抓住結構特征，靈活求解方程（組）

林運來 陳燕玲

【摘要】 方程（組）問題是中考和數學競賽中的熱點問題.解方程（組）時，既要學會按部就班地求解，又要善于抓住結構特征，探尋求解路徑，靈活地解決問題.文章舉例說明數學競賽中解方程（組）常用的整體思維、正難則反、拆項變形、巧取倒數、巧妙換元、利用配方、“不等”導“等”、構造函數等8種策略.

【關鍵詞】 方程;方程組;結構特征;求解路徑

方程是重要的數學工具，用它能更好地變未知為已知.早在300多年前數學家笛卡爾就有一個偉大的設想：首先把宇宙萬物的所有問題都轉化為數學問題;其次，把所有的數學問題轉化為代數問題;最后，把代數問題轉化為方程問題.雖然這一偉大設想沒有最終實現，但是充分說明了方程的重要性.方程（組）問題是數學競賽中的熱點問題.在解方程（組）時，既要學會按部就班（嚴格按照步驟）地求解，又要能根據方程（組）的結構特點，靈活使用解題策略進行求解.下舉例說明.

1 整體思維

整體思維就是將問題看成一個完整的整體，把注意力和著眼點放在問題的整體上，全面地獲取和分析信息，進而簡捷地解決問題.

例1 解方程：

x-34x-14x-52022=316x-52022+3.

解 x-34x+316x-52022

=316x-52022+3，

所以14x=3，

即x=12.

注 把x-52022視為一個整體，迅速地把握了方程各部分之間的聯系性和規律性.

例2 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需315元;若購甲4件，乙10件，丙1件，共需420元;現在購甲、乙、丙各一件，共需多少元？

解 設購甲一件需x元，乙一件需y元，丙一件需z元，依題意，得

3x+7y+z=315，4x+10y+z=420，

所以（x+y+z）+2x+6y=315，①

（x+y+z）+3x+9y=420.②

①×3-②×2，得

x+y+z=105.

所以購甲、乙、丙各一件，共需105元.

注 本例中未知數的個數多于方程的個數，一般不能求出所有的未知數.問題需要求出x+y+z的值，于是視其為一個整體進行求解，“抓住了問題的主要矛盾”.

2 正難則反

解某些方程（組）時，若從正面思考難以解決時不妨轉向反面思考，當直接求解比較復雜時就可以考慮間接求解解法.

例3 解方程：

12121212x-2022-2022-2022-2022

=0.

解 121212x-2022-2022-2022

=2×2022，

所以1212x-2022-2022=6×2022，

即12x-2022=14×2022，

所以x=30×2022=60660.

注 一般地，在計算時，如果有括號，就先算小括號里的，再算中括號里的，最后算大括號里的.本例反其道而行，由外向內去括號，顯得事半功倍，同時還要注意體會解題過程中保留乘法形式的意義.

3 拆項變形

所謂拆項變形，就是把一個式子或一些式子拆成若干部分，然后利用拆項后的新形式進行解題.在中學數學中，拆項的方法也是多樣化的，如拆項成和、拆項成差、拆項成積、拆項成商等.

例4 解方程：2015-x2017+2016-x2018+2017-x2019=2018-x2020+2019-x2021+2020-x2022.

解 1-x+22017+1-x+22018+1-x+22019

=1-x+22020+1-x+22021+1-x+22022，

即x+22017+x+22018+x+22019=x+22020+x+22021+x+22022，

所以x+2=0，

所以x=-2.

注 本例根據方程的結構特點，通過對每個分式分離出常數1，使每個分式的分子相同，問題也就迎刃而解.

4 巧取倒數

有些方程（組），直接求解難以入手或十分繁瑣，若能根據方程（組）的結構特點，利用取倒數（即進行倒置變換）的方法求解，可以實現問題的轉換，化難為易.

例5 解方程組pqp+q=65，qrq+r=34，rpr+p=23.

解 依題意，得1p+1q=56，1q+1r=43，1r+1p=32.

所以1p+1q+1r=116，

進一步可以求得p=2，q=3，r=1.

例6 已知1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，

1z+1x+y=14，求2x+3y+4z的值.

