利用配方法求值

程曉莉 徐衛(wèi)國

配方法是解題中經(jīng)常使用的一種方法，如果在解題的過程中，善于使用一些技巧，就能達到迅速配方的目的，從而使問題得到解決.

1 直接配方

例1 實數(shù)a，b，c滿足a2+6b=-17，b2+8c=-23，c2+2a=14，則a+b+c=.

分析 將三個等式相加，進行配方，再根據(jù)完全平方的非負性，求出a，b，c的值，從而求出它們的和.

解 將三個等式相加，整理得

（a2+2a+1）+（b2+6b+9）+（c2+8c+16）=0，

即（a+1）2+（b+3）2+（c+4）2=0，

所以a=-1，b=-3，c=-4，

所以a+b+c=-8.

2 先拆項重組再配方

例2 若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13（x，y是實數(shù)），則M的值一定是（）

（A）正數(shù).（B）負數(shù).

（C）零.（D）整數(shù).

分析 先將原多項式拆項、重組再配方，轉(zhuǎn)化成三個完全平方的和的形式，然后就其結(jié)果進行合理分析、推斷，可得出結(jié)論.

解 因為

M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13

=2（x2-4xy+4y2）+（x2-4x+4）+

（y2+6y+9）

=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2

≥0，

且x-2y，x-2，y+3這三個數(shù)不能同時為0，所以M>0.

故選（A）.

3 先添項再配方

例3 已知實數(shù)a，b，x，y滿足ax+by=3，ay-bx=5，則（a2+b2）·（x2+y2）的值為.

分析 將所求多項式展開后添項，就能得到兩個完全平方的和的形式，再將已知條件代入即可.

解 原式=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2

=（a2x2+2abxy+b2y2）+（a2y2-2abxy+b2x2）

=（ax+by）2+（ay-bx）2

=33+52

=34.

4 先消元再配方

例4 已知a，b，c是整數(shù)，且a-2b=4，ab+c2-1=0，求a+b+c的值.

分析 先用代入法消去a，再配方后根據(jù)整數(shù)的性質(zhì)求出b，c的值，從而使問題得以解決.

解 把a=2b+4代入ab+c2-1=0，

得b（2b+4）+c2-1=0，

配方得2（b+1）2+c2=3.

因為a，b，c是整數(shù)，

所以（b+1）2=1，且c2=1.

所以b取0，-2時，c相應取±1，

從而a+b+c的值可以是3，-3，5，-1.

5 先引入?yún)?shù)再配方

例5 若x-1=y+12=x-23，則x2+y2+z2可取得的最小值為（）

（A） 3. （B）5914. （C）92. （D） 6.

分析 已知連等式，可以考慮引入?yún)?shù)k，把x，y，z用k的代數(shù)式表示，則x2+y2+z2轉(zhuǎn)化為關于k的二次三項式，運用配方法求其最小值.

解 設x-1=y+12=z-23=k，

則x=k+1，

y=2k-1，z=3k+2，

所以原式=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2

=14k2+10k+6

=14k+5142+5914.

故選（B）.

6 先選擇主元再配方

例6 若x，y是實數(shù)，且m=x2-4xy+6y2-4x-4y，確定m的最小值.

分析 選擇x為主元，將條件等式重新整理成關于x的二次三項式，再配方求m的最小值.

解 因為m=x2-4（y+1）x+6y2-4y

=x2-4（y+1）x+（2y+2）2+6y2-4y-（2y+2）2

=（x-2y-2）2+2（y-3）2-22.

當x-2y-2=0且y-3=0，即x=8且y=3時，m取最小值，其值為-22.

練習

1.已知實數(shù)a，b，c滿足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，則a+b+c的值等于（）

（A） 2.（B） 3.（C） 4.（D） 5.

2.若a，b為有理數(shù)，且2a2-2ab+b2+4a+4=0，則a2b+ab2=（）

（A）-8.（B）-16.（C） 8.（D）16.

3.已知a-b=4，ab+c2+4=0，則a+b=（）

（A） 4.（B） 0.（C） 2.（D）-2.

答案 1.（B）.2.（B）.3.（B）.