函數思維在中學數學解題中的應用

李婧赫

【摘要】隨著教育改革的不斷推進，中學數學教學對教師的教學方法提出了新要求.中學生正處于數學思維初步建立階段，函數思維和函數知識應用能力的培養對于學生的數學學習能力的提升極為重要.本文對函數思維的概念、特點及其在方程、二次函數、不等式、數列中的應用進行了分析，希望對初中數學教師的教學起到參考作用.

【關鍵詞】函數思維;中學數學;數學解題思路;應用

中學數學解題教學中，數學教師要做的不僅僅是將解題方法教給學生，更要做到培養學生具備清晰的解題思路，使學生真正掌握數學解題方法，真正會應用數學知識.在這一過程中，函數思維的培養尤為重要，具備函數思維能夠幫助學生在數學解題中養成良好的學習與思考習慣，但函數對學生來說是難點，教師在教學中要把握學生特點，采取合適的教學方法，提高課堂教學效果.

1 函數思維概述

在數學學習中，函數思維方法可以簡單理解為通過對函數的學習和了解，將數學解題過程中遇到的問題進行函數性質轉換，并借助函數圖象、函數概念來進行解題[1].相較于其他數學解題方法，函數思維可以將復雜的數學問題轉換成流程清晰的簡單數學問題，降低題目的難度.在解題過程中，學生運用函數知識可以快速提取數學問題中的變量，能夠幫助學生快速深入分析數學問題，發現數學問題中變量的變化規律，并以此為依據，得出解題的關鍵結論.

中學生正處于深入學習函數的階段，使用函數思維解題能夠幫助學生利用所學知識對數學問題進行拆分、簡化，這是充分利用學生學習特點和學習規律的一種解題思路，數學教師通過引導學生使用函數思維進行數學問題的解答，能夠強化學生的數學思維，有助于學生形成系統化的數學思維，加強函數與其他知識點之間的關系.

2 函數思維的基本特點

2.1 辯證性

函數思維能夠通過提取出問題中包含的數學特征，建立起一個基于函數關系的數學模型，在這一過程中，體現了聯系與變化的辯證唯物主義觀點.函數思維被看作辯證思維的一種，理解函數思維和應用函數思維也是在培養學生的辯證精神和辯證能力.

對于中學生而言，函數思維是他們在學習過程中較早接觸到的一種辯證思維理論，在數學解題過程中，通過應用函數思維來探索數學問題中不同數學對象的聯系與轉化關系，能夠使學生理解不同數學對象的內涵以及不同數學對象如何產生關系，他們之間的聯系又是如何變化的，學生可以以此為基礎，對數學問題和數學知識形成動態認識，有助于學生深入學習數學理論和函數知識，提升學生的鉆研能力與解題能力.此外，在函數思維的培養中，辯證思維也能得到培養，有助于學生學習其他科目，以及辯證的應對生活問題，從不同角度認識事物.

2.2 變化性

函數的本質是變化，使不同變量之間產生關系并相互轉化的一種數學表達形式，變化性也是函數的基本特點，不同數學對象的轉變關系通過函數表達.

在數學問題中，不同數學信息所包含的數量關系也能通過函數表達，利用函數形式來體現數學中的變量變化，也是數學的本質內涵.函數的變化性還體現在函數能夠隨著數學思維的轉變而變化，這也是函數能夠與其他知識產生聯系的根本原因.在學生進行數學問題解答過程中，充分利用函數思維的變化性特點，能夠使學生靈活應對不同數學問題，或是在同一數學問題中研究出多種的解題方法，對中學生數學思維的補充與完善，以及對數學解題的認識與了解都有極大的推動作用[2].

