反客為主，化難為易

王益玲 李先兵

反客為主是一種非常規(guī)的思維方式，是在解決問(wèn)題的過(guò)程中將常量視為變量，把靜態(tài)視為動(dòng)態(tài)，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化矛盾，巧妙解題的目的.關(guān)于將常量視為變量的例子相對(duì)較多，讀者也一定有自己的理解，本文不再贅述.而動(dòng)態(tài)幾何遍地開(kāi)花的題海中，當(dāng)動(dòng)態(tài)部分過(guò)多，干擾解題時(shí)，可以根據(jù)辯證唯物主義的思想，將動(dòng)態(tài)和靜態(tài)互易，反客為主，往往可以找到解題思路.下面舉例說(shuō)明.

例1 如圖1，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A′B′D′，分別連接A′C，A′D，B′C，則A′C+B′C的最小值為.

分析 此題中求兩條線段和的最值問(wèn)題，是初中幾何經(jīng)典問(wèn)題之一，將兩條線段轉(zhuǎn)移為一條兩端點(diǎn)固定的折線，是常用的解題策略.此題中A′，B′相對(duì)于C而言同時(shí)進(jìn)行相同的平移變換（圖2），即△BCD固定時(shí)，A′，B′均沿著射線BD的方向平移BB′，利用運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，能否將△ABD固定，△BCD沿著上述相反的方向平移呢（圖3）？探究后不難發(fā)現(xiàn)，兩者的運(yùn)動(dòng)是完全一致的.

所以 A′C+B′C

=AC′+BC′.

利用經(jīng)典問(wèn)題——將軍飲馬，作B關(guān)于直線CC′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B″，連接AB″（圖4）.

則（A′C+B′C）min

=（AC′+BC′）min

=AB″=3.

注 此題中的難點(diǎn)在于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A′，B′和一個(gè)定點(diǎn)C組成的線段和，利用反客為主巧妙地減少動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題——將軍飲馬.

例2 如圖5，邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC的頂點(diǎn)在x軸的正半軸上移動(dòng)，∠AOD=30°，頂點(diǎn)B在射線OD上隨之移動(dòng)，則頂點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大值為.

分析 此問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為30°角的內(nèi)部放置了一個(gè)定邊長(zhǎng)的正△ABC，圖6求頂點(diǎn)C到角的頂點(diǎn)O距離的最大值.∠AOB是靜態(tài)圖，△ABC是動(dòng)態(tài)圖，由于動(dòng)態(tài)元素過(guò)多，無(wú)法尋到突破口，現(xiàn)將△ABC固定，將∠AOB動(dòng)起來(lái)，顯然線段AB是定長(zhǎng)3，∠AOB是定角30°，則O的軌跡是以E為圓心，3為半徑的優(yōu)弧（如圖6）.

所以當(dāng)O，E，C共線時(shí)，OC達(dá)到最大值，最大值為33+3.

注 初看此題，會(huì)探索點(diǎn)C的軌跡，而后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的軌跡既不是直線，也不是弧，探索戛然而止.由于動(dòng)態(tài)元素過(guò)多，利用反客為主，化動(dòng)為靜，柳暗花明，尋到出路.

例3 如圖7，∠AOB=45°，點(diǎn)M，N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有兩個(gè)，則x的值是.

分析 以MN為一邊的等腰△MNP，點(diǎn)P必在分別以M，N為圓心，MN為半徑的⊙M，⊙N上或MN的中垂線上，簡(jiǎn)稱(chēng)P必在“兩圓一線”上（如圖8）.換言之“兩圓一線”與射線OB恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，符合該題條件.然而線段MN及兩圓一線均為動(dòng)態(tài)元素，給探索過(guò)程增加了難度.不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)靜態(tài)元素只有∠AOB的兩邊，我們不妨聯(lián)想到反客為主，將∠AOB的OB邊沿射線OA的反方向平移，線段MN及兩圓一線即為靜態(tài)元素，這樣大大降低了探索的難度，簡(jiǎn)化了探索的過(guò)程.

畫(huà)圖可得，此題中的四個(gè)臨界情況時(shí)，射線OB對(duì)應(yīng)的位置如圖9，分別記作l1，l2，l3，l4，對(duì)應(yīng)的x的值分別為

23-2，

42-4，4，42.

故符合條件的x的值為：

23-2，42，

42-4<x≤4.

注 此問(wèn)題中操作的思路明確，但由于動(dòng)態(tài)元素過(guò)多，大大增加了探索難度.利用反客為主既降低了探索的難度，又簡(jiǎn)化了探索的過(guò)程.

幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題是重視知識(shí)形成過(guò)程理念下的產(chǎn)物，探索知識(shí)的形成過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力的內(nèi)在要求.因此在幾何動(dòng)態(tài)背景下，探索幾何圖形間的位置和數(shù)量關(guān)系，必是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)態(tài)元素過(guò)多時(shí)，可以反其道而行之，從辯證的角度，將動(dòng)態(tài)視為靜態(tài)，從而轉(zhuǎn)化矛盾，找到問(wèn)題的突破口或簡(jiǎn)化探索的過(guò)程.