四邊形中的面積問題及變式

任紀勛

問題如圖1，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，連接EF，FG，GH，HE，求SEFGHSABCD.

解 連接AC，BD，因為點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，

所以HG∥AC，HG=12AC，

EF∥AC，EF=12AC，

所以EF=GH，EF∥GH，

EFGH是平行四邊形，

△DHG∽△DAC，

S△DHGS△ACD=122=14，

S△BEFS△ACB=122=14，

S△DHG+S△EFB=14（S△ACB+S△ACD）=14SABCD.

同理 S△AHE+S△CFG

=14（S△ADB+S△BCD）=14SABCD.

所以 S△DHG+S△EFB+S△AHE+S△CFG

=12（S△ACB+S△ACD）=12SABCD，

所以SEFGHSABCD=12.

變式1 已知四邊形ABCD的面積為1，點E，F，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點.

（1）如圖2，若AEEB=BFFC=CGGD=DHHA=2，求四邊形EFGH的面積;

（2）如圖3，若AEEB=BFFC=CGGD=DHHA=k，請用含k的代數式表示四邊形EFGH的面積（直接寫出結果）.

解 （1）連接AC，過點E作EP∥AC交BC于P，

因為AEEB=BFFC=2，

所以BEBA=BPBC=13，

BF=2BP，

所以S△BEF=2S△BEP，

由△BEP∽△BAC，得

S△BEPS△BAC=19，

所以S△BEP=19S△BAC，

所以S△BEF=29S△BAC，

同理S△DHG=29S△DAC，

所以 S△BEF+S△DHG

=29（S△BAC+S△DAC）=29S四邊形ABCD=29.

連接BD，同理可證S△AEH+S△CFG=29.

所以 S四邊形EFGH

=S四邊形ABCD-（S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DHG）

=1-29-29=59.

（2）S四邊形EFGH=k2+1（k+1）2.

連接AC，過點E作EP∥AC交BC于P，

因為AEEB=BFFC=k，

所以BEBA=BPBC=1k+1，

BF=kBP，

所以S△BEF=kS△BEP，

由△BEP∽△BAC，得

S△BEPS△BAC=1（k+1）2，

所以S△BEP=1（k+1）2S△BAC，

所以S△BEF=k（k+1）2S△BAC，

同理S△DHG=k（k+1）2S△DAC，

所以 S△BEF+S△DHG

=k（k+1）2（S△BAC+S△DAC）

=k（k+1）2S四邊形ABCD

=k（k+1）2.

連接BD，同理可證

S△AEH+S△CFG=k（k+1）2.

所以S四邊形EFGH=S四邊形ABCD-（S△AEH+S△BEF+S△CFG+S△DHG）

=1-2k（k+1）2=k2+1（k+1）2.

變式2 如圖5，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為AD，BC的三等分點，連接EH，FG，求SEFGHSABCD.

解 連接BE，EG，BD，GD，因為點E，F，G，H分別為AD，BC的三等分點，

所以S△ABE=13S△ABD，

S△CDG=13S△CBD，

S△EBH=S△EGH，

S△DGF=S△EGF，

S△EBH+S△DGF=S△EGH+S△EGF=SEFGH，

S△ABE+S△CDG=13S△ABD+13S△CBD=13SABCD，

所以SEFGHSABCD=13.

變式3 如圖6，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，連接AG，BH，CE，DF，交點分別為N，K，L，M.求S△ANH+S△DMG+S△CLF+S△BEKSNMLK.

解 連接BD，因為點E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，

所以S△ABH=S△HBD，

S△DFB=S△DFC，

所以SHDFB=12SABCD，

SHDFB=S△ANH+S△EKB+S△CLF+S△DMG+

SANKE+SCGML.

同理SAECG=12SABCD，

SAECG=S△ANH+S△EKB+S△CLF+S△DMG+

SHNMD+SKBFL.

所以SHNMD+SKBFL=SCGML+SANKE，

SAECG=SAEKN+SMNKL+SMGCL，

S△ANH+S△DMG+S△CLF+S△BEK=SNMLK，

S△ANH+S△DMG+S△CLF+S△BEKSNMLK=1.

變式4 如圖7，四邊形ABCD中，點E，F，L，K，G，H，I，J，為四邊上的三等分點，連接EH，FG，JL，IK相交于點P，M，N，O，求SOPMNSABCD.

解 JE，BD，HL，由題意點E，F，L，K，G，H，I，J，為四邊上的三等分點，

所以AEAD=AJAB=13，

EJ∥BD，

△AEJ∽△ADB，

EJBD=13，

同理CLCD=CHCB=23，

LH∥BD，

△CLH∽△CDB，

LHBD=23，

所以EJ∥LH，

△EJO∽△LOH，

EJLH=12=JOLO，

點O是JL的三等分點，同理可得：點N也是JL的三等分點，由變式2的結論可知：

SEFNOSADLJ=13.（1）

同理可得：點P，M也是IK的三等分點

SONMPSJLKI=13，（2）

SPMGHSBCKI=13，（3）

由（1）+（2）+（3）得

SEFNO+SONMP+SMPGH=13（SADLJ+SJLKI+SBCKI）

=13SABCD，

又因為同理可得：點O，P，M，N為EH，FG的三等分點，

所以SONMP=13（SEFNO+S△ONMP+SMPGH）

=19SABCD，

所以SOPMNSABCD=19.