解 由1x+1y+z=12，得

x+y+z=12（xy+xz）=12x（y+z），

所以2x=y+zx+y+z，

同理得3y=z+xx+y+z，

4z=x+yx+y+z.

所以2x+3y+4z

=y+zx+y+z+z+xx+y+z+x+yx+y+z=2.

5 巧妙換元

求解某些方程（組）時，通過引入一個或幾個新“元”代替問題中原來的“元”，使以新元為基礎的方程（組）比較簡單，在求解新方程（組）后將結果倒回去恢復原來的元，從而使原方程（組）得解.

例7 解方程：

1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0.

解 設y=x2+2x-8，原方程可化為

1y+9x+1y+1y-15x=0，

解得y=9x，或y=-5x.

再解方程x2+2x-8=9x和x2+2x-8=-5x，

得x1=8，x2=-1，x3=-8，x4=1.

經檢驗，它們都是原方程的解.

注 本例通過去分母解方程是很困難的，而利用換元法使方程變得簡單得多，這樣便于尋求解方程的簡便途徑.

6 利用配方

配方法就是根據方程（組）的特點，把其中某些多項式配成正整數次冪的形式，一般來說用得最多的是配成平方的形式.

例8 解方程組：x=2z21+z2，y=2x21+x2，z=2y21+y2.

解 當x=0時，有y=z=0.

當x≠0時，則y≠0，z≠0，

由已知，得2x=1z2+1，①

2y=1x2+1，②

2z=1y2+1.③

①+②+③得

1x2+1y2+1z2-2x-2y-2z+3=0，

配方得1x-12+1y-12+1z-12=0.

所以1x-1=1y-1=1z-1=0，

即x=y=z=1.

所以原方程組的解為

x=y=z=0，x=y=z=1.

注 本例借助配方并根據非負數的性質進行求解.

7 “不等”導“等”

利用不等式的性質，對方程（組）進行等價轉化，可達到化難為易的目的.

例9 解方程組：4x21+4x2=y，4y21+4y2=z，4z21+4z2=x.

解 由已知易得

x≥0，y≥0，z≥0.

顯然x=y=z=0是方程組的一組解.

當x>0，y>0，z>0時，將上述方程組中三個式子相乘，得

64xyz（1+4x2）（1+4y2）（1+4z2）=1，

即（1+4x2）（1+4y2）（1+4z2）=64xyz.

因為a2+b2≥2ab，

當且僅當a=b時等號成立，

所以（1+4x2）（1+4y2）（1+4z2）≥64xyz.

當且僅當2x=1，2y=1，2z=1，時等號成立，

所以x=y=z=12.

所以原方程組的解為

x=y=z=0，或x=y=z=12.

注 本例借助重要不等式a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時等號成立），從已知信息中借助“不等”中等號成立的條件導出新的“等式”，進而簡化了方程組，使問題順利獲解.

8 構造函數

例10 [x]表示不超過x的最大整數，已知x不是整數，解方程x+2022x=[x]+2022[x].

解 由已知得x≠[x]，設y=t+2022t，則t=x與t=[x]對應的函數值相等，即關于t的方程t2-yt+2022=0的兩根為x，[x].

則x·[x]=2022.

因為x-1<[x]<x，

（1）當x>0時，x（x-1）<2022，

且x2>2022，

所以2022<x<1+80892.

因為44.9<2022<x<1+80892<45.5，

所以[x]=44或者[x]=45，

當[x]=44時，因為x·[x]=2022，

所以x=101122>45，不合題意;

當[x]=45時，x=202245<45，矛盾.

（2）當x<0時，x（x-1）>2022，

且x2<2022.

所以-2022<x<1-80892.

因為-2022<-44.9<x<1-80982<-44.4.

所以[x]=-45，x=-202245.

經檢驗，x=-202245符合要求.

注 本題利用了高斯函數的基本性質，構造函數，將方程問題轉化為不等式問題，通過確定的范圍，進而確定[x]的值，最后通過檢驗使問題得解.

總之，根據“結構特征”求解方程（組），不僅意味著我們需要有完整性和融通性的知識結構，而且解題的關鍵之處還在于兩點：一是需要敏銳的洞察力，善于抓住所求解方程（組）的結構特征;二是善于轉化，通過分析、挖掘題目提供的各種信息，進行全面研究，進而創造性地解決問題.