2.3 邏輯性

數學是一門邏輯性非常強的學科，數學邏輯是學好數學的前提.邏輯思維強調的是邏輯性的統一和對不同個體的調整，但卻缺少變性特點，缺乏數與形之間的結合與轉化，但函數本身具有的辯證性和變化性則很好的彌補了這一點.在數學解題過程中，應用函數思維能夠將題目中的代數信息和幾何信息進行有機結合，使題目中的信息內容變得一目了然，有助于學生探索更豐富的解題方法，選擇更簡單的解題方法來處理復雜數學問題.

3 函數思維在中學數學解題中的具體應用

3.1 在方程中的應用

中學數學教學中方程占比較大，為了在實際教學中提高學生的學習成效，教師要采取各種教學手段，不斷深化教學內容，使學生真正理解方程知識，并利用方程知識來解決數學問題.教師可以將函數思維應用到教學中，讓學生在學習方程的過程中認識到函數思維與方程知識的聯系，引導學生加強函數思維訓練，幫助學生建立起函數思維與方程知識的聯系，運用熟悉的函數思維模式來學習新知識，借助函數的性質與特點了解新學習的方程內容.

在方程問題中，由于方程與函數在知識架構等方面十分相似，知識點之間的聯系也極為密切，許多學生容易把二者弄混，但方程與函數是不同的，方程式所表示的通常是函數圖象上的一個具體的點，以f（x）=0為例，這個方程的解就是函數y=f（x）的圖象與x軸產生的交點的橫坐標，同時也可以將函數y=f（x）看做是一個二元方程f（x）-y=0，這就是函數與方程之間的轉換關系，通過合理利用這個關系能夠解決許多方程有關的數學問題，教師在教學中要重視培養學生的發散思維，使學生能夠自然聯想到函數在方程問題中的應用.

例已知實數a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，那么a+b=.

這道題是一道典型的可以通過構造函數來解決的問題，a和b都有其相關方程式，只需要利用函數思維進行轉化就可以得到一個新的等式，也就可以求出ab之和.

解 因為a3-3a2+5a=1，

所以（a-1）3+2（a-1）+2=0， ①

又因為b3-3b2+5b=5，

所以（1-b）3+2（1-b）+2=0， ②

設f（x）=x3+2x+2，那么等式①等價為f（a-1）=0，等式②等價為f（1-b）=0，

由此可知f（a-1）=f（1-b），

又因為f（x）為R上增函數，

所以a-1=1-b，

那么就可以知道a+b=2.

這道題通過將方程兩邊構造成兩個函數的方式進行解答，在兩個圖形的相交處找到合理的點，這是這類問題的常用解題思路，也是較為簡單便捷的解題方法，在教學中教師可以多選取這種本身難度不高且便于理解的題目作為切入點，讓學生對函數與方程之間的轉化關系有初步的了解，而后再逐漸提高難度.

3.2 在二次函數中的應用

二次函數在初中數學教學中是一大章知識點，也是初中數學中的重難點問題，許多學生在學習二次函數時會遭遇困境，學習效果不佳.在實際教學中，教師要對二次函數的表達形式、函數圖象、函數表達式以及不同函數的對稱軸、交點式、頂點式等眾多基礎知識進行教學，相互之間雖然有深刻的聯系，但涵蓋面過于寬廣，不同知識點又相對比較瑣碎，無形中增加了學生的學習難度.教師在教學中利用函數思想，能夠從二次函數的根本性質入手，幫助學生充分發掘二次函數問題中具備的隱含條件，將不同的數學信息拆解分析構建出函數的解析式，而后進一步利用不同函數的性質將復雜問題簡單化.利用函數思維解析二次函數問題，有助于學生利用函數思維解決非函數問題，提升學生的數學學科素養.在遇到與二次函數有關的問題時，教師應當向學生示范如何用函數思維解題，二次函數教學過程中學生更容易建立函數思維，更容易在數學解題過程中主動使用函數思維來看待數學問題，教師也可以利用二次函數的教學內容對學生的函數思維進行發掘與培養.除此之外，遇到正比例函數與反比例函數問題時教師也可以利用二者之間的關系讓學生明確兩個圖象的特性和數學內涵，幫助學生在頭腦中建立起數學系統化邏輯思維，使學生在遇到其他問題時也能夠用函數知識來解答.

