雙曲線中常見輔助線的作法

高俊元

反比例函數(shù)是每年中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，通常與幾何圖形相結(jié)合，這類問題難度大，綜合性強(qiáng)，直接解答往往有一定的困難，常需添加輔助線，最常見的輔助線是過(guò)圖象上的點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線段，現(xiàn)舉例說(shuō)明.

1 作垂線段根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義解答

例1 圖1

如圖1，平行于y軸的直線與函數(shù)y1=kx（x>0）和y2=2x（x>0）的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，OA交雙曲線y2=2x于點(diǎn)C，連接CD，若△OCD的面積為2，則k=.

解 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

因?yàn)辄c(diǎn)C在雙曲線y2=2x上，

所以S△OCE=1，

因?yàn)镾△OCD=2，

所以S△ECD=S△OCE=1，

所以點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，

因?yàn)镃E∥AD，

所以點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，

所以S△OAD=2S△OCD=4，

因?yàn)楹瘮?shù)y1（x>0）的圖象過(guò)點(diǎn)A，AD⊥x軸，

所以k=8.

2 作垂線段構(gòu)造全等三角形

例2 圖2

如圖2，已知反比例函數(shù)過(guò)A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)（2，3），直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC，則C點(diǎn)坐標(biāo)為.

解 過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線l，過(guò)點(diǎn)A，C分別作l的垂線，交l于D，E兩點(diǎn).

因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)（2，3），直線AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

所以B（-2，-3）.

于是D（2，-3），

因?yàn)椤螦BD+∠CBE=90°，

∠ABD+∠BAD=90°，

所以∠CBE=∠BAD，

在△ABD與△BEC中，

∠CBE=∠BAD，∠BEC=∠ADB=90°，BC=BA，

所以△ABD≌△BCE（AAS），

所以BE=AD=6，

CE=BD=4，

所以C（4，-7）.

3 作垂線段根據(jù)勾股定理計(jì)算

例3 圖3

如圖3，若反比例函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過(guò)等邊三角形POQ的頂點(diǎn)P，則△POQ的邊長(zhǎng)為.

解 如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為于M，

因?yàn)椤鱌OQ為等邊三角形，

所以O(shè)P=OQ，

OM=QM=12OQ，

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，

所以設(shè)Pa，3a（a>0），

則OM=a，OQ=OP=2a，PM=3a，

在Rt△OPM中，

PM=OP2-OM2=（2a）2-a2=3a，

所以3a=3a，

所以a=1（負(fù)值舍去），

所以O(shè)Q=2a=2.

4.作垂線段構(gòu)造相似三角形

例4 圖4

如圖4，A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=-3x（x<0）的圖象上，AB的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)C，且AB=2BC，則△AOC的面積是.

解 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OC，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥OC，

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=-3x（x<0）的圖象上，

所以設(shè)Ax，-3x，S△AOH=32，

因?yàn)锳B=2BC，

所以BGAH=CBCA=13，

CGHG=CBAB=12，

所以BG=13AH，

HG=2CG，

所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-1x，代入反比例函數(shù)中得點(diǎn)B的坐標(biāo)為3x，-1x，

所以O(shè)G=-3x，

HG=-2x，CG=-x，

則OC=-4x，

所以S△AOC=12·OC·AH=12·（-4x）·-3x=6.