 向變形的均勻程度控制的。

為了驗證這個猜想，將網殼的面外剛度放大10 倍，以模擬帶腹桿的網架結構與樹狀支撐共同工作的表現，由此判斷支撐點分布的優劣差異是否對網殼面外剛度敏感，如圖9、圖10 所示。

圖9 未增大面外剛度的算例中網殼部分應變能（歸一化處理）

圖10 增大面外剛度的算例中網架部分應變能（歸一化處理）

α=40°～60°時，其總應變能相對較小，差異不顯著。所有總應變能數據的相對極差為8.3%，相對標準差為3.8%。相比于上一組“柔性”網殼算例，相對標準差由11.2%縮小到3.8%，下降了63%。這表示網殼面外剛度大幅提高后，支撐點的布置與總應變能之間的相關性顯著下降。

所有支撐部分應變能數據的相對極差為3.6%，變異系數（相對標準差）為1.2%，差異不顯著。網殼（網架）部分應變能的標準差由20.0%下降至10.6%，下降顯著。

由此印證了支撐點分布對總應變能的影響，對網殼面外剛度敏感。進一步討論可以發現，對于面外剛度較大的網架結構，支撐點的分布對應變能的影響不大；對于面外剛度較小的單層網殼，支撐點的分布對總應變能的影響顯著。

3 結論

就本文所指定形式的樹狀支撐結構而言，在特定角度時總應變能較小，對于面外剛度較小的單層網殼，支撐點的分布對總應變能的影響顯著；對于面外剛度較大的網架結構，支撐點的分布對應變能的影響不大；每個支撐點分擔荷載的均勻程度可能與總應變能負相關。由此可見，對于單層網殼與樹狀支撐組合形成的結構，優化支撐點的分布位置能顯著提高結構合理性、降低材料用量，換言之，對支撐點分布位置的優化十分必要。