3.3 在不等式中的應用

初中數學解題中不等式問題具有許多不確定性，不等式問題的解題方法也多種多樣.通常來講，函數的定義域、零點、值域和極值點都能夠用來解決相應的不等式問題，這也是函數思維在不等式解題思路中應用體現，但許多學生在學習不等式過程中產生了誤區，將公式與解題思路生搬硬套，對不同問題采用同一套解題方式，這限制了學生數學思維的發散[3]，也不利于學生掌握未知數的數量關系.

在教學中，教師可以利用函數圖象幫助學生將題目中給出的不同數學信息進行拆分，并幫助學生理解數學信息中包含的函數知識，使學生將等式轉化為函數，再利用函數思維反過來解決不等式題目，減少解題步驟的同時，學生的解題能力也得到提升.

例 設一個不等式2x-1>m（x2-1），對滿足m≤2的一切實數m均能成立，那么實數x的取值范圍為（）.

由于這是一道不等式題，許多學生第一反應是通過不等式知識來進行解題，這是一種較為常見的思維定勢，但利用函數思維則可以利用題目中關于m的數學條件將不等式轉化為m的函數表達，由此就可以將一個稍顯復雜的不等式求值問題轉化為函數中常見的值域問題，自然降低了題目難度.首先是要引導學生問題中的條件提取出來，寫出m的一次不等式：fm=（x2-1）m-（2x-1）<0，則fm在{m|-2≤m≤2}上恒成立，即f（2）<0，f（-2）<0，計算后得出實數x的取值范圍是（ 7—12，1+ 32）.

這道題的典型之處在于它利用了自變量的選取，將不等式問題與函數知識進行了轉化，使題目難度下降.通常來講，在解決多個變量的不等式問題時，清晰處理不同變量之間關系的關鍵在于選取合適的變量參數，而面對已經給出參數的不等式則可以通過變換參數與自變量位置的方式，利用函數思維對齊進行轉化來解決問題.

3.4 在數列中的應用

數列與函數也有內在的數學邏輯聯系，通常來講，數列的表達式也可以看作是一種函數的解析式，而數列又可以看作是在定義域內正整數集的函數，因此，在遇到數列問題時，也可以運用函數思想來解決數學問題 [4].

例 已知一個數列{an}，其通項公式為an=na（n+1）b，其中a，b均為正常數，那么an與an+1之間的大小關系應當是（）.

這是一道難度比較低的例題，學生在學習數列知識后就能夠利用已經掌握的解題方法進行解答，但這道題中體現出了函數知識與數列知識之間的聯系，教師可以在教學中引導學生用函數思維進行分析，題目中的變量n的減函數式為t=1nb，那么這個變量n的增函數就應當為an=a（1+1n）b，根據題目分析出這些信息后則可以進行解答，最終得出的結果為an與an+1之間的大小關系是an<an+1.

4 結語

中學數學教師應當認識到數學解題過程中函數思維的重要性，認識到在面對數學問題時函數思維能夠對解題所起到的關鍵作用.在實際教學中需要數學教師把握學生特點，在教學中不斷強化函數思維的滲透，在面對不同題目時引導學生使用函數思維拆解數學問題，從而培養學生的數學邏輯思維，強化學生的自主學習能力和數學探究能力.

參考文獻：

[1]邱吉. 基于深度學習的初中數學解題深度教學研究[D].喀什大學，2021.

[2]童繼紅.函數思維在中學數學解題中的應用研究[J].天津教育，2020（33）：147-148.

[3]劉銀妹.基于核心素養視角下初中數學解題教學策略分析[J].知識文庫，2021（08）：165-166.

[4]章青欽.分析函數思維在初中數學解題中的應用路徑[J].數學學習與研究，2020（09）